模糊数学教学ppt课件.ppt
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2022年10月3日,1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界,可把我们身边的现象划分为:
1.确定性现象:
如水加温到100oC就沸腾,这种现象的规律性靠经典数学去刻画;2.随机现象:
如掷筛子,观看那一面向上,这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象:
如“今天天气很热”,“小伙子很帅”,等等。
此话准确吗?
有多大的水分?
靠模糊数学去刻画。
2022年10月3日,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
共同特点:
模糊概念的外延不清楚。
模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。
模糊数学绪论,2022年10月3日,3,产生,1965年,L.A.Zadeh(扎德)发表了文章模糊集(FuzzySets,InformationandControl,8,338-353),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。
某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2022年10月3日,4,模糊代数,模糊拓扑,模糊逻辑,模糊分析,模糊概率,模糊图论,模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择;,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,2022年10月3日,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1.模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集,隶属函数,模糊关系与模糊矩阵,例如,给出不同地方的土壤,根据土壤中氮磷以及有机质含量,PH值,颜色,厚薄等不同的性状,对土壤进行分类。
2022年10月3日,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型,给出一个具体的对象,确定把它归于哪一类模型。
模糊数学绪论,例如:
苹果分级问题苹果,有I级,II级,III级,IV级四个等级。
现有一个具体的苹果,如何判断它的级别。
2022年10月3日,7,3.模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如:
某班学生对于对某一教师上课进行评价从清楚易懂,教材熟练,生动有趣,板书清晰四方面给出很好,较好,一般,不好四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。
4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化,引入隶属函数,从而导出一个新的线性规划问题,其最优解称为原问题的模糊最优解,2022年10月3日,8,模糊数学,2022年10月3日,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。
模糊集合及其运算,2022年10月3日,10,.u,A,A,.u,模糊集合及其运算,2022年10月3日,11,其中,函数称为集合A的特征函数。
模糊集合及其运算,非此及彼,2022年10月3日,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合,元素x,若x位于A的内部,则用1来记录,若x位于A的外部,则用0来记录,若x一部分位于A的内部,一部分位于A的外部,,则用,x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。
2022年10月3日,13,0,1,0,1,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2022年10月3日,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示x隶属于A的程度越小;,越接近于1,表示x隶属于A的程度越大;,0.5,最具有模糊性,过渡点,2022年10月3日,15,模糊子集通常简称模糊集,其表示方法有:
(1)Zadeh表示法,这里表示对模糊集A的隶属度是。
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2022年10月3日,16,(3)向量表示法,
(2)序偶表示法,若论域U为无限集,其上的模糊集表示为:
模糊集合及其运算,2022年10月3日,17,例1.有100名消费者,对5种商品评价,,结果为:
81人认为x1质量好,53人认为x2质量好,,所有人认为x3质量好,没有人认为x4质量好,24人认为x5质量好,则模糊集A(质量好),2022年10月3日,18,例2:
考虑年龄集U=0,100,O=“年老”,O也是一个年龄集,u=20A,40呢?
札德给出了“年老”集函数刻画:
1,0,U,50,100,2022年10月3日,19,再如,Y=“年轻”也是U的一个子集,只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样,札德给出它的隶属函数:
1,0,25,50,U,2022年10月3日,20,则模糊集O(年老),则模糊集Y(年轻),2022年10月3日,21,2、模糊集的运算,定义:
设A,B是论域U的两个模糊子集,定义,相等:
包含:
并:
交:
余:
模糊集合及其运算,2022年10月3日,22,例3.,模糊集合及其运算,则:
0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,2022年10月3日,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1.幂等律,2.交换律,3.结合律,4.吸收律,2022年10月3日,24,模糊集合及其运算,6.0-1律,7.还原律,8.对偶律,5.分配律,2022年10月3日,25,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素:
模糊集合及其运算,2022年10月3日,26,特点:
在各次试验中,是固定的,而在随机变动。
模糊统计试验过程:
(1)做n次试验,计算出,模糊集合及其运算,2022年10月3日,27,模糊集合及其运算,对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间,,问年龄27属于模糊集A(青年人)的隶属度。
2022年10月3日,28,对年龄27作出如下的统计处理:
A(27)=0.78,2022年10月3日,29,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向:
偏大型,偏小型,中间型。
例如:
