小学奥数几何五大模型鸟头模型.docx
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小学奥数几何五大模型鸟头模型
范文范例指导参考
三角形等高模型与鸟头模型
模型二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图
⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上如图2),
则S△ABC:
S△ADE(AB
AC):
(AD
AE)
A
D
A
D
E
E
B
C
B
C
图⑴
图⑵
【例
1】如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD:
AB2:
5
,AE:
AC
4:
7,S△ADE
16平方
厘米,求△ABC的面积.
A
A
D
D
E
E
B
C
B
C
【解析】连接BE,S△ADE:
S△ABE
AD:
AB
2:
5
(2
4):
(5
4),
S△ABE:
S△ABC
AE:
AC
4:
7(4
5):
(7
5)
,所以
S△ADE:
S△ABC
(24):
(7
5),设S△ADE
8份,
则S△ABC
35份,S△ADE
16平方厘米,所以
1份是
2平方厘米,
35份就是70
平方厘米,△ABC的
面积是70
平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,
共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角
(相
等角或互补角)两夹边的乘积之比
.
【巩固】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角形ADE的面积等于1,那
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范文范例
指导参考
么三角形ABC的面积是多少?
A
A
D
E
D
E
BCBC
【解析】连接BE.
∵EC3AE
∴SABC3SABE
又∵AB5AD
∴SADESABE5SABC15,∴SABC15SADE15.
【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BDDC4,BE3,AE6,乙部分面
积是甲部分面积的几倍?
AA
E
乙
E
乙
甲
甲
C
B
C
B
D
D
【解析】连接AD.
∵BE3,AE6
∴AB3BE,SABD3SBDE
又∵BD
DC4
,
∴SABC
2SABD,∴SABC6SBDE,S乙
5S甲.
【例
2】如图在△ABC中,D在BA的延长线上,
E在AC上,且AB:
AD5:
2
,
AE:
EC
3:
2,S△ADE
12平方厘米,求△ABC的面积.
D
D
A
A
E
E
B
C
B
C
【解析】连接BE,S△ADE:
S△ABE
AD
:
AB
2:
5
(2
3):
(5
3)
S△ABE:
S△ABCAE:
AC
3:
(3
2)
(3
5):
(3
2)5
,
所以S△ADE:
S△ABC
(3
2):
5
(3
2)
6:
25,设S△ADE
6份,则S△ABC
25份,S△ADE12平方厘
米,所以
1份是2
平方厘米,
25份就是
50
平方厘米,△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到
一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角
(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AF2CF,三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?
DC
F
A
E
B
【解析】连接FB.三角形AFB面积是三角形
CFB面积的2倍,而三角形
AFB面积是三角形
AEF面积的2倍,
所以三角形
面积是三角形
面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形
面积的2倍,
ABC
AEF
ABC
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所以平行四边形的面积是三角形
AFE面积的
2)6
倍.因此,平行四边形的面积为
8
648
(平
(3
方厘米).
【例
4】已知△DEF的面积为
7平方厘米,BE
CE,AD
2BD,CF
3AF,求△ABC的面积.
A
F
D
B
C
E
【解析】S△BDE:
S△ABC
(BD
BE):
(BABC)(1
1):
(2
3)
1:
6,
S△CEF:
S△ABC
(CE
CF):
(CBCA)(1
3):
(2
4)
3:
8
S△ADF:
S△ABC
(AD
AF):
(AB
AC)(21):
(3
4)
1:
6
设S△ABC
24份,则S△BDE4份,S△ADF
4份,S△CEF
9份,S△DEF
24
4
49
7份,恰好是7
平方厘米,所以
S△ABC
24平方厘米
【例
5】如图,三角形ABC的面积为3平方厘米,其中AB:
BE
2:
5
,BC:
CD
3:
2
,三角形BDE的面积
是多少?
B
E
A
B
E
A
C
C
D
D
【解析】由于ABC
DBE
180,所以可以用共角定理,设
AB2份,BC
3份,则BE
5份,
BD325份,由共角定理
S△ABC:
S△BDE(ABBC):
(BE
BD)(2
3):
(5
5)6:
25
,设
S△ABC6
份,恰好是
3
平方厘米,所以
1
份是
0.5
平方厘米,
25
份就是
25
0.5
平方厘米,三角
12.5
形BDE的面积是12.5平方厘米
【例
6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方形ABCD边长为6厘米,AE
1AC,CF
1BC.三
角形DEF的面积为_______平方厘米.
3
3
A
D
E
B
F
C
【解析】由题意知AE
1
1
BC,可得CE
2
AC.根据”共角定理”可得,
3
AC、CF
3
3
;而S△ABC662
18;所以S△CEF4;
S△CEF:
S△ABC
(CFCE):
(CB
AC)
12:
(3
3)2:
9
同理得,S△CDE:
S△ACD
2:
3;,S△CDE
18
32
12,S△CDF6
故S△DEFS△CEF
S△DEC
S△DFC4126
10(平方厘米).
【例
7】如图,已知三角形
ABC面积为1,延长AB至D,使BD
AB;延长BC至E,使CE
2BC;延长
CA至F,使AF
3AC,求三角形DEF的面积.
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FF
A
C
E
A
E
C
B
B
D
D
【解析】(法1
)本题是性质的反复使用.
连接
AE、CD.
