概率论与数理统计教程 魏宗舒 课后习题解答答案78章.docx
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概率论与数理统计教程魏宗舒课后习题解答答案78章
第七章假设检验
设总体,其中参数,为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设:
(1);
(2);
(3);(4);
(5).
解:
(1)是简单假设,其余位复合假设
设取自正态总体,其中参数未知,是子样均值,如对检验问题取检验的拒绝域:
,试决定常数,使检验的显著性水平为
解:
因为,故
在成立的条件下,
,所以=。
设子样取自正态总体,已知,对假设检验,取临界域,
(1)求此检验犯第一类错误概率为时,犯第二类错误的概率,并讨论它们之间的关系;
(2)设=,=,=,n=9,求=时不犯第二类错误的概率。
解:
(1)在成立的条件下,,此时
所以,,由此式解出
在成立的条件下,,此时
由此可知,当增加时,减小,从而减小;反之当减少时,则增加。
(2)不犯第二类错误的概率为
设一个单一观测的子样取自分布密度函数为的母体,对考虑统计假设:
试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足,并求其最小值。
解设检验函数为
(c为检验的拒绝域)
要使,当时,
当时,
所以检验函数应取,此时,。
设某产品指标服从正态分布,它的根方差已知为150小时。
今由一批产品中随机抽取了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在5%的显著性水平下,能否认为该批产品指标为1600小时?
解总体,对假设,,采用U检验法,在为真时,检验统计量
临界值
,故接受。
某电器零件的平均电阻一直保持在,根方差保持在,改变加工工艺后,测得100个零件,其平均电阻为,根方差不变,问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?
去显著性水平=。
解设改变工艺后电器的电阻为随机变量,则未知,,
假设为,统计量
由于,故拒绝原假设。
即新工艺对电阻有显著差异。
有甲乙两个检验员,对同样的试样进行分析,各人实验分析的结果如下:
实验号
12345678
甲
8
乙
试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异?
解此问题可以归结为判断是否服从正态分布,其中未知,即要检验假设。
由t检验的统计量
取=,又由于,,故接受
某纺织厂在正常工作条件下,平均每台布机每小时经纱断头率为根,每台布机的平均断头率的根方差为根,该厂作轻浆试验,将轻纱上浆率减低20%,在200台布机上进行实验,结果平均每台每小时轻纱断头次数为根,根方差为,问新的上浆率能否推广?
取显著性水平。
解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量,有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为及,问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大,即要检验
由于未知,且n较大,用t检验,统计量为
查表知,故拒绝原假设,不能推广。
在十块土地上试种甲乙两种作物,所得产量分别为,,假设作物产量服从正态分布,并计算得,,,取显著性水平,问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别?
解甲作物产量,乙作物产量,即要检验
由于,未知,要用两子样t检验来检验假设,由F检验,统计量为
(取显著性水平)
故接受假设,于是对于要检验的假设取统计量
又时,,所以接受原假设,即两品种的产量没有显著性差别。
有甲、乙两台机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品,测得产品直径为(单位:
mm):
甲,,,,,。
,
乙,,,,,,。
试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异?
显著性水平为。
解:
假定甲产品直径服从,由子样观察值计算得,。
乙产品直径服从,由子样观察值计算得,。
要比较两台机床加工的精度,既要检验
由F-检验
时查表得:
,
由于,所以接受,即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。
随机从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(cm)
设钉长服从正态分布,分别对下面两个情况求出总体均值的90%的置信区间
(1);
(2)未知
解
(1)由子样函数,,可求的置信区间
置信下限
置信上限
(2)在未知时,由子样函数,可求得置信区间为
置信下限
置信上限
包糖机某日开工包糖,抽取12包糖,称得重量为
假定重量服从正态分布,试由此数据对该机器所包糖的平均重量求置信水平为95%的区间估计。
解由于未知,用统计量,计算各数据值后可以得到均值的置信区间,置信上限为,下限为
随机取9发炮弹做实验,得炮口速度的方差的无偏估计(米/秒)2,设炮口速度服从正态分布,分别求出炮口速度的标准差和方差的置信水平为90%的置信区间。
解选取统计量,可得的置信区间为:
因为
故,标准差的置信区间取方差的根方即可。
假设六个整数1,2,3,4,5,6被随机地选择,重复60次独立实验中出现1,2,3,4,5,6的次数分别为13,19,11,8,5,4。
