高中数学 第二章 平面向量 233 向量数量积的坐标运算与度量公式学案 新人教B版必修4.docx
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高中数学第二章平面向量233向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
预习课本P112~114,思考并完成以下问题
(1)平面向量数量积的坐标表示是什么?
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直?
1.向量数量积及向量垂直的坐标表示
设a=(a1,a2),b=(b1,b2)
(1)数量积a·b=a1b1+a2b2.
(2)若a,b为非零向量,a⊥b⇔a1b1+a2b2=0.
[点睛] 记忆口诀:
数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”.
2.三个重要公式
(1)向量的长度公式:
已知a=(a1,a2),则|a|=.
(2)两点间的距离公式:
A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
(3)向量的夹角公式:
a=(a1,a2),b=(b1,b2),则cos〈a,b〉=.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和.( )
(2)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥b⇔a1b1+a2b2=0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)×
2.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是( )
A.23 B.7 C.-23 D.-7
答案:
D
3.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是( )
A.{2,3} B.{-1,6}C.{2} D.{6}
答案:
C
4.已知a=(1,),b=(-2,0),则|a+b|=________.
答案:
2
平面向量数量积的坐标运算
[典例]
(1)(全国卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0
C.1D.2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )
A.5B.4
C.3D.2
[解析]
(1)a=(1,-1),b=(-1,2),
∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
(2)由=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·=(2,1)·(3,-1)=5.
[答案]
(1)C
(2)A
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:
一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
[活学活用]
已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(b·c)·a.
解:
(1)因为a与b同向,又b=(1,2),
所以a=λb=(λ,2λ).
又a·b=10,所以1·λ+2·2λ=10,解得λ=2>0.
因为λ=2符合a与b同向的条件,所以a=(2,4).
(2)因为b·c=1×2+2×(-1)=0,
所以(b·c)·a=0·a=0.
向量的模的问题
[典例]
(1)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.B.
C.2D.10
(2)已知点A(1,-2),若向量与a=(2,3)同向,||=2,则点B的坐标是________.
[解析]
(1)由⇒⇒
∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1).
∴|a+b|=.
(2)由题意可设=λa(λ>0),
∴=(2λ,3λ).又||=2,
∴(2λ)2+(3λ)2=
(2)2,解得λ=2或-2(舍去).
∴=(4,6).又A(1,-2),∴B(5,4).
[答案]
(1)B
(2)(5,4)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:
利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[活学活用]
1.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,0),则|2a-b|的最大值为________.
解析:
2a-b=(2cosθ-,2sinθ),
|2a-b|=
=
=,
当且仅当cosθ=-1时,|2a-b|取最大值2+.
答案:
2+
2.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|=________.
解析:
∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·b=2×(-1)+4×2=6,∴c=a-(a·b)b=(2,4)-6(-1,2)=(2,4)-(-6,12)=(8,-8),
∴|c|==8.
答案:
8
向量的夹角和垂直问题
[典例]
(1)已知a=(3,2),b=(-1,2),(a+λb)⊥b,则实数λ=________.
(2)已知a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c与d的夹角为,则实数k的值为________.
[解析]
(1)∵a=(3,2),b=(-1,2),
∴a+λb=(3-λ,2+2λ).
又∵(a+λb)⊥b,
∴(a+λb)·b=0,
即(3-λ)×(-1)+2×(2+2λ)=0,
解得λ=-.
(2)c=a+kb=(2-k,1-k),d=a+b=(1,0),
由cos=得=,
∴(2-k)2=(k-1)2,∴k=.
[答案]
(1)-
(2)
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|,再由cosθ=求出cosθ,也可由坐标表示cosθ=直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时,应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π,利用cosθ=来判断角θ时,要注意cosθ<0有两种情况:
一是θ是钝角,二是θ=π;cosθ>0也有两种情况:
一是θ为锐角,二是θ=0.
[活学活用]
已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
解:
(1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12.
∵a⊥c,∴3×4+4y=0,∴y=-3,
∴b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,
则cosθ==
==-.
∵θ∈[0,π],∴θ=,
即m,n的夹角为.
求解平面向量的数量积
[典例] 已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,求·+·+·的值.
[解] [法一 定义法]
如图,根据题意可得△ABC为直角三角形,且B=,cosA=,cosC=,
∴·+·+·
=·+·
=4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A)
=-20cosC-15cosA
=-20×-15×
=-25.
[法二 坐标法]
如图,建立平面直角坐标系,
则A(3,0),B(0,0),C(0,4).
∴=(-3,0),=(0,4),=(3,-4).
∴·=-3×0+0×4=0,
·=0×3+4×(-4)=-16,
·=3×(-3)+(-4)×0=-9.
∴·+·+·=0-16-9=-25.
[法三 转化法]
∵||=3,||=4,||=5,
∴AB⊥BC,∴·=0,
∴·+·+·=·(+)
=·=-||2=-25.
求平面向量数量积常用的三个方法
(1)定义法:
利用定义式a·b=|a||b|cosθ求解;
(2)坐标法:
利用坐标式a·b=a1b1+a2b2解题;
(3)转化法:
求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简,然后进行计算.
[活学活用]
如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cos∠DOE的值为________.
解析:
法一:
以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得=,=.
故cos∠DOE===.
法二:
∵=+=+,
=+=+,
∴||=,||=,
·=2+2=1,
∴cos∠DOE==.
答案:
层级一 学业水平达标
1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b方向上的投影为( )
A. B.3
C.-D.-3
解析:
选D 向量a在b方向上的投影为==-3.选D.
2.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=( )
A.B.
C.2D.10
解析:
选B 由a⊥b得a·b=0,
∴x×1+1×(-2)=0,即x=2,
∴a+b=(3,-1),
∴|a+b|==.
3.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
A.-12B.-6
C.6D.12
解析:
选D 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.
4.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选C 设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以解得故b=(-5,12),所以cos〈a,b〉==.
5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
解析:
选A 由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),∴·=2×8+(-4)×4=0,即⊥.
∴∠BAC=90°,
故△ABC是直角三角形.
6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
解析:
a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.
答案:
7.已知向量a=(1,),2a+b=(-1,),a与2a+b的夹角为θ,则θ=________.
解析:
∵a=(1,),2a+b=(-1,),
∴|a|=2,|2a+b|=2,a·(2a+b)=2,
∴cosθ==,
∴θ=.
答案:
8.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则向量b的坐标为________.
解析:
设b=(x,y)(y≠0),则依题意有解得故b=.
答案:
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解:
(1)若a⊥b,
则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)
=1×(2x+3)+x(-x)=0,
即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,
即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
a-b=(-2,0),|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
a-b=(2,-4),|a-b|==2.
综上,|
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