平行线的性质及判定.docx

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平行线的性质及判定

平行线的性质及

判定

平行的定义、性质及判定

平行线的性质及判定平行公理及推论

基本模型中平行线的证明

定义

示例剖析

平行线的概念：

在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线.用“〃”表示.

a∕∕b.AB//CD等.

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

若a∕∕b,则Zl=Z2:

若“〃/八则Z2=Z3:

若“〃/八则∠3+Z4=180o.

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；

北：

若ZI=Z2,则a∕∕bχ

（4）如图，直线a∕∕b.若Zl=50%则Z2=（）

A・50oB.40oC・150。

D・130o

⑸如图，直线AB//CDEF丄CD∙F为垂足，如果ZGEF=20。

则ZI的度数是（）

A・20°B.60°C.70oD・30o

⑹如图,直线a∕∕h,点B在直线〃上,且AB丄BC,Zl=55°,

则Z2的度数为

（7）如图，Zl和Z2互补，那么图中平行的直线有（）

A・a∕∕hB.c∕∕dC・〃〃幺

D・c//e

⑻将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：

Φ∠1=Z2:

②Z3=Z4:

@Z2+Z4=90°：

④Z4+Z5=180o,其中正确的个数（）

⑼如图，直线lt/∕l2,AB丄CD，ZI=34°,那么Z2的度数是

（IQ）将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果ZI=64°,那么Z2等于

【铺垫】多选题：

下列说法错误的有（）

A：

不相交的两条直线是平行线.

B：

两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

C：

三条直线a、bXc.若a/∕b,b//c9则a//c:

同理，若a丄b,b丄c,则“丄c・

D：

已知Za的两边与上0的两边平行，若Za=48°,则Z∕7=48o.

E：

若AB〃CD,CD//EF,则AB〃£F・理由是等量代换.

F：

有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角.

G：

同一平而内垂直于同一条直线的两条直线平行.

【例2】

（1）如图，AB∕∕CD,S=ZD,请说明ZI=Z2.请你完成下列填空，把解答过程补充完整・解：

VAB//CD9

：

.ZRAD+ZD=180。

（•：

ZB=ZD,

：

.ZBAD+=180°（等量代换）.

•••（同旁内角互补，两直线平行）.

∙∙∙Z1=Z2（）.

⑵填空，完成下列说理过程.

如图，QP平分ZADC交AB于点P,ZDPC=90°,如果Zl+Z3=90o,那么Z2和Z4

相等吗？

说明理由.

解：

TDP平分ZAPC,

ΛZ3=Z（）

JZAPB二%且ZDPC=90%

ΛZl+Z2=90o.

又VZ1+Z3=9O%

ΛZ2=Z3.（）

ΛZ2=Z4.

解：

VDE//AC（）,

•IZC=（）,

Z3=（）

又VDF//AB（）

ΛZB=（）

ZA=（）

/.ZA=Z3（）

∙∙∙ZA+Zβ+ZC=Zl+Z2+Z3=ZBDC=

【例3】□如图，已知直线AB∕∕CD,ZC=II5o,ZA=25o,则ZE的度数为度・

）

⑵如图，不添加辅助线，请写出一个能判^EB//AC的条件：

.

二如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件:

Z1=Z2:

②∠3=Z4;③ZA=ZDCEtAD=ADCE;⑤ZA+ZABD=180°：

ZA+ZACD=180o:

⑦AB=CD.

能说明AC//BD的条件有・

二如图，直线EF分别与直线ΛB、CD相交于点G、H,已知Zl=Z2=60°,GM平分ZHGB交直线CD于点M・川

则Z3=（）

A・60oB・65oC

C.70oD・130o

【例4】

（1）已知：

如图1，CD平分ZACB,DE∕∕BC.ZAED=^q.求ZEDC・

⑵已知：

如图2,ZC=ZhZ2和ZD互余，BE丄FD于G・求证：

AB//CD・

【备选1】⑴如图1,一个宽度相等的纸条折叠一下，如果Zl=l∞%则Z2的度数是.

