02第二节 简单的轴对称图形.docx

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02第二节简单的轴对称图形

第二节简单的轴对称图形

第二课时

●课题

§7.2.1简单的轴对称图形

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.了解角的平分线的性质.

2.了解线段垂直平分线的性质.

（二）能力训练要求

1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.

2.探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质.

（三）情感与价值观要求

通过师生的共同活动，培养学生的动手能力，进一步发展其空间观念.

●教学重点

探索角的平分线，线段的垂直平分线的性质.

●教学难点

体验轴对称的特征.

●教学方法

启发诱导法.

●教具准备

投影片四张：

第一张：

想一想（记作投影片§7.2.1A）

第二张：

做一做（记作投影片§7.2.1B）

第三张：

想一想（记作投影片§7.2.1C）

第四张：

做一做（记作投影片§7.2.1D）

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情景，引入新课

［师］上节课我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽.那什么样的图形是轴对称图形呢？

［生］如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

［师］很好，大家想一想，我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢？

［生甲］正方形、矩形.

［生乙］圆、菱形.

［生丙］等腰三角形、角.

［师］很好.今天我们就来研究简单的轴对称图形.

Ⅱ.讲授新课

［师］同学们想一想：

（出示投影片§7.2.1A）

角是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

［生甲］角是轴对称图形.

［生乙］角平分线所在的直线是它的对称轴.

［师］是吗？

你能验证吗？

我们来做一做（出示投影片§7.2.1B）

按下面的步骤做一做

1.在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下.将这个角对折，使角的两边重合.

2.在折痕（即角平分线）上任意取一点C；

3.过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA边的交点，即垂足.

4.将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E.

［师］老师和大家一起动手.

（教师叙述步骤，师生共同操作）

［师］通过第一步，我们可以验证什么？

［生齐声］可以知道：

角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

［师］很好，在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段？

［生］我发现了：

CD与CE是相等的.

［师］为什么呢？

［生］因为折痕CD与CE互相重合.

［师］还可以怎么说呢？

可不可以利用三角形全等呢？

图7－1

［师生共析］如图7－1，CD垂直OA、CE垂直OB，则∠ODC=∠OEC=90°.因为：

OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC.又因为OC是公共边，所以根据“两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”得：

△COD与△COE全等，再由“全等三角形的对应边相等”得：

CD=CE.

［师］很好，在上述操作过程中，如果在折痕即角平分线上另取一点，再折一折，然后小组讨论，你会得出什么结论呢？

［生］角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

［师］同学们总结得很好，这就是角平分线除平分角外的另一个主要性质.在这里需要注意的是：

①一个点在角的平分线上；②角平分线上的点到角的两边的距离是相等的.

好，大家再来想一想：

（出示投影片§7.2.1C）

线段是轴对称图形吗？

如果是，你能找出它的一条对称轴吗？

［生甲］线段是轴对称图形，它的对称轴是与线段垂直的且垂足是线段中点的直线.

［生乙］线段还可以沿它所在的直线对折，使得与原来的线段重合，所以说：

线段所在的直线也是线段的对称轴.

［师］很好.同学们知道了线段是轴对称图形，还找到了它的对称轴.现在大家来按照研究角的思路来探索线段的轴对称性.（出示投影片§7.2.1D）

按照下面的步骤来做一做：

（1）画一条线段AB，对折AB使点A、B重合，折痕与AB的交点为O.

（2）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠.

（3）把纸展开，得到折痕CA和CB.

（1）CO与AB有怎样的位置关系？

（2）OA与OB相等吗？

CA与CB呢？

能说明你的理由吗？

在折痕上另取一点，再试一试.

（学生操作、思考，教师指导）

［生甲］通过折叠，我们验证了线段是轴对称图形.

［生乙］CO与AB是垂直的.

［生丙］OA与OB相等，因为OA与OB重合；CA与CB也是相等的，因为它们互相重合.

［师］很好.OA与OB相等，而A、O、B是在同一直线上，所以可知：

O是线段AB的中点，OC与AB是垂直的，因此可以知道：

线段的一条对称轴垂直于这条直线且平分它，我们把这样的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线（midperpendicular）.

点C是AB的中垂线上一点，则有CA=CB，若在线段AB的中垂线上另取一点D，是否也有DA=DB呢？

大家来试一试.

［生］我们通过操作可知：

DA=DB.

［师］那由此可以得到什么样的结论呢？

同学们讨论、归纳.

［生］从刚才操作的过程及得出的结论可以知道：

线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

［师］很好.这样我们得到了线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

这个性质具有绝对性.如：

有一条线段AB，如果直线MN是线段AB的垂直平分线，那么如果给出一点O，无论O点是否在直线上，还是在直线外，只要O点在MN上，我们就可以得出结论：

OA=OB.