S
ABC
1
SABC1
,
∵
,
SDBC
1
∴SDBC
1.
同理可得其它,最后三角形
DEF的面积
18.
(法2
)用共角定理∵在
ABC和CFE中,
ACB与
FCE互补,
∴SABC
AC
BC
1
1
1.
SFCE
FC
CE
4
2
8
又SABC
1,所以SFCE
8.
同理可得
SADF
6
,SBDE
3.
所以SDEF
SABC
SFCE
SADFSBDE1
863
18.
【例
8】如图,平行四边形ABCD,BE
AB,CF
2CB,GD3DC,HA
4AD,平行四边形
ABCD的
面积是2,求平行四边形
ABCD与四边形
EFGH的面积比.
H
H
A
B
E
A
B
E
G
D
C
G
D
C
F
F
【解析】连接AC、BD.根据共角定理
∵在△ABC和△BFE中,
ABC与
FBE互补,
S△ABC
AB
BC
1
1
1
.
∴
S△FBE
BE
BF
1
3
3
又S△ABC1,所以S△FBE
3.
同理可得S△GCF
8,S△DHG
15,S△AEH
8.
所以SEFGH
S△AEH
S△CFG
S△DHG
S△BEF
SABCD88
15+3+2
36.
所以
SABCD
2
1
.
SEFGH
36
18
【例
9】如图,四边形EFGH的面积是
66平方米,EAAB,CB
BF,DC
CG,HD
DA,求四边形ABCD
的面积.
H
H
D
C
G
C
G
D
A
B
F
A
B
E
E
F
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【解析】连接BD.由共角定理得S△BCD:
S△CGF
(CDCB):
(CG
CF)1:
2,即S△CGF
2S△CDB
同理S△ABD:
S△AHE
1:
2,即S△AHE2S△ABD
所以S△AHE
S△CGF
2(S△CBDS△ADB)
2S四边形ABCD
连接AC,同理可以得到
S△DHG
S△BEF
2
S四边形ABCD
S四边形EFGH
S△AHE
S△CGF
S△HDG
S△BEF
S四边形ABCD
5S四边形ABCD
所以S四边形ABCD66
513.2平方米
【例
10】
如图,将四边形
ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点
E、F、G、H,若
四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是
.
F
F
E
B
A
E
BA
C
G
C
G
D
D
H
H
【解析】连接
由于
于是
AC、BD.
BE
2AB,BF
2BC
,于是
SBEF4SABC,同理SHDG4SADC.
SBEF
SHDG4
SABC
4SADC
4SABCD.
再由于AE
3AB
,AH
3AD,于是
SAEH9SABD,同理SCFG
9SCBD.
于是SAEH
SCFG
9SABD
9SCBD
9
SABCD.
那么SEFGH
SBEF
SHDG
SAEH
SCFGSABCD
4SABCD9SABCD
SABCD12SABCD
60.
【例
11】
如图,在△ABC中,延长AB至
D,使BD
AB,延长BC至E,使
1
BC,F是AC的
CE
2
中点,若△ABC的面积是2,则△DEF的面积是多少?
A
F
B
C
E
D
【解析】∵在△ABC和△CFE中,
ACB与
FCE互补,
∴S△ABC
AC
BC
2
2
4.
S△FCE
FC
CE
1
1
1
又SABC2
,所以SFCE
0.5.
同理可得S△ADF
2,S△BDE
3.
所以S△DEF
S△ABC
S△CEF
S△DEB
S△ADF
2
0.53
2
3.5
【例
12】
如图,
S△ABC
1,BC
5BD,
AC
4EC
,DG
GS
SE,AFFG.求SFGS.
A
F
E
G
S
BC
D
【解析】本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有
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一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也
可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况.
最后求得S△FGS的面积为S△FGS
4
3
2
1
1
1.
5
4
3
2
2
10
【例
13】
如图所示,正方形
ABCD边长为8
厘米,E是AD的中点,F是CE的中点,G是BF的中点,
三角形ABG的面积是多少平方厘米?
A
E
A
E
D
D
F
F
G
G
B
C
B
C
【解析】连接AF、EG.
1
2
,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积
因为S△BCFS△CDE
816
4
SAEF
8,SEFG
8,再根据”当两个三角形有一个角相等
比等于夹这个角的两边长度的乘积比”
或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”
,得到SBFC16,SABFE
32,
SABF
24,所以SABG
12平方厘米.
【例
14】
四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.
F
H
A
E
B
GC
D
【解析】如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF,则AGF与CEH都是正三角形.
假设正六边形的边长为为a,则AGF与CEH的边长都是4a,所以大正三角形DEF的边长为
4217,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角
形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为1,三角形DEF的面积为49.
66
由于FA
4a
,FB3a
,所以
AFB与三角形DEF的面积之比为
4
3
12.
7
7
49
同理可知
BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为
12,所以
ABC的面积占三角形
DEF面积
49
的1
12
3
13,所以
ABC的面积的面积为
49
13
13.
49
49
6
49
6
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是
1,则图中虚线围成的五边形
ABCDE的面积是
.
E
A
D
BC
【解析】从图中可以看出,虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六
边形的面积;虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正
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六边形的面积;虚线AE外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边
形面积的
1,所以虚线外图形的面积等于
13
1
231,所以五边形的面积是
1031
62
.
6
6
3
3
3
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