届中考数学一轮复习同步练习卷因式分解.docx
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届中考数学一轮复习同步练习卷因式分解
因式分解
考点一、因式分解的意义
例1.(2019•庆云县二模)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.8x2y3=2x2⋅4y3B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
C.3x﹣3y﹣1=3(x﹣y)﹣1D.x2﹣8x+16=(x﹣4)2
【变式训练】
1.(2019•嘉祥县一模)下列各式从左到右的变形中,是分解因式的是( )
A.m(a+b+c)=ma+mb+mcB.x2+5x=x(x+5)
C.x2+5x+5=x(x+5)+5D.a2+1=a(a
)
2.(2015秋•南江县期末)若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式,则a等于 .
3.(2013•成都模拟)若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b= .
考点二、公因式
例2.(2019春•大丰区期末)多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是( )
A.aB.x﹣1C.a(x﹣1)D.a(x2﹣1)
【变式训练】
1.(2019春•三水区期末)多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是( )
A.a+5B.a﹣5C.a+25D.a﹣25
2.(2019•岳阳二模)多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是 .
3.(2017•长安区校级模拟)多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是 .
考点三、提公因式法分解因式
例3.(2019•龙华区校级模拟)若x﹣y=2,xy=3,则x2y﹣xy2的值为( )
A.1B.﹣1C.6D.﹣6
【变式训练】
1.(2019•金山区二模)因式分解:
a3+2a= .
2.(2018•南岸区模拟)若x、y互为相反数,则代数式xy+y2﹣5的值是( )
A.﹣5B.3C.0D.无法确定
3.(2018•鼓楼区一模)计算999﹣93的结果更接近( )
A.999B.998C.996D.933
考点四、利用公式法分解因式
例4.(2019•合肥模拟)分解因式(a2+1)2﹣4a2,结果正确的是( )
A.(a2+1+2a)(a2+1﹣2a)B.(a2﹣2a+1)2
C.(a﹣1)4D.(a+1)2(a﹣1)2
【变式训练】
1.(2019•庐江县模拟)下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.a2﹣1B.a2﹣2a﹣1C.a2﹣a+1D.a2﹣2a+1
2.(2019•长春三模)下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+4b2B.﹣x2+16y2C.﹣a2﹣4b2D.a﹣4b2
3.(2018•江干区一模)将多项式4x2+1再加上一项,使它能分解因式成(a+b)2的形式,以下是四位学生所加的项,其中错误的是( )
A.2xB.﹣4xC.4x4D.4x
4.(2018秋•徽县期末)因式分解:
(1)x4﹣16y4
(2)x3+9x﹣6x2
5.(2018•槐荫区二模)因式分解:
m3n﹣4m2n+4mn
考点五、利用提公因式法和公式法因式分解
例5.(2019•利川市一模)因式分解:
﹣bx3+2bx2﹣bx= .
【变式训练】
1.(2019•南岗区校级模拟)分解因式5a3b﹣10a2b+5ab= .
2.(2019•邵阳县模拟)多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 .
考点六、实数范围内因式分解
例6.(2019•曲靖二模)在实数范围内因式分解:
2x3+8x2+8x=
【变式训练】
1.(2019•静安区二模)如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式,那么m的取值范围是 .
2.(2019•锡山区校级二模)在实数范围内分解因式:
2x2﹣32= .
3.(2019•碑林区校级二模)因式分解:
x2﹣y2﹣2x+2y= .
4.(2019•邗江区校级模拟)把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式,结果是 .
5.(2019•马鞍山二模)因式分解:
4x2﹣y2+2y﹣1= .
考点七、因式分解的综合应用
例7.(2018•沙坪坝区模拟)一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数,如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数,则称正偶数k为“魅力数”,把这个商叫做k的魅力系数,记这个商为F(k).如:
722去掉个位数字是72,2的2倍与72的和是76,76÷19=4,4是整数,所以722是“魅力数”,722的魅力系数是4,记F(722)=4.
(1)计算:
F(304)+F(2052);
(2)若m、n都是“魅力数”,其中m=3030+101a,n=400+10b+c(0≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,a、b、c是整数),规定:
G(m,n)
.当F(m)+F(n)=24时,求G(m,n)的值.