你能说明理由吗？

图7－2

［师生共析］我们可以用三角形全等来说明它.如图7－2：

直线MN是线段AB的中垂线，则可以知道：

MN⊥AB于D，AD=DB.所以可得∠ADC=∠BDC=90°，因为CD是公共边，所以由“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”得：

△ADC≌△BDC.从而由“全等三角形的对应边相等”得：

CA=CB.

［师］好，下面我们通过练习来熟悉掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质.

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P193随堂练习1

1.如图7－3，在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？

为什么？

图7－3

答：

DE与DC相等.

理由是：

射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA、BC的距离分别是线段DE、DC，所以：

DE=DC

（二）看课本P191~193，然后小结.

Ⅳ.课时小结

这节课通过探索简单图形轴对称性的过程，了解了角的平分线、线段垂直平分线的有关性质.同学们应灵活应用这些性质来解决问题.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P193习题7.21、2、3.

（二）1.预习内容P194~195

2.预习提纲：

（1）等腰三角形的轴对称性.

（2）等腰三角形的有关性质.

（3）等边三角形的轴对称性及其性质.

Ⅵ.活动与探究

如图7－4所示：

要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.

图7－4

［过程］让学生探索：

在街道上找一点C，使得AC+BC为最小.通过学生活动，使他们懂得：

只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小，这时作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点.

［结果］如图7－5.

图7－5

作点A关于l（街道看成是一条直线）的轴对称点A′，连接A′B与l交于C点.奶站应建在C点处，才能使从A、B到它的距离之和最短.

●板书设计

§7.2.1简单的轴对称图形

（一）

一、角是轴对称图形.

二、角的平分线的性质：

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

三、线段是轴对称图形线段的垂直平分线.

四、线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

第三课时

●课题

§7.2.2简单的轴对称图形

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.等腰三角形是轴对称图形.

2.等腰三角形的性质.

3.等边三角形的轴对称性及性质.

（二）能力训练要求

1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.

2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质.

（三）情感与价值观要求

通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展其空间观念.

●教学重点

等腰三角形的轴对称性及其有关性质.

●教学难点

等腰三角形的“三线合一”的性质.

●教学方法

探究——归纳法

●教具准备

投影片四张：

第一张：

想一想（记作投影片§7.2.2A）

第二张：

做一做（记作投影片§7.2.2B）

第三张：

性质（记作投影片§7.2.2C）

第四张：

做一做（记作投影片§7.2.2D）

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情景，引入新课

［师］上节课我们探讨了简单图形——线段.角的轴对称性，知道线段和角是轴对称图形.除线段和角外，我们还研究过三角形，那大家想一想：

三角形是轴对称图形吗？

［生甲］是.

［生乙］不对，只有等腰三角形才是轴对称图形.

［生丙］也不对，不但是等腰三角形是轴对称图形，而且等边三角形也是.

［生丁］对，除等腰三角形、等边三角形外的任意三角形不是轴对称图形.

［师］很好.等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形.在小学已接触过，今天我们来系统地研究一下它们的性质.

Ⅱ.讲授新课

［师］什么是等腰三角形、等边三角形呢？

我们共同来回忆一下.

［师生共析］三角形的三边，有的各不相等，有的有两边相等，有的三条边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形（scalencetriangle）；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isoscelestriangle），三条边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateraltriangle）也叫正三角形.（如图7－11）

图7－11

在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

等边三角形是特殊的等腰三角形.即底边和腰相等的等腰三角形.

［师］有了上述的概念后，同学们来想一想.（出示投影片§7.2.2A）

1.等腰三角形是轴对称图形吗？

请找出它的对称轴.

2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

底边上的高所在的直线呢？

［生甲］等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两条腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便可知道：

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.

……

［师］接下来大家来剪一个等腰三角形，然后进行折叠，找出它的对称轴.

［生乙］我剪了一个等腰三角形，然后把这个三角形对折，使两条腰重合，这样顶角的平分线的两旁的部分就可以重合.所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.

［生丙］我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明：

底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.

［生丁］我折叠等腰三角形时发现：

底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.

［师］你们说的是同一条直线吗？

大家来动手折叠、观察.

［生齐声］它们是同一条直线.

［师］很好.现在大家再来折一折.（出示投影片§7.2.2B）

沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？

说说你的理由.

［生甲］我沿等腰三角形的顶角平分线对折后，发现它两旁的部分互相重合，则说明等腰三角形的两个底角相等，顶角的角平分线与底边上的中线重合.