⑵如图2,把一张四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与ΛD相交于点O,

若AB//CD,AD//BC9ZDBC=I5。

，则ZfiOD=

⑶如图3,直线IJ2分别和Z5U4相交，若Zl与Z3互余，Z2与Z3的余角互补，Z4=110%

那么Z3=

⑷如右图，已知AB//CD■AD//BC,Zβ=60o,贝IJZCDO=.

I2

ZmA=50°,

【备选2】已知，如图，DE丄BC于E,FG丄BC于G,ZI=Z2・求证：

EH//AC.

【备选3】如图，已知AZΛCD分别垂直空于B.D,且ZFCD=60%Zl=30°,求证：

BM//AF.

【备选4】如图，已知Zl+Z2=180,Z3=ZB,试判断ZAED与ZACB的大小关系，并对结论进行证明.

【例5】如图，已知：

AB//CD.直线EF分别交AB、CD于点M、N、MG.册分别平分ZAME.乙CNE・求证：

MG〃NH•从本题我能得到的结论是：

【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（）

①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线：

③平行线的同位角的平分线：

④平行线的内错角的平分线：

⑤平行线的同旁内角的平分线.

A.①②B.③④C.®（§）

X题型二：

基本模型中平行线的证明

模型

示例剖析

若“〃/八则Z1=Z2

^a∕∕b∕∕c,WlJZl=Z2,Zl+∠3=180o

丄

若"〃b,贝IJZI=Z2+Z3

^a∕∕b.贝∣JZl+Z2+Z3=360o

【拓展】如图所示，已知直线a∕∕b.直线（•和直线—b交于C、D两点，在C、D之间有一点

如果点M任C、D之间运动，问Zl、Z2、Z3之间有怎样的关系？

这种关系是否发生变化？

试着证明你的结论.

【例8】如图，已知Z3+ZDCB=180,ZI=Z2,

ZCME:

ZGEM=4:

5,求ZGWE的度数・

训练1・已知ZABC的两边AB,Be分别与ZDEF的两边DE,矿平行，问ZABC与ZDEF有何关系？

证明你的结论.从这道题目中，你能得到怎样的结论？

训练2・如图，AB∕∕CDfZl=50o,Z2=110o,则Z3=

训练3.已知：

如图，AB.CD被£尸所截，EG平分ZBEF,FG平分ZEd且Zl+Z2=90o.

证明：

AB//CD・

训练4.已知：

如图，AD丄3C于点Z‰EG丄BC于点G,ZE=Zl.证明：

AD平分ZBAC・

题型一平行线的泄义.性质及判左巩固练习

【练习1】

已知如图，Zl=ZC>Z2=∠βtMN与空平行吗？

为什么？

【练习2】⑴如图1,AB〃CD,Af）丄AC.ZAZ）C=32°,则ZCAB的度数是—

⑵如图2,直线/与直线π,b相交.若a∕∕b,Zl=70°,则Z2的度数是⑶如图3,直线m∕∕n,Zl=55∖Z2=45o,则Z3的度数为（）

【练习3】□已知：

如图1,ZD=HOo,ZEro=70°,Z1=Z2,求证：

Z3=ZB・

证明：

VZD=HOo,ZEro=70°（已知）

ΛZD+ZETO=180°

∙∙∙AD//（

又TZ1=Z2（已知）

•••//（

••・//（

ΛZ3=ZB（）

⑵如图2,EF//AD,ZI=Z2，ZEAC=70°.将求ZAGD的过程填写完整.

解：

VEF//AD

：

.Z2=（

又•••Z1=Z2

∙∙∙ZI=Z3（

∙∙∙AB//（

ΛZBAC+=180°（

又TZfiAC=70°

∙∙∙ZAGD=・

【练习4】

如图，已知04丄AB,DE平分ZADC,

CE平分ZBCD,

Zl+Z2=90o,求证：

3C丄A3.

题型二基本模型中平行线的证明巩固练习

【练习5】已知：

如图，点E为其内部任意一点，ZBED=ZB+ZD.求证：

AB//CD.