【变式训练】
1.(2019•新宁县模拟)如果x2+Ax+B=(x﹣3)(x+5),求3A﹣B的值.
2.(2018•余杭区一模)已知A=4x2+2x,B=2x+1,回答下列问题:
(1)求A+B,并将它因式分解.
(2)若A=B,求满足条件的x的值.
3.(2018•资中县模拟)对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.
(1)计算:
F(438)和F(562);
(2)若a是“相异数”,证明:
F(a)等于a的各数位上的数字之和;
(3)若a,b都是“相异数”,且a+b=1000,证明:
F(a)+F(b)=28.
4.(2018•河北模拟)当一个多位数的位数为偶数时,在其中间插入一位数k,(0≤k≤9,且k为整数)得到一个新数,我们把这个新数称为原数的关联数.如:
435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729,其中435729=729+435×1000,4356729=729+6×1000+435×10000.
请阅读以上材料,解决下列问题.
(1)现有一个4位数2316,中间插入数字m(0≤m≤9,且m为3的倍数),得其关联数,求证:
所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除;
(2)若一个三位关联数是原来两位数的9倍,请找出满足这样的三位关联数.
参考答案
考点一、因式分解的意义
例1.(2019•庆云县二模)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.8x2y3=2x2⋅4y3B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
C.3x﹣3y﹣1=3(x﹣y)﹣1D.x2﹣8x+16=(x﹣4)2
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;
【解析】①是单项式的变形,不是因式分解;
②是多项式乘以多项式的形式,不是因式分解;
③左侧是多项式加减,右侧也是多项式加减,不是因式分解;
④符合因式分解的定义,结果是整式的积,因此D正确;
故选:
D.
点评:
本题考查因式分解的定义.正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式,是解题的关键.
【变式训练】
1.(2019•嘉祥县一模)下列各式从左到右的变形中,是分解因式的是( )
A.m(a+b+c)=ma+mb+mcB.x2+5x=x(x+5)
C.x2+5x+5=x(x+5)+5D.a2+1=a(a
)
【答案】B.
【解析】A、m(a+b+c)=ma+mb+mc,不符合题意;
B、x2+5x=x(x+5),符合题意;
C、x2+5x+5=x(x+5)+5,不符合题意;
D、a2+1=a(a
),不符合题意,
2.(2015秋•南江县期末)若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式,则a等于 .
【分析】通过4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式,即方程4x2+5x+a的一个解是
,代入方程求出a的值.
【解析】∵4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式,
∴令4x﹣3=0,则x
,
把x
代入方程4x2+5x+a=0中得
a=0,解得:
a=﹣6.
故答案是:
﹣6.
3.(2013•成都模拟)若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b= .
【分析】由多项式有两个因式为x+1与x+2,得到x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解,将两解代入得到关于a与b的方程组,求出方程组的解得到a与b的值,即可求出a+b的值.
【解析】由题意得到:
x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解,
代入方程得:
,即
,
②﹣①得:
a=7,
将a=7代入①得:
b=14,
则a+b=7+14=21.
故答案为:
21.
考点二、公因式
例2.(2019春•大丰区期末)多项式ax2﹣a与多项式ax2﹣2ax+a的公因式是( )
A.aB.x﹣1C.a(x﹣1)D.a(x2﹣1)
【分析】第一个多项式提取a后,利用平方差公式分解,第二个多项式提取a后,利用完全平方公式分解,找出公因式即可.
【解析】多项式ax2﹣a=a(x+1)(x﹣1),多项式ax2﹣2ax+a=a(x﹣1)2,
则两多项式的公因式为a(x﹣1).
故选:
C.
点评:
此题考查了公因式,将两多项式分解因式是找公因式的关键.
【变式训练】
1.(2019春•三水区期末)多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是( )
A.a+5B.a﹣5C.a+25D.a﹣25
【答案】B
【解析】多项式a2﹣25=(a+5)(a﹣5)与a2﹣5a=a(a﹣5)的公因式是:
a﹣5.
