第五课 六年级比和比例奥数.docx
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第五课六年级比和比例奥数
第五课比与比例
一、知识总结
1、比:
kb
ababa==
÷=:
;比的性质:
(0:
:
≠=cbcacba2、比例式:
dcba:
:
=(外项、内项比例性质:
bcaddcba=⇔=比例改写:
abcdacbddbcadcba:
:
:
:
:
:
:
:
=⇔=⇔=⇔=
(比例性质的应用
3、比例中项:
acbcbba=⇔=2:
:
4、比例方程:
含有未知项的比例叫做比例方程。
5、正比例、反比例
①正比例:
若两个量之间的比值固定不变,则这两个量成正比例。
若kba=:
(k一定),则a、b成正比例
②反比例:
若两个量的乘积固定不变,则这两个量成反比例。
若kab=(k一定),则a、b成反比例。
6、比例的应用:
①图形缩放:
将图形按照给定比放大或缩小,对应边长、高之比等于给定比。
面积比等
于给定比的平方。
②比例尺:
比例尺=图上距离÷实际距离;图上距离=实际距离×比例尺;
实际距离=图上距离÷比例尺。
缩小,比例尺<1;放大,比例尺>1
③比例应用题:
整理题中的数量组成比例,求出比例中的未知项。
二、巩固练习
比的计算
1、化成最简整数比:
2
11:
1.2:
57=2、求比值:
602cm:
602dm=
3、解比例8:
x=3
22
4、若整数x能与2、6、15这三个数组成比例,求x的值。
5、若5:
2:
=ba且acb=2,则cb:
=
6、已知yx32=,①求:
yx:
②求
y
xyx+-22的值③若x比y大4,求x和y的值
比例的应用
7、比例尺通常写成前项是()的比。
除数值比例尺之外,还有()比例尺。
8、学校操场长800米,宽500米,如果画在比例尺是1:
1000的图纸上,长应画()厘米,宽应画()厘米,图形面积是实际面积的()。
9、一张设计图的比例尺是20:
1,在图纸上量得一个零件长40厘米,这个零件实际长()。
10、景山学校操场长200米,宽150米,画在练习本上,选择()的比例尺比较合适。
11、如下图,两个完全相等的三角形,把每个三角形分成两部分,并标有各自的面积。
则()x=()
y
12、一列火车3小时可行240千米,按照这样的速度继续行驶560千米,还需小时。
13、客车与货车同时从A、B两地的中点反向行驶4小时后客车到达A地,货车距离B地还有36千米,已知客车与货车的速度比是6:
5.A、B两地相距多少千米?
二、例题讲解
例1、甲数是乙数的23,乙数是丙数的45
,甲、乙、丙三数的比是():
():
()。
解析:
甲、乙两数的比2:
3
乙、丙两数的比4:
5
甲、乙、丙三数的比8:
12:
15
练习1、甲数是乙数的45,乙数是丙数的58
,甲、乙、丙三数的比是():
():
()。
2、光明小学将五年级的140名学生,分成三个小组进行植树活动,已知第一小组和第二小组人数的比是2:
3,第二小组和第三小组人数的比是4:
5。
这三个小组各有多少人?
例2、甲、乙两校原有图书本数的比是7:
5,如果甲校给乙校650本,甲、乙两校图书本数的比就是3:
4。
原来甲校有图书多少本?
解析:
选择不变量甲、乙两校图书总数为单位1.甲校先后两次图书本数占两校图书总数的77+5和33+4
,其分率差量对应650本图书。
650÷(
77+5-33+4)×77+5
=2450(本)答:
略。
练习1、小明读一本书,已读的和未读的页数比是1:
5。
如果再读30页,则已读和未读的页数之比为3:
5。
这本书共有多少页?
例3、从前有个农民,临死前留下遗言,要把17头牛分给三个儿子,其中大儿子分得12
,二儿子分得13,小儿子分得19
,但不能把牛卖掉或杀掉。
三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。
后来一位邻居顺利地把17头牛分完了,你知道这到底是怎么回事吗?
