菱形证明专题训练.docx

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菱形证明专题训练

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乐学教育菱形证明专题训练

1.已知:

如图，在四边形ABCD中,AB//CD,E,F为对角线AC上两点，且AE=CF,DF//BE,AC平分

/BAD.求证：

四边形ABCD为菱形.

【答案】AB//CD,

・•・/BAE=ZDCF.

•/DF//BE,

・•・/BEF=ZDFE,・•・/AEB=ZCFD.

又•・•AE=CF,

・•・△AEBCFD,

・•・AB=CD.

•・•AB//CD,

•••四边形ABCD是平行四边形.

•・•AC平分ZBAD,

•ZBAE=ZDAF.又ZBAE=ZDCF,

•ZDAF=ZDCF,

…AD=CD,

・•・四边形ABCD是菱形.

2.如图，矩形ABCD中，点0为AC的中点，过点0的直线分别与AB,CD交于点E,F，连接

BF交AC于点M,连接DE，B0.若

/COB=60°FO=FC.

求证：

⑴四边形EBFD是菱形；

【答案】连接0D.・・•点0为矩形ABCD的对角线AC的中点，

・•・B,D,0三点共线且BD=DO=CO=A0.在矩形ABCD

中,AB//DC,AB=DC,「・/FC0=ZEA0.在厶CF0和厶AE0中，

/.△CF0AE0,二F0=E0.

又•B0=D0,「.四边形BEFD是平行四边形.

•・•B0=C0,ZC0B=60°

・•・△C0B是等边三角形.・•・/0CB=60°.

・•・/FC0=ZDCB-/0CB=30°.

•・•F0=FC,・・・/F0C=ZFC0=30°.

:

丄FOB=/FOC+ZCOB=90°

・•・EF丄BD.・••平行四边形EBFD是菱形.

⑵MB:

OE=3:

2.

【答案】•・•BO=BC,・・・点B在线段OC的垂直平分线上.

•FO=FC，•点F在线段OC的垂直平分线上.•••BF是线段0C的垂直平分线.

•ZFMO=ZOMB=90°

•ZOBM=30°・•・OF=BF.

•ZFOC=30°・•・FM=OF.

・•・BM=BF-MF=2OF-OF=OF.

即FO=EO,•BM:

OE=3:

2.

3.如图,在△ABC中,ZABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证：

四边形BGFD是菱

【答案】•・•FGIIBD,BD=FG,・・・四边形BGFD是平行四边形.

•/CF丄BD,AGIIBD,・・・CF丄AG.又ABC=90°点D是AC的中点，・•・BD=DF=AC,

•••平行四边形BGFD是菱形.

4.如图，点O是菱形ABCD对角线的交

点,DEIIAC,CEIIBD,连接OE.

求证:

OE=BC.

【答案】•DEIIAC,CEIIBD,

•四边形OCED是平行四边形.••四边形ABCD是菱形,

・•・AC丄BD,OB=OD,

・•・/BOC=ZCOD=90°,

•四边形OCED是矩形,

・•・/ODE=90°,・・・OB=OD,ZBOC=ZODE=90°第5页共32页

:

.BC=,OE=,

•・・DE=OC.

・•・OE=BC.

5.[2015兰州中考,25]（9分）如图,四边形ABCD中,AB//CD,AB毛D,BD=AC.

⑴求证:

AD=BC;

【答案】作BM//AC,BM交DC的延长线于点M，则

/ACD=/BMD.1分

•・•AB//CD,BM//AC,

•••四边形ABMC为平行四边形.

・•・AC=BM.

•BD=AC,二BM=BD.

・•・/BDM=/BMD.

・•・/BDC=ZACD.

在厶BDC和厶ACD中，

/.△BDC^AACD.4分

・•・BC=AD.5分

⑵若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:

线段EF与线段GH互相垂直平分.

【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分

•・•E,H为AB,BD的中点，二EH=AD.

同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.

•・•BC=AD,二EG=FG=FH=EH.8分

•••四边形EGFH为菱形，

•••EF与GH互相垂直平分.9分

6.[2015长春中考,18]（7分）如图,CE是厶ABC外角

/ACD的平分线,AFIICD交CE于点F,FGIIAC

交CD于点G,求证：

四边形ACGF是菱形.

