精选人教版八年级数学上册 全等三角形专题练习word版.docx
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精选人教版八年级数学上册 全等三角形专题练习word版.docx
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精选人教版八年级数学上册全等三角形专题练习word版
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,在中,,,分别为,边上的高,连接,过点作与点,为中点,连接,.
(1)如图,若点与点重合,求证:
;
(2)如图,请写出与之间的关系并证明.
【答案】
(1)详见解析;
(2)AF=2DG,且AF⊥DG,证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用条件先△DAE≌△DBF,从而得出△FDE是等腰直角三角形,再证明△AEF是等腰直角三角形,即可.
(2)延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,先证明△BGM≌△EGD,再证明△BDM≌△DAF即可推出.
【详解】
解:
(1)证明:
设BE与AD交于点H..如图,
∵AD,BE分别为BC,AC边上的高,
∴∠BEA=∠ADB=90°.
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
∵∠AHE=∠BHD,
∴∠DAC=∠DBH.
∵∠ADB=∠FDE=90°,
∴∠ADE=∠BDF.
∴△DAE≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE.
∴△FDE是等腰直角三角形.
∴∠DFE=45°.
∵G为BE中点,
∴BF=EF.
∴AE=EF.
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴∠AFE=45°.
∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.
(2)AF=2DG,且AF⊥DG.理由:
延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,
∵点G为BE的中点,BG=GE.
∵∠BGM∠EGD,
∴△BGM≌△EGD.
∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.
∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.
∵∠DAC=∠DBE,
∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.
∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,
∴∠BDF=45°-∠DBE.
∵∠ADE=∠BDF,
∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.
∵BD=AD,
∴△BDM≌△DAF.
∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.
∵∠BDM+∠MDA=90°,
∴∠MDA+∠FAD=90°.
∴∠AHD=90°.
∴AF⊥DG.
∴AF=2DG,且AF⊥DG
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.
2.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a﹣8b+20=0.
(1)求a,b的值;
(2)点P在直线AB的右侧;且∠APB=45°,
①若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为 ;
②若△ABP为直角三角形,求P点的坐标.
【答案】
(1)a=﹣2,b=4;
(2)①(4,0);②P点坐标为(4,2),(2,﹣2).
【解析】
【分析】
(1)利用非负数的性质解决问题即可.
(2)①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.
②分两种情形:
如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可.
【详解】
(1)∵a2+4a+4+b2﹣8b+16=0
∴(a+2)2+(b﹣4)2=0
∴a=﹣2,b=4.
(2)①如图1中,
∵∠APB=45°,∠POB=90°,
∴OP=OB=4,
∴P(4,0).
故答案为(4,0).
②∵a=﹣2,b=4
∴OA=2OB=4
又∵△ABP为直角三角形,∠APB=45°
∴只有两种情况,∠ABP=90°或∠BAP=90°
①如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.
∴∠PCB=∠BOA=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠BAP=∠APB=45°,
∴BA=BP,
又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°,
∴∠ABO=∠BPC,
∴△ABO≌△BPC(AAS),
∴PC=OB=4,BC=OA=2,
∴OC=OB﹣BC=4﹣2=2,
∴P(4,2).
②如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.
∴∠PDA=∠AOB=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠ABP=∠APB=45°,
∴AP=AB,
又∵∠BAD+∠DAP=90°,
∠DPA+∠DAP=90°,
∴∠BAD=∠DPA,
∴△BAO≌△APP(AAS),
∴PD=OA=2,AD=OB=4,
∴OD=AD﹣0A=4﹣2=2,
∴P(2,﹣2).
综上述,P点坐标为(4,2),(2,﹣2).
【点睛】
本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
3.
(1)如图1:
在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系.
小明同学探究的方法是:
延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,
他的结论是 (直接写结论,不需证明);
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF是∠BAD的二分之一,上述结论是否仍然成立,并说明理由.
(3)如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出三角形DEF的周长.
【答案】
(1)EF=BE+DF.
(2)成立,理由见解析;(3)10.
【解析】
【分析】
(1)如图1,延长FD到G,使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=∠DAG,进一步根据题意得∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.
(2)如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,证得△ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=∠DAG,再结合题意得到∠EAF=∠GAF,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后运用线段的和差证明即可.
(3)如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,先证△AEB≌△CGB,得到BE=BG,∠ABE=∠CBG,结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°,再证明△EBF≌△GBF,得到EF=FG,最后求三角形的周长即可.
【详解】
解答:
(1)解:
如图1,延长FD到G,使得DG=DC
在△ABE和△ADG中,
∵
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
∵,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
故答案为:
EF=BE+DF.
(2)解:
结论EF=BE+DF仍然成立;
理由:
如图2,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG
在△ABE和△ADG中,
∵,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
∵,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
(3)解:
如图3,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,
在△AEB与△CGB中,
∵
,
∴△AEB≌△CGB(SAS),
∴BE=BG,∠ABE=∠CBG.
∵∠EBF=45°,∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBF=45°,
∴∠CBF+∠CBG=45°.
在△EBF与△GBF中,
∵,
∴△EBF≌△GBF(SAS),
∴EF=GF,
∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10.
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质,灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问,难度不断增加,对提升思维能力大有好处.
4.如图,在△ABC中,∠ABC为锐角,点D为直线BC上一动点,以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,AD=AE.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.①当点D在线段BC上时,如图1,线段CE、BD的位置关系为___________,数量关系为___________
②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,①中的结论是否仍然成立,请说明理由.
(2)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.探究:
当∠ACB多少度时,CE⊥BC?
请说明理由.
【答案】
(1)①垂直,相等.②都成立,理由见解析;
(2)45°,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系;
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立;
(2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论.
【详解】
(1):
(1)CE与BD位置关系是CE⊥BD,数量关系是CE=BD.
理由:
如图1,∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
又BA=CA,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD.
∵∠ACB=∠B=45°,
∴∠ECB=45°+45°=90°,即CE⊥BD.
故答案为垂直,相等;
②都成立,理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△DAB与△EAC中,
∴△DAB≌△EAC,
∴CE=BD,∠B=∠ACE,
∴∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD;
(2)当∠ACB=45°时,CE⊥BD(如图).
理由:
过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB,
∴∠AGC=90°﹣45°=45°,
∴∠ACB=∠AGC=45°,
∴AC=AG,
在△GAD与△CAE中,
∴△GAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠AGC=45°,
∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,即CE⊥BC.
5.如图1,在等边△ABC中,E、D两点分别在边AB、BC上,BE=CD,AD、CE相交于点F.
(1)求∠AFE的度数;
(2)过点A作AH⊥CE于H,求证:
2FH+FD=CE;
(3)如图2,延长CE至点P,连接BP,∠BPC=30°,且CF=CP,求的值.
(提示:
可以过点A作∠KAF=60°,AK交PC于点K,连接KB)
【答案】
(1)∠AFE=60°;
(2)见解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)通过证明得到对应角相等,等量代换推导出;
(2)由
(1)得到,则在中利用30°所对的直角边等于斜边的一半,等量代换可得;
(3)通过在PF上取一点K使得KF=AF,作辅助线证明和全等,利用对应边相等,等量代换得到比
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