故选:
B.
点评:
此题主要考查了公因式,正确将原式分解因式是解题关键.
2.(2019•岳阳二模)多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是 .
【答案】x﹣2
【解析】∵3x2﹣12=3(x2﹣4)=3(x+2)(x﹣2),
x2﹣4x+4=(x﹣2)2,
∴多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2.
故答案为:
x﹣2
3.(2017•长安区校级模拟)多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是 .
【答案】﹣5mx.
【解析】多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx,
故答案为:
﹣5mx.
考点三、提公因式法分解因式
例3.(2019•龙华区校级模拟)若x﹣y=2,xy=3,则x2y﹣xy2的值为( )
A.1B.﹣1C.6D.﹣6
【分析】直接利用提取公因式法分解因式,进而把已知代入求出答案.
【解析】∵x﹣y=2,xy=3,
∴x2y﹣xy2=xy(x﹣y)
=3×2
=6.
故选:
C.
点评:
此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确分解因式是解题关键.
【变式训练】
1.(2019•金山区二模)因式分解:
a3+2a= .
【分析】运用提公因式法分解因式即可,提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式.
【解析】a3+2a=a(a2+2),
故答案为a(a2+2).
2.(2018•南岸区模拟)若x、y互为相反数,则代数式xy+y2﹣5的值是( )
A.﹣5B.3C.0D.无法确定
【分析】由相反数的定义得到x+y=0,所以提取公因式得到:
y(x+y)﹣5,然后代入求值即可.
【解析】依题意得:
x+y=0,
则xy+y2﹣5=y(x+y)﹣5=y×0﹣5=﹣5.
故选:
A.
3.(2018•鼓楼区一模)计算999﹣93的结果更接近( )
A.999B.998C.996D.933
【分析】根据因式分解解答即可.
【解析】999﹣93=93(996﹣1)≈999,
故选:
A.
考点四、利用公式法分解因式
例4.(2019•合肥模拟)分解因式(a2+1)2﹣4a2,结果正确的是( )
A.(a2+1+2a)(a2+1﹣2a)B.(a2﹣2a+1)2
C.(a﹣1)4D.(a+1)2(a﹣1)2
【分析】首先利用平方差公式分解因式,进而利用完全平方公式分解因式得出即可.
【解析】(a2+1)2﹣4a2
=(a2+1﹣2a)(a2+1+2a)
=(a﹣1)2(a+1)2.
故选:
D.
点评:
此题主要考查了公式法因式分解,正确应用乘法公式是解题关键.
【变式训练】
1.(2019•庐江县模拟)下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.a2﹣1B.a2﹣2a﹣1C.a2﹣a+1D.a2﹣2a+1
【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案.
【解析】A、a2﹣1=(a+1)(a﹣1),故此选项错误;
B、a2﹣2a﹣1,无法分解因式,故此选项错误;
C、a2﹣a+1,无法运用完全平方公式分解因式,故此选项错误;
D、a2﹣2a+1=(a﹣1)2,正确.
故选:
D.
2.(2019•长春三模)下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+4b2B.﹣x2+16y2C.﹣a2﹣4b2D.a﹣4b2
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差.
【解析】A、是a、2b平方的和,不能用平方差公式分解因式;故此选项错误;
B、﹣x2+16y2=(4y)2﹣x2是4y与x的平方的差,能用平方差公式分解因式;故此选项错误;
C、两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式,故此选项正确;
D.a不是平方形式,故不能因式分解,故此选项错误.
故选:
B.
3.(2018•江干区一模)将多项式4x2+1再加上一项,使它能分解因式成(a+b)2的形式,以下是四位学生所加的项,其中错误的是( )
A.2xB.﹣4xC.4x4D.4x
【分析】分①4x2是平方项,②4x2是乘积二倍项,③1是乘积二倍项,然后根据完全平方公式的结构解答.
【解析】A、4x2+1+2x,无法运用完全平方公式分解因式,故此选项符合题意;
B、4x2+1﹣4x=(2x﹣1)2,能运用完全平方公式分解因式,故此选项不符合题意;
C、4x4+4x2+1=(2x2+1)2,能运用完全平方公式分解因式,故此选项不符合题意;
D、4x2+1+4x=(2x+1)2,能运用完全平方公式分解因式,故此选项不符合题意;
故选:
A.