［生乙］我也是沿等腰三角形的顶角的平分线对折，同样发现它两旁的部分互相重合.由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道：

顶角的角平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.

图7－12

［生丙］也可以通过三角形全等来说明.即沿等腰三角形的顶角的平分线对折后，两旁的部分完全重合.则说明这两部分全等.如图7－12：

△ABC中，AB=AC，如果AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD.又因为AD是公共边，所以△ABD与△ACD全等，因此：

BD=DC，∠B=∠C，∠BDA=∠CDA=

∠BDC=90°.

［师］很好，大家看屏幕：

（电脑演示等腰三角形的折叠过程，显示“三线合一”，底角相等）由此我们得到了等腰三角形的性质（师生共同总结，然后出示投影片§7.2.2C）

等腰三角形是轴对称图形.

等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.

等腰三角形的两个底角相等.

［师］我们讨论了等腰三角形的性质，那等边三角形有哪些性质呢？

大家来画一个等边三角形，然后剪下来，做一做（出示投影片§7.2.2D）

（1）等边三角形是轴对称图形吗？

找出它的对称轴.

（2）你能发现它的哪些特征？

（学生操作，教师指导）

［生甲］我通过折叠知道：

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，即：

每个角的角平分线所在的直线是它的对称轴，或每条边上的高或中线所在的直线也是它的对称轴.

［生乙］因为等边三角形是三边都相等的三角形，所以它是特殊的等腰三角形.因此，它的每个角的角平分线与这个角的对边上的中线、高是重合的，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.这样等边三角形有三条对称轴.

［生丙］从折叠过程中可以发现：

等边三角形的三个内角都相等.由三角形的内角和性质可以得到：

这三个内角都等于60°.

［师］很好.我们来共同归纳一下等边三角形的性质.

［师生共析］等边三角形是轴对称图形.

等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（即“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.等边三角形共有三条对称轴.

等边三角形的各角都相等,都等于60°

［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握等腰三角形的性质和等边三角形的性质.

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P195随堂练习

1.图7－13是由大小不同的正三角形组成的图案，请找出它的对称轴.

图7－13

答案：

有3条对称轴.

2.墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平.他拿来一个如图7－14所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤.小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点.如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的.你能说明其中的道理吗？

图7－14

答案：

根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC（即木条）.如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的.根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

3.如图7－15，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数.

图7－15

解：

（1）底角的度数是：

（180°－60°）÷2=60°

（2）底角的度数是：

（180°－90°）÷2=45°

（3）底角的度数是：

（180°－120°）÷2=30°

（二）看课本P194~195然后小结.

Ⅳ.课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形和等边三角形的轴对称性.由此我们得到了等腰三角形和等边三角形的性质.

等腰三角形是轴对称图形.

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合，即三线合一.它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.

等腰三角形的两底角相等.

等边三角形是特殊的等腰三角形，根据其特殊性，再由等腰三角形的性质及三角形的内角和性质，可以得出等边三角形的内角均为60°

大家应灵活应用这些性质.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P196习题7.31、2、3、4.

（二）1.预习内容：

P197~198

2.预习提纲

轴对称的基本性质是什么？

Ⅵ.活动与探究

图7－16

1.如图7－16，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.

求证：

AE=CE

［过程］通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质.

图7－17

［结果］

证明：

延长CD交AB的延长线于P，如图7－17.

在△ADP和△ADC中.

∴△ADP≌△ADC

∴∠P=∠ACD

又∵DE∥AP，

∴∠4=∠P

∴∠4=∠ACD

∴DE=EC.

同理可证：

AE=DE.

∴AE=CE.

●板书设计

§7.2.2简单的轴对称图形

（二）

一、想一想

二、等腰三角形的性质

①轴对称图形

②三线合一

③两底角相等

三、做一做

等边三角形的性质

四、课堂练习

五、课时小结

六、课后作业

●备课资料

参考例题

图7－6

［例1］如图7－6，A、B、C三点表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置P.

［分析］这是一道将实际问题理想化的数学问题，要求到点A、点B、点C距离相等的点，利用线段垂直平分线的性质及折叠线段的方法，就可以使问题解决.

［解］通过折叠找到线段AB的中垂线l1，线段AC的中垂线l2，l1与l2相交于P点，则点P就是所求的点.（如图7－7）

图7－7

图7－8

［例2］如图7－8，三条公路AB、BC、CA围成了一个三角形区域，现要在这个三角形区域内建一客运站，且使客运站到这三条公路的距离相等，请找出客运站的位置.

［分析］这个题也是一个实际问题，可把它转化为数学问题，利用角平分线的性质及折叠方法，就可以圆满解决此问题.