解析:
因为12+13+19=1718
﹤1,所以不能按照分率来分。
先求出三个儿子分得牛得头数的连比,再按比例分配。
12:
13:
19
=9:
6:
29+6+2=17大:
17×917=9(头);二:
17×617=6(头):
三:
17×217
=2(头)练习1、图书室取出一批书,按照一年级得12,二年级得13,三年级得17
,正好是41本,各年级各得多少本?
例4、两个相同的瓶子装满酒精溶液。
一个瓶中酒精与水的体积之比是3:
1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:
1。
若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精与水的体积之比是多少?
解析:
以每个瓶子的容积为单位1,分别算出酒精和水的总体积,再建立比。
酒精体积:
31+341+4=45343120;水的体积:
2-3120=920
酒精与水的比为
3120:
920=31:
9练习:
两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的比是2:
5,另一块合金中铜与锌的比是1:
3。
现将两块合金合成一块,求出锌合金中铜与锌的比。
例5、甲、乙两个学生放学回家,甲要比乙多走15的路,而乙走的时间比甲少111
,求甲、乙两人速度的比。
解析:
先求出甲、乙两人的路程比、时间比,再利用公式:
速度比=甲路程甲时间:
乙路程乙时间
。
路程比为(1+15):
1=6:
5时间比为1:
(1-111
)=11:
10速度比为611:
510
=12:
11练习1、小明和小芳各走一段路。
小明走的路程比小芳多15,小芳用的时间比小明多18
。
求小明和小芳速度的比。
2、制造一个零件,甲需6分钟,乙需5分钟,丙需4.5分钟。
现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人应该分配到多少个零件?
【提示:
效率比=(甲工作量÷甲工作时间):
(乙工作量÷乙工作时间)】
3、两个服装厂一个月内生产服装的数量是6:
5,两厂西服价格的比是11:
10。
已知两厂这个月内总产值为6960万元。
两厂的产值各是多少万元?
【提示:
产值比=(甲厂产量×甲厂服装价格):
(乙厂产量×乙厂服装价格)】
例6、A、B两种商品的价格比是7:
3。
如果它们的价格分别上涨70元,它们的价格比就是7:
4,这两种商品原来的价格各是多少元?
解析:
两种商品的价格差相同,选作做单位“1”。
那么A商品原价分率
377-,现价分率477-,上涨了70元,对应分率为477--3
77-,即可求出差价,再分别求出A、B的原价。
70÷(477--377-)=120(元)A:
120×3
77-=210(元B:
210-120=90(元)练习1、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4:
3。
甲队给乙队54吨水泥后,甲、乙两队水泥重量的比是3:
4。
原来甲队有水泥多少吨?
例7、如图是甲、乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1:
2。
王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地,李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地,他比王刚早1小时到达丙地。
甲、乙两地相距多少千米?
甲丙乙
解析:
根据路程的比和速度的比求出时间的比,利用时间差1小时求出王刚和李华所用的时间,再求出各自所走的路程。
时间比为14:
210=5:
4王刚所用时间1÷5
45-=5(小时)甲、丙路程为4×5=20(千米)甲、乙路程20×(1+2)=60(千米)
练习1、一辆汽车在甲、乙两站间行驶,往返一次共用去4小时(停车时间不算在内)。
汽车去时每小时行45千米,返回时每小时行30千米。
甲、乙两地相距多少千米?
例8、一个分数,分子和分母的和是122,如果分子、分母都减去19
,得到的分数化简后为
5
1,求原来的分数是多少?
解析:
倒推法。
算出变化后的分数。
分子、分母之和为(122-19×2),分子分母之比为1:
5。
再将分子、分母都加上19。
例9、用弹簧称物体,称两千克的物体时弹簧全长12.5厘米,称6千克物体时弹簧长13.5
厘米。
那么,弹簧全长15厘米时,所称物体重多少千克?