4.(2018秋•徽县期末)因式分解:
(1)x4﹣16y4
(2)x3+9x﹣6x2
【分析】
(1)原式利用平方差公式分解即可;
(2)原式提取x,再利用完全平方公式分解即可.
【解析】
(1)原式=(x2+4y2)(x2﹣4y2)=(x2+4y2)(x+2y)(x﹣2y);
(2)原式=x(x2﹣6x+9)=x(x﹣3)2.
5.(2018•槐荫区二模)因式分解:
m3n﹣4m2n+4mn
【答案】mn(m﹣2)2.
【解析】原式=mn(m2﹣4m+4)
=mn(m﹣2)2.
考点五、利用提公因式法和公式法因式分解
例5.(2019•利川市一模)因式分解:
﹣bx3+2bx2﹣bx= .
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解析】原式=﹣bx(x2﹣2x+1)=﹣bx(x﹣1)2.
故答案为:
﹣bx(x﹣1)2
点评:
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【变式训练】
1.(2019•南岗区校级模拟)分解因式5a3b﹣10a2b+5ab= .
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解析】原式=5ab(a2﹣2a+1)=5ab(a﹣1)2,
故答案为:
5ab(a﹣1)2
2.(2019•邵阳县模拟)多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 .
【分析】原式利用十字相乘法,以及平方差公式分解即可.
【解析】原式=(x2﹣4)(x2﹣3)=(x+2)(x﹣2)(x
)(x
),
故答案为:
(x+2)(x﹣2)(x
)(x
)
考点六、实数范围内因式分解
例6.(2019•曲靖二模)在实数范围内因式分解:
2x3+8x2+8x=
【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【解析】原式=2x(x2+4x+4)=2x(x+2)2,
故答案为:
2x(x+2)2
点评:
此题考查了实数范围内分解因式,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【变式训练】
1.(2019•静安区二模)如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式,那么m的取值范围是 .
【答案】m>4.
【解答】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式,就是对应的二次方程x2﹣4x+m=0无实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m<0,
∴m>4.
故答案为:
m>4.
2.(2019•锡山区校级二模)在实数范围内分解因式:
2x2﹣32= .
【答案】2(x+4)(x﹣4)
【解析】原式=2(x2﹣16)=2(x+4)(x﹣4),
故答案为:
2(x+4)(x﹣4)
3.(2019•碑林区校级二模)因式分解:
x2﹣y2﹣2x+2y= .
【答案】(x﹣y)(x+y﹣2).
【解析】x2﹣y2﹣2x+2y=(x2﹣y2)﹣(2x﹣2y)=(x+y)(x﹣y)﹣2(x﹣y)=(x﹣y)(x+y﹣2).
故答案为:
(x﹣y)(x+y﹣2).
4.(2019•邗江区校级模拟)把多项式a2﹣2ab+b2﹣1分解因式,结果是 .
【答案】(a﹣b+1)(a﹣b﹣1).
【解析】a2﹣2ab+b2﹣1
=(a﹣b)2﹣1
=(a﹣b+1)(a﹣b﹣1).
故答案为:
(a﹣b+1)(a﹣b﹣1).
5.(2019•马鞍山二模)因式分解:
4x2﹣y2+2y﹣1= .
【答案】(2x+y﹣1)(2x﹣y+1).
【解析】4x2﹣y2+2y﹣1
=4x2﹣(y2﹣2y+1)
=(2x)2﹣(y﹣1)2
=(2x﹣y+1)(2x+y﹣1)
故答案为:
(2x+y﹣1)(2x﹣y+1).
考点七、因式分解的综合应用
例7.(2018•沙坪坝区模拟)一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数,如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数,则称正偶数k为“魅力数”,把这个商叫做k的魅力系数,记这个商为F(k).如:
722去掉个位数字是72,2的2倍与72的和是76,76÷19=4,4是整数,所以722是“魅力数”,722的魅力系数是4,记F(722)=4.
