高中数学 第2章 基本初等函数1幂函数示范教案 新人教A版必修1.docx

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高中数学第2章基本初等函数1幂函数示范教案新人教A版必修1

河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章基本初等函数

（1）-4.示范教案（幂函数）

整体设计

教学分析

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x

等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：

当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.

将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：

指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.

三维目标

1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.

2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.

3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.

重点难点

教学重点:

从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.

教学难点:

根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1

1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？

根据函数的定义可知,这里p是w的函数.

2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.

3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.

4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S

这里a是S的函数.

5.如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=t-1kms,这里v是t的函数.

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？

（右边指数式,且底数都是变量）.

（适当引导：

从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:

幂函数）.

思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:

二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:

幂函数.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:

给出下列函数:

y=x,y=x

y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？

问题②:

根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？

请给出一个一般性的结论.

问题③:

我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?

研究幂函数的性质呢?

问题④:

画出y=x,y=x

y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.

函数性质

y=x

y=x2

y=x3

y=x

y=x-1

定义域

值域

奇偶性

单调性

特殊点

图象分布

问题⑤:

通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？

哪个象限一定没有幂函数的图象？

哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？

问题⑥:

通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?

活动：

考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.

讨论结果：

①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.

②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:

一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.

如y=x2,y=x

y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.

③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.

④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x

y=x2,y=x3,y=x-1的图象.

列表:

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

y=x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

y=x

…

0

1

1.41

1.73

…

y=x2

…

9

4

1

0

1

4

9

…

y=x3

…

-27

-8

-1

0

1

8

27

…

y=x-1

…

-

-1

1

…

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.

图2-3-1

让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图象,完成表格.

函数性质

y=x

y=x2

y=x3

y=x

y=x-1

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇

奇

奇

非奇非偶

奇

单调性

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减

特殊点

（1,1）

（1,1）

（1,1）

（1,1）

（1,1）

图象分布

第Ⅰ、Ⅲ象限

第Ⅰ、Ⅱ象限

第Ⅰ、Ⅲ象限

第Ⅰ象限

第Ⅰ、Ⅲ象限

⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.

⑥幂函数y=xα的性质.

（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：

1x=1）；

（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞）上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.

特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.

当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.

（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.

在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

应用示例

思路1

例1判断下列函数哪些是幂函数.

①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x

.

活动：

学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.

解：

①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;

②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;

③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;

④y=x

的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.

点评：

判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.

变式训练

判别下列函数中有几个幂函数？

①y=x

;②y=2x2;③y=x

;④y=x2+x;⑤y=-x3.

解：

①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;

④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;

⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.

例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.

（1）y=x

（2）y=x

（3）y=x-2.

活动：

学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:

列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.

解：

（1）要使函数y=x

有意义,只需y=

有意义,即x∈R.所以函数y=x

的定义域是x∈R.又f（-x）=f（x）,所以函数y=x

是偶函数,它在（-∞,0］上是减函数,在［0,+∞）上是增函数.

（2）要使函数y=x

有意义,只需y=

有意义,即x∈R+,所以函数y=x

的定义域是R+,由于函数y=x

的定义域不关于原点对称,所以函数y=x

是非奇非偶的函数,它在（0,+∞）上是减函数.

（3）要使函数y=x-2有意义,只需y=

有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f（-x）=f（x）,所以函数y=x-2是偶函数,它在（-∞,0）上是增函数,在（0,+∞）上是减函数.

点评：

在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.

例3证明幂函数f（x）=

在［0,+∞）上是增函数.

活动：

学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.

证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.

证明：

任取x1,x2∈［0,+∞）,且x1＜x2,则

f（x1）-f（x2）=

=

=

因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以

＜0.

所以f（x1）

在［0,+∞）上是增函数.

点评：

证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f（x1）与f（x2）的符号要一致.

思路2

例1函数y＝（x2-2x）

的定义域是（）

A.{x|x≠0或x≠2}B.（-∞,0）∪（2,＋∞）

C.（-∞,0］∪［2,＋∞）D.（0,2）

分析：

函数y＝（x2-2x）

化为y=

要使函数有意义需x2-2x＞0,即x＞2或x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2或x＜0}.

答案：

B

变式训练

函数y＝（1-x2）

的值域是（）

A.［0,＋∞）B.（0,1］C.（0,1）D.［0,1］

活动：

学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.

函数的值域要根据函数的定义域来求.

函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.

分析：

令t＝1-x2,则y＝

因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.

答案：

D

点评：

注意换元法在解题中的应用.

例2比较下列各组数的大小：

（1）1.10.1,1.20.1;

（2）0.24-0.2,0.25-0.2;（3）0.20.3,0.30.3,0.30.2.

活动：

学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.

比较数的大小,常借助于函数的单调性.

对

（1）

（2）可直接利用幂函数的单调性.

对（3）只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.

解：

（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.

（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.

（3）首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.

再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.

所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.

另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.

点评：

指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.

知能训练

1.下列函数中,是幂函数的是（）

A.y=2xB.y=2x3C.y=

D.y=2x

2.下列结论正确的是（）

A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数

C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数

3.下列函数中,在（-∞,0）是增函数的是（）

A.y=x3B.y=x2C.y=

D.y=x

4.已知某幂函数的图象经过点（2,

）,则这个函数的解析式为.

答案：

1.C2.D3.A4.y=x

拓展提升

分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.

①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x

y＝x

;

③y=x,y=x2,y=x3;④y=x

y＝x

.

活动：

学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.

解：

利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.

图2-3-2图2-3-3

图2-3-4图2-3-5

①观察图2-3-2得到:

函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点（1,1）,且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间（0,+∞）上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.

②观察图2-3-3得到:

函数y＝x

、y＝x

的图象都过点（1,1）,且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间（0,+∞）上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.

③观察图2-3-4得到:

函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点（1,1）、（0,0）,且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞）上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.

④观察图2-3-5得到:

函数y=x

、y＝x

的图象过点（1,1）、（0,0）,且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞）上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点（1,1）的左边离y轴近,在点（1,1）的右边离x轴近.

根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.

课堂小结

1.幂函数的概念.

2.幂函数的性质.

3.幂函数的性质的应用.

作业

课本P87习题2.31、2、3.

设计感想

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.

习题详解

（课本第79页习题2.3）

1.函数y=

是幂函数.

2.解析:

设幂函数的解析式为f（x）=xα,

因为点（2,

）在图象上,所以

=2α.

所以α=

即幂函数的解析式为f（x）=x

x≥0.

3.

（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；

（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=

＝

即v=

r4；

（3）把r=5代入v=

r4,得v=

×54≈3086（cm3s）,即r=5cm时,该气体的流量速率为3086cm3s.