在论域中,确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2022年10月3日,30,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的,比如,此时有,不太合理,故改变,2022年10月3日,31,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。
2022年10月3日,32,3、其它方法,模糊集合及其运算,2022年10月3日,33,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如:
2022年10月3日,34,
(1)模糊矩阵间的关系及运算,定义:
设都是模糊矩阵,定义,相等:
包含:
模糊集合及其运算,并:
交:
余:
2022年10月3日,35,例4:
模糊集合及其运算,2022年10月3日,36,
(2)模糊矩阵的合成,定义:
设称模糊矩阵,为A与B的合成,其中。
模糊集合及其运算,即:
定义:
设A为阶,则模糊方阵的幂定义为,2022年10月3日,37,例5:
模糊集合及其运算,2022年10月3日,38,(3)模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质:
2022年10月3日,39,(4)模糊矩阵的截矩阵,显然,截矩阵为Boole矩阵。
模糊集合及其运算,2022年10月3日,40,例6:
模糊集合及其运算,2022年10月3日,41,若要求至少应达到0.5水平,则有夏、商、西周、春秋、战国,若要求至少应达到0.7水平,则有夏、商、西周、春秋,-截集,2022年10月3日,42,截矩阵的性质:
性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及其运算,2022年10月3日,43,下面证明性质1:
ABAB,证:
ABaijbij;当aijbij时,aij()=bij()=1;当aijbij时,aij()=0,bij()=1;当aijbij时,aij()=bij()=0;综上所述aij()bij(),故AB.,2022年10月3日,44,证明性质3,设A=(aij)ms,B=(bij)sn,AB=C=(cij)mn,cij()=1cij(aikbkj),k,(aikbkj)k,aik,bkjk,aik()=bkj()=1(aik()bkj()=1,cij()=0cij(aikbkj),k,(aikbkj)k,aik或bkjk,aik()=0或bkj()=0(aik()bkj()=0,所以,cij()=(aik()bkj().,(AB)=AB.,2022年10月3日,45,(5)特殊的模糊矩阵,定义:
若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。
例如,是模糊自反矩阵。
定义:
若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。
例如,是模糊对称矩阵。
模糊集合及其运算,2022年10月3日,46,模糊集合及其运算,定义:
若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。
例如,是模糊传递矩阵。
2022年10月3日,47,模糊集合及其运算,定义:
若模糊方阵Q,S,A满足,则称S为A的传递闭包,记为t(A)。
2022年10月3日,48,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,2022年10月3日,49,模糊聚类分析,定理:
R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。
意义:
将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵,可以得到有限论域上的普通等价关系,而等价关系是可以分类的。
因此,当在0,1上变动时,由得到不同的分类。
2022年10月3日,50,模糊聚类分析,2022年10月3日,51,例6:
设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,2022年10月3日,52,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下:
0.8,0.6,0.5,0.4,1,2022年10月3日,53,模糊聚类分析,2022年10月3日,54,例7:
设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,2022年10月3日,55,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,2022年10月3日,56,
(1)标准差标准化,模糊聚类分析,2022年10月3日,57,
(2)极差正规化,(3)极差标准化,模糊聚类分析,2022年10月3日,58,、建立模糊相似矩阵(标定),
(1)相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,2022年10月3日,59,
(2)距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,2022年10月3日,60,(3)贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,2022年10月3日,61,3、聚类并画出动态聚类图,
(1)模糊传递闭包法,步骤:
模糊聚类分析,2022年10月3日,62,模糊聚类分析,2022年10月3日,63,解:
由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,2022年10月3日,64,用最大最小法构造模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,2022年10月3日,65,用平方法合成传递闭包,2022年10月3日,66,取,得,模糊聚类分析,2022年10月3日,67,取,得,取,得,模糊聚类分析,2022年10月3日,68,取,得,取,得,模糊聚类分析,2022年10月3日,69,画出动态聚类图如下:
模糊聚类分析,2022年10月3日,70,
(2)最大树法由我国吴望名教授提出,设R是有限论域X上的模糊关系,称二元有序组G=(X,R)为模糊关系图.给定X上的模糊关系R后,可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树,具体做法如下:
2022年10月3日,71,先画出被分类的元素集.从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重.若在某一步会出现回路,便不画那一步.直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树.取定0,1,砍断权重低于的枝,就可得到一个不连通的图,各连通分支就构成了在水平上的分类.这种模糊聚类方法叫做最大树法.,2022年10月3日,72,2022年10月3日,73,(3)编网法由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R出发,经过“编网”直接完成聚类的。
具体做法是:
取定水平0,1,求得截矩阵R,并将R的主对角线上填入元素,在主对角线的下三角部分,以“*”
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