解析:
称重质量与弹簧伸长量成正比。
但考虑除去弹簧原有长度。
例10、有两袋大米共重440千克,甲袋米吃了3
1,乙袋米吃了21,这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8:
5,问甲、乙两袋大米原来各有多少千克?
解析:
方法一,方程法。
等量关系为【甲袋米×311(-】:
【乙袋米×2
11(-】=8:
5方法二,甲袋米的311(-为8份,其全部相当于8÷311(-=12份,乙袋米的2
11(-为5份,其全部相当于5÷2
11(-=10份,甲袋米:
乙袋米=12:
10=6:
5,然后再按比例求出各自质量。
练习1、学校某次入学考试,参加的男生人数与女生人数之比4:
3,结果录取91人,其中
男生与女生人数之比是8:
5。
在未被录取的学生中,男生与女生人数人数之比为3:
4,那么报考的共有多少人?
例11、如图,A、B、C三个齿轮咬合,当A转4圈
时,B恰好转3圈,当B转4圈时,C恰好转5
圈,那么这三个齿轮的齿数最小数分别是多少?
解析:
齿轮数和转的圈数成反比。
先算出两两之间的齿轮数之比,在整合成连比。
例12、如图,ABCD是长方形,且长与宽之比为3:
2,E在BC上,,F在CD上,并且三角形ABE、三角形
ADF、四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF与
长方形ABCD的面积之比
解析:
1:
1:
1:
:
=AECFADFABESSS,所以
311111:
:
:
=++===ABCDAECFABCDADFABCDABESSSSSS,再将面积之比换算出BCBE:
、CDDF:
,进而算出BCBE:
、CDDF:
,求出三角形AEF的面积,最后求ABCDAEFSS:
四、课后练习
1、红旗小学在校运会上买了甲乙两种钢笔作为单项第一、第二名的奖品,若两种钢笔共买了100支,甲钢笔每支9元,乙钢笔每支6元,且甲乙两种钢笔所用的钱总数相等,甲种钢笔买了_________支,乙种钢笔买了___________支。
2、甲数与乙数比值是2720,甲数与丙数比值是25
16,乙数与丙数比值是_________,3、三批货物共值152万元,第一、二、三批货物的重量比为2:
4:
3,单位重量的价格比为6:
5:
2,这批货物各值______、_________、_______万元。
4、甲走的路程比乙走的路程多31,乙用的时间却比甲多4
1,则甲、乙的速度之比为
______.AFEC
B
D
5、一个长方形的长是宽的5
21倍,且这个长方形与一个正方形的周长之比为6:
5,则这个长方形与正方形的面积比为_______________.
6、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮,已知齿轮A旋转7圈时,齿轮C旋转6圈①如果A齿轮的齿数是42个,那么C齿轮的齿数是。
②如果B旋转7圈,C旋转1圈,那么A旋转8圈时,B旋转了圈。
7、甲数是丙数的37,乙数是丙数的212
,甲、乙、丙三数的比是():
():
()。
8、科技组与作文组人数的比是9:
10,作文组与数学组人数的比是5:
7。
已知数学组与
科技组共有69人。
数学组比作文组多多少人?
9、甲、乙两包糖的重量比是4:
1。
从甲包取出130克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量
比为7:
5。
原来甲包有多少克糖?
10、甲、乙、丙三人共做零件900个。
甲做总数的30%,乙比丙多做13
。
三人各做多少个?
11、将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。
甲队已修的与剩下的比是2:
1,乙队已修的与剩下的比是5:
2。
这条公路已修了全长的几分之几?
12、甲、乙两个长方形长的比是4:
5,宽的比是3:
2,面积的和是242平方厘米。
求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米?
13、兄弟两人,每年收入的比是4:
3,每年支出的比是18:
13。
从年初到年底,
他们都结余720元。
他们每年的收入各是多少元?
14、甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时,甲、乙工作效率的比是6:
5。
甲、乙每小时各做多少个?
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