【答案】因为AFIICD,FGIIAC,所以四边形ACGF是平行四边形①,

又因为/ACE=/ECG,/ECG=/AFC,所以/ACE=/AFC,所以AC=AF②,由①②得四边形ACGF是菱形.

7.[2010上海中考，23]已知梯形ABCD中，ADIIBC,AB=AD（如图所示），/BAD的

⑴在图中，用尺规作/BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；

•・•/BAE=/DAE,

/DAE=/BEA,

・•・/BAE=/BEA,AB=BE=AD,

ADIBE,・・・四边形ABED的平行四边形，又

AB=AD,

・•・四边形ABED为菱形⑵/ABC=60°EC=2BE，求证：

ED丄DC.

【答案】过D作DFIIAE，贝VDF=CF=1,

:

丄C=30°而/DEC=60°

:

丄EDC=90°二ED丄DC.

8.[2010沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O,点E，F分别为边

AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：

四边形AEOF是菱形.

R0~~D

C

【答案】t点E，F分别为AB，AD的中点

・•・AE=AB，AF=AD（2分）

又•・•四边形ABCD是菱形

・•・AB=AD

・•・AE=AF（4分）

又••菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O

•••O为BD的中点

・•・OE,OF是厶ABD的中位线（6分）

・•・OE//AD,OFIIAB

•四边形AEOF是平行四边形（8分）

•・•AE=AF

・•・四边形AEOF是菱形（10分）

9.[2010安徽中考，20]如图，ADIIFE，点B,C在AD上，/1=22,BF=BC.

⑴求证：

四边形BCEF是菱形；

【答案】•.AD//FE,・•・/FEB=22.

•・•/1=22,・・・2FEB=21.

・•・BF=EF

•・•BF=BC,・・・BC=EF.

•••四边形BCEF是平行四边形

•・•BF=BC,

•••四边形BCEF是菱形（5分）

⑵若AB=BC=CD，求证：

△ACFBDE.

【答案】•EF=BC,AB=BC=CD,AD//FE,

•••四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边

形，・•・AF=BE,FC=ED.（8分）

又•・•AC=2BC=BD,（9分）

/.△ACFBABDE.（10分）

10.[2013长沙中考，24]如图，在?

ABCD

中，M,N分别是AD,BC的中

点，/AND=90°连接CM交DN于点O.

⑴求证：

△ABN^ACDM;

【答案】/ABN=ZCDM,AB=CD,BN=BC=AD=DM,

・•・△ABN^ACDM（SAS）.

⑵过点C作CE丄MN于点E，交DN于点P,若PE=1,Z1=Z2,求AN的长.

【答案】IM,O分别为AD,ND的中点，

・•・AN//MO且AN=2MO,

・•・/MOD=ZAND=90°即平行四边形CDMN是菱形

在Rt△MOD与Rt△NEC中，

•・•/1=Z2,MD=NC,・・・Rt△MOD也Rt△NEC,

・•・MO=NE.

根据菱形的性质可

知，/MND=ZCND，/1=ZCND，所以

/MND=ZCND=Z2=30°所以在Rt△ENP中NE=PE谥an30°=,

即AN=2.

11.如图,在△ABC中,/A=90°,AH丄BC于点H,ZB的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF丄BC于点F,求证：

四边形AEFD是菱形.

【答案】

•・•/ABD=/FBD,BD=BD,ZBAD=/DFB=90°/.△ABD^AFBD,二AD=DF,AB=FB.

又/ABE=/FBE,BE=BE,

・•・△ABEBAFBE.

・•・/BAE=/BFE.

又/BAE=90°/ABC=ZC,

・•・/BFE=/C,二EFIIAD.

•/DF丄BC,AH丄BC,・•・AEIIDF.

•••四边形AEFD是平行四边形.

又AD=DF,「.四边形AEFD是菱形.