(1)计算:
F(304)+F(2052);
(2)若m、n都是“魅力数”,其中m=3030+101a,n=400+10b+c(0≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,a、b、c是整数),规定:
G(m,n)
.当F(m)+F(n)=24时,求G(m,n)的值.
【分析】
(1)根据题意代入就可以解决.
(2)根据题意列出方程,再根据解的整数性解出a,b,c的值,再代入G(m,n)可求值.
【解析】
(1)∵30+2×4=38,38÷19=2,∴(F304)=2,
∵205+2×2=209,209÷19=11,∴F(2052)=11,
∴F(304)+F(2052)=13;
(2)∵m=3030+101a=3000+100a+30+a,
∴
,
∵m是魅力数,∴
是整数,
∵0≤a≤9,且a是偶数,∴a=0,2,4,6,8.
当a=0时,
不符合题意,
当a=2时,
不符合题意,
当a=4时,当
不符合题意,
当a=6时,当
不符合题意,
当a=8时,当
符合题意,
∴a=8,此时m=3838,F(m)=F(3838)=21,
又∵F(m)+F(n)=24,∴F(n)=3,
∵n=400+10b+c,∴
,
∴b+2c=17,
∵n是魅力数,∴c是偶数,
又∵0≤c≤9,∴c=0,2,4,6,8,
当c=0时,b=17不符合题意,
当c=2时,b=13不符合题意,
当c=4时,b=9符合题意,此时
,
当c=6时,b=5符合题意,此时
,
当c=8时,b=1符合题意,此时
.
故G(m,n)的值为
或
或0.
【变式训练】
1.(2019•新宁县模拟)如果x2+Ax+B=(x﹣3)(x+5),求3A﹣B的值.
【分析】根据整式的乘法,可得相等的整式,根据相等整式中同类项的系数相等,可得答案.
【解析】x2+Ax+B=(x﹣3)(x+5)=x2+2x﹣15,得
A=2,B=﹣15.
3A﹣B=3×2+15=21.
点评:
本题考查了因式分解,利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键.
2.(2018•余杭区一模)已知A=4x2+2x,B=2x+1,回答下列问题:
(1)求A+B,并将它因式分解.
(2)若A=B,求满足条件的x的值.
【分析】
(1)直接利用合并同类项法则计算得出答案;
(2)直接利用平方根的定义得出x的值.
【解析】
(1)∵A=4x2+2x,B=2x+1,
∴A+B=4x2+2x+2x+1=(2x+1)2;
(2)A=B即4x2+2x=2x+1,
则4x2=1,
解得:
x=±
.
3.(2018•资中县模拟)对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.
(1)计算:
F(438)和F(562);
(2)若a是“相异数”,证明:
F(a)等于a的各数位上的数字之和;
(3)若a,b都是“相异数”,且a+b=1000,证明:
F(a)+F(b)=28.
【答案】见解析
【解析】
(1)F(438)
15,
F(562)
13;
(2)设:
a对应的三位数是ABC,
F(a)
A+B+C;
(3)设:
a对应的三位数是ABC,b对应的三位数是DEF,
a+b=1000,即:
100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=1000,
∵A、B、C各个数字不同,D、E、F各个数字也不同,
先考虑900+90+10=1000的情况:
A+D≤9,当A=1时,D=8,100(A+D)=900,
B+E≤9,B=2,E=7,10(B+E)=90,
C+F=10,C=4,F=6,(C+F)=10,
符合题意,经验证其它情况均不符合题意,
故:
A=1、D=8、B=2、E=7、C=4、F=6,
∴F(a)+F(b)=A+D+B+E+C+F=28.
4.(2018•河北模拟)当一个多位数的位数为偶数时,在其中间插入一位数k,(0≤k≤9,且k为整数)得到一个新数,我们把这个新数称为原数的关联数.如:
435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729,其中435729=729+435×1000,4356729=729+6×1000+435×10000.
请阅读以上材料,解决下列问题.
(1)现有一个4位数2316,中间插入数字m(0≤m≤9,且m为3的倍数),得其关联数,求证
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