问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立:
。
解:
用拟合优度检验,如果成立
列表计算的观察值:
组数i
频数
1
2
3
4
5
6
13
19
11
8
5
4
10
10
10
10
10
10
3
9
1
-2
-5
-6
,=
由于,所以拒绝。
即等概率的假设不成立。
对某型号电缆进行耐压测试实验,记录43根电缆的最低击穿电压,数据列表如下:
测试电压
击穿频数11127884641
试对电缆耐压数据作分析检验(用概率图纸法和拟合优度检验)。
解:
用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布,下面拟合优度检验假设
其中为和的极大似然估计,其观察值
所以要检验的假设
分组列表计算统计量的观察值。
组距
频数
标准化区间
4.1
4.2
4.3
5
7
8
12
6
5
用查表由于,所以不能否定正态分布的假设。
用手枪对100个靶各打10发,只记录命中或不命中,射击结果列表如下
命中数:
012345678910
频数:
0241022261812420
在显著水平下用拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。
解对每一靶打一发,只记录命中或不命中可用二点分布描述,而对一个靶打十发,其射击结果可用二项分布来描述,其中未知,可求其极大似然估计为
设是十发射击中射中靶的个数,建立假设
用拟合优度检验法列表如下:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
2
4
10
22
26
18
12
4
2
0
取,=
由于,所以接受。
7.17在某细纱机上进行断头率测定,试验锭子总数为440,测得断头总次数为292次只锭子的断头次数纪律于下表。
问每只锭子的纺纱条件是否相同?
每锭断头数012345679
锭数(实测)263112381931103
解:
如果各个锭子的纺纱条件元差异,则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布,所以问题是要检验每只锭子的断头数。
其中未知,求其极大似然估计为,建立假设,由拟合优度检验。
列表
断头数
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4-8
268
112
38
19
8
取,=,
取,=
由于,所以拒绝。
即认为每只锭子纺纱条件不相同。
第八章方差分析和回归分析
考察温度对某一化工产品得率的影响,选了五种不同的温度,在同一温度下做了三次实验,测得其得率如下,试分析温度对得率有无显著影响。
温度
60
65
70
75
80
得率
90
92
88
91
93
92
96
96
93
84
83
83
84
89
82
解把原始数据均减去90后可列出如下计算表和方差分析表,表示因子水平数,为重复实验次数。
温度
60
65
70
75
80
0
5
-2
1
3
2
6
6
3
-6
-7
-2
-6
-4
-8
0
6
15
-15
-18
计算表
方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
温度
e
38
4
10
总和
17
由于,所以在上水平上认为温度对得率有显著影响。
下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日产量:
机器
操作工
甲
乙
丙
15
17
15
18
15
17
17
20
17
17
16
22
17
15
18
15
19
15
17
16
16
15
16
17
16
19
18
17
18
22
18
17
21
22
18
17
试在显著性水平下检验:
(1)操作工之间有无显著性差异?
(2)机器之间的差异是否显著?
(3)操作工与机器的交互作用是否显著?
解用表示机器的水平数,表示操作工的水平数,表示重复实验次数,列出计算表和方差分析表:
甲
乙
丙
47
51
48
60
54
45
51
48
55
63
54
51
156
159
153
159
206
198
223
627
,
,,
方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
机器
操作工
交互作用
3
2
6
24
<1
总和
35
由于,所以在水平上,操作工有显著差异,机器之间无显著差异,交互作用有显著差异。
通过原点的一元线性回归模型时怎样的?
通过原点的二元线性回归模型是怎样的?
分别写出结构矩阵,正规方程组的系数矩阵,常数项矩阵,并写出回归系数的最小二乘法估计公式。
解通过原点的一元线性回归模型:
,
的最小二乘估计为
通过原点的二元线性回归模型:
,
的最小二乘估计为:
对不同的元麦堆测得如下数据:
堆号
1
2
3
4
5
6
重量
跨度
2813
2705
11103
2590
2131
5181
试求重量对跨度的回归方程,并求出根方差的估计值。
解设所求回归方程为,由数据可以求出:
由最小二乘法估计公式可知
故可得回归方程:
的估计是
则的估计为655
设
相互独立同服从于。
(1)写出矩阵
(2)求的最小二乘估计
(3)证明当时,的最小二乘估计不变
解
(1)
(2),,则,的最小二乘估计是
(3)若,此时模型成为:
,则对应的
,,,的最小二乘估计是
若与有下述关系:
其中从中获得了n组独立观测值,能否求出的最小二乘估计,试写出最小二乘估计的公式,能否检验假设
试写出检验的拒绝域。
解
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