12.[2012南宁中考，25]如图,已知矩形纸片

ABCD,AD=2,AB=4,将纸片折叠，使顶点A与边

CD上的点E重合折痕FG分别与AB,CD交于点

G,F,AE与FG交于点0.

zIFfcf

图1图2

⑴如图1,求证：

A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；

【答案】证法一：

证明：

在矩形ABCD中,CDIIAB

・•・/1=Z3（1分）

由折叠可知：

AG=EG,/1=Z22=/3

・•・EF=EG（2分）

・•・EF=AG

・•・四边形AGEF是菱形（3分）

证法二：

证明：

连接AF,由折叠可知

OA=OE,AG=EG（1分）在矩形ABCD中,AB//CD:

丄AEF=ZEAG•・•/AOG=ZEOF

・•・△AOG^AEOF（ASA）（2分）

・•・AG=EF

•••四边形AGEF是菱形（3分）

⑵如图2,当厶AED的外接圆与BC相切于点N时,求证，点N是线段BC的中点；

【答案】证明：

连接0N,0是Rt△ADE外接圆圆心.

•

OO与BC相切于点N

・•・ON丄BC（4分）

在矩形ABCD中,DC丄BC,AB丄BC

・•・CD//ON//AB

•=（5分）

•・•OA=OE・・・CN=NB即N为BC的中点（6分）

⑶如图2,在第2问的条件下，求折痕FG的长.

【答案】解法一：

过点0作0M丄AB于点M,则四边形OMBN是矩形

:

设O0半径为x,则0A=OE=ON=x（7分）•AB=4,AD=2・•・AM=4—x

.由第2问得,NB=OM=1

.在Rt△AOM中,OA2=AM2+OM2x2=（4—x）2+12/.x=（8分）

0AM=4—=

•・•/FEO=ZOAM

.又I/FOE=ZOMA=90°

・•・Rt△EFOsRt△AOM

・•・=・•・=（9分）

o・•・四边形ABNM是矩形

・・・AM=BN=AD=1

:

IO为Rt△ADE外接圆圆心

・・・OA=OE=ON

.设ON为x,则OM=4—x（7分）

.在Rt△AMO中,AM2+OM2=OA2

即12+（4—x）2=x2

.x=（8分）

o

・•・OM=4—=

•・•FG丄AE,MNIIDC:

丄FEO=ZMOA./AMO=ZEOF=90°o・•・△EOFOMA

・•・=・•・=（9分）

・・・OF=FG=2OF=（10分）

13.[2013葫芦岛中考,20]（本小题满分8分）

如图,四边形ABCD

中,AD//BC,BA丄AD,BC=DC,BE丄CD于点E.

（i）求证:

△ABDEBD;

【答案】如图，

•・•AD//BC,

・•・/仁/DBC.

•・•BC=DC,Z2=ZDBC.

・•・/1=Z2.2分

又•・•/BAD=/BED=90°

BD=BD，二△ABD^AEBD.4分

⑵过点E作EF//DA,交BD于点F,连接AF.求证:

四边形AFED是菱形.

【答案】由第1问得,AD=ED,/仁/2.

•・•EFIIDA,「・/1=Z3,a/2=Z3.

・•・EF=ED.5分

aEF=AD.6分

•••四边形AFED是平行四边形.

又•・•AD=ED.

A四边形AFED是菱形.8分

14.[2013贵阳中考，20]

已知：

如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任

⑴求证：

AE=EC;

【答案】

。

证明：

连接AC.

:

•••BD是菱形ABCD的对角线，

・•・BD垂直平分AC.

・•・AE=EC.

.

（2）当/ABC=60°ZCEF=60时点F在线段

:

BC上的什么位置？

说明理由.

.【答案】点F是线段BC的中点.

:

理由：

•・•菱形ABCD中，AB=BC,

o又•・•/ABC=60°

・•・△ABC是等边三角形，ZBAC=60°

•・•AE=EC,ZCEF=60°:

丄EAC=30°

.•••AF是厶ABC的角平分线.

•・•AF交BC于点F,

・•・AF是厶ABC的BC边上的中线.

•••点F是线段BC的中点.

15.[2012上海中考，23]已知：

如图，在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上，/BAF=ZDAE,AE与BD交于点G.