图7－9

［解］通过折叠可以得到∠B、∠C的平分线，两线的交点M就是所求的点.即：

客运站的位置.

［例3］如图7－10，河南区要建一个工厂，在公路的西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，且到河上公路桥较近桥头的距离与到公路东侧学校的距离也相等，在图上标出工厂的位置.

图7－10

［分析］这题是个将实际问题理想化的数学问题，利用线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，以及折叠方法，就可以使问题得以解决.

［解］分别作河流与公路交角的平分线，较近桥头与学校的中垂线，二者的交点就是工厂的位置.如上图的Q点.

第七章生活中的轴对称

一、轴对称现象及简单的轴对称图形

班级：

姓名：

作业导航

1.轴对称图形、对称轴；2.轴对称；

3.角平分线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.

一、填空题

1.线段是轴对称图形，它的对称轴是_____，角是轴对称图形，它的对称轴是_____.

2.等腰三角形的对称轴是_____，等边三角形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴.

图1

3.如图1，在Rt△ABC中，ED是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于E、D，连结AE，如果∠BAE∶∠BAC=1∶5，则∠C等于_____.

4.等腰三角形的顶角为20°,则它的底角等于_____;

等腰三角形的一角为20°，则它的其他两角为_____；

等腰三角形的一角为120°，则它的其他两角为_____.

5.三角形三条角平分线的交点到_____距离相等.

6.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是_____.

7.等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是_____.

8.如图2，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且BD=BE，∠A=100°，

则∠DEC=_____.

图2图3

9.如图3，CD∥AB，AE=AB=BC，∠DCB=40°，则∠CED的度数为_____，图中等腰三角形有_____个，它们是.

10.等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长为_____，周长为_____.

二、选择题

11.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.有两个角相等的三角形

B.有一角是45°的直角三角形

C.有一个角是30°，另一角是120°的三角形

D.有一个角是30°的直角三角形

12.三角形内有一点，这点到三角形三个顶点的距离都相等，则这点一定是三角形的（）

A.三边中垂线的交点

B.三条中线的交点

C.三条高的交点

D.三内角平分线的交点

13.等腰△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠ACB，DE⊥AB于E，AB=8，则

△DEB的周长为（）

A.4B.6C.8D.10

14.如图4，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（）

图4

A.30°B.36°C.45°D.54°

15.等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，则腰长为（）

A.2B.2或8C.8D.以上结论都不对

16.下列图形中，轴对称图形的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

三、解答题

17.找出下列每个轴对称图形的对称轴

图5

18.如图6，在一条河的同岸有两个村庄A、B，两村要在河上合修一座桥到对岸去，桥修在什么地方，可以使两个村庄到桥的距离之和最短？

图6

19.如图7，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，若△PEF的周长为20cm,求MN的长.

图7

*20.菱形是轴对称图形吗？

设计一种方案验证自己的猜测.

参考答案

一、1.它本身所在直线和它的垂直平分线角平分线所在的直线

2.底边上的高所在直线三四无数

3.80°4.80°80°、80°或20°、140°30°，30°

5.三边的6.4

7.120°8.100°

9.35°三△CDE、△ABC、△ABE

10.615

二、11.D12.A13.C14.C15.C16.B

三、17.略18.略19.20cm*20.略

●备课资料

参考练习

一、选择题

1.如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是

A.某一条边上的高B.某一条边上的中线

C.平分一角和这个角的对边的直线D.某一个角的平分线

2.等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为

A.120°B.130°

C.150°D.160°

3.等腰三角形的周长为80cm.若以它的底边为边的等边三角形周长为30cm，则该等腰三角形的腰长为

A.25cmB.35cm

C.30cmD.40cm

答案：

1.C2.A3.B

二、已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm，并且它的、周长为16cm.

求这个等腰三角形的各边长.

解：

设三角形的底边长为xcm.则其腰长为（x+2）cm.根据题意：

得：

2（x+2）+x=16

解得：

x=4.

所以：

等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm.

2.简单的轴对称图形（5分钟练习）

下面是∠AOB，我们可以利用作角平分线的方法作出∠AOB的平分线OC，也可以利用前面习题5.8中的第3题中介绍的仪器来平分∠AOB，得角平分线OC.

沿角平分线对折，角的两边能够重合吗？

______.

在∠AOB的平分线OC上任取一点D，分别作OA、OB的垂线段DE、DF，那么DE与DF有什么关系？

______.

证明：

∵OC是∠AOB的平分线

∴∠AOC=∠BOC

∵DE⊥OA，DF⊥OB

∴∠OED=∠OFD=90°

在△ODE和