A辰D

⑴求证：

BE=DF;

【答案】•.•四边形ABCD为菱形,

・・・AB=ad=bc=cd,

/ABD=ZADB=ZCBD=ZCDB,

/ABE=ZADF

•・•/BAF=ZDAE,

且/BAF=ZBAE+ZEAF,

/DAE=ZDAF+ZEAF

・•・/BAE=ZDAF.

・•・△ABEBAADF（ASA）.

・•・BE=DF.

⑵当=时,求证：

四边形BEFG是平行四边形.

【答案】在菱形ABCD中,ADBC,

:

丄DAE=ZBEA,/ADB=ZEBD.・•・△AGDs^egb.

又•・•=,BE=DF,

GFIIBE.

/DGF=/DBC./DBC=ZCDB,/DGF=/GDF,GF=DF,BE=GF.

BEGF,

・•・四边形BEFG是平行四边形.

16.[2013乌鲁木齐中考,19]如图,在厶ABC

中，/ACB=90°,CD丄AB于D,AE平分/BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH丄AB于H,连接FH.求

证：

四边形CFHE是菱形.

【答案】•・AE平分/BAC,・・・/CAE=ZEAH,而

/ACB=90°,CD丄AB,

:

丄CEA+ZCAE=ZAFD+ZEAH=90°/APD=ZCFE,

:

丄CFE=ZCEF,「・CF=CE.

又:

AE平分

/BAC,ZACB=90°.EH丄AB,二CE=EH,

・・・CF=EH=CE,TCD丄AB,EH丄AB,aCFIIEH,

・•・四边形CFHE是菱形.

17•如图所示,在菱形ABCD中,CE丄AB于点

E,CF丄AD于点F,求证:

AE=AF.

【答案】证法1如图所示，连接AC,

•・•四边形ABCD是菱形,

・•・AC平分/BAD,即/BAC=ZDAC.

在厶ACE和厶ACF中,

/AEC=/AFC=90°ZBAC=ZDAC,AC=AC,・•・△ACEACF（AAS）,・•・AE=AF.

证法2：

・.•四边形ABCD是菱形，

・•・BC=DC=AD=AB,ZB=/D.

又••在△BCE和△DCF中,ZBEC=ZDFC=90°・•・△BCEBADCF（AAS）,/.BE=DF，二AE=AF.

18.[2013南宁中考，23]如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E,F分别是边BC,AD的中占

I八\、■

（i）求证：

△ABE^ACDF;

【答案】在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA（或AB=CD,BC=DA）.

/B=ZD.

•••点E,F分别是边BC,AD的中点，

・•・BE=DF.

/.△ABECDF.

⑵若/B=60°AB=4,求线段AE的长.

【答案】解法一：

•・•AB=BC,ZB=60°

•••△ABC是等边三角形.

••点E是BC边的中点.

・•・AE丄BC.

在Rt△ABE中，sinB=.

•-AE=ABsinB=4x=.

解法二：

•・•AB=BC,/B=60°

•△ABC是等边三角形.

••点E是BC边的中点，・•・AE丄BC.

・•・/BAE=30°

在Rt△ABE中，BE=AB=2.

二AE===

19.[2012温州中考,19]（本题8分）

如图,△ABC中，/B=90°,AB=6cm,BC=8cm将

△ABC沿射线BC方向平移10cm得到

△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：

四边形ACFD是菱形.

【答案】法—：

B=90°,AB=6cm,BC=8cm.

:

.AC=10cm.

由平移变换的性质得CF=AD=10cmDF=AC,

・・・AD=CF=AC=DF,

•••四边形ACFD是菱形.

法二：

由平移变换的性质得AD//CF,

AD=CF=10cm,

•四边形ACFD是平行四边形，

T/B=90°,AB=6cm,BC=8cm,

•AC=10cm,

・•・AC=CF,

・•・?

ACFD是菱形.

20.[20114兰州中考，27]（本小题满分12分）

已知：

如图仃所示的一张矩形纸片

ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F.分别连接AF和CE.

（图】了〉

（i）求证：

四边形AFCE是菱形；

【答案】由题意可知OA=OC，EF丄AO.

•（■第站迦答图）

•・•ADIIBC，・・・/AEO=ZCFO，/EAO=o/FCO，

・•・△AOECOF，二AE=CF，又

.第27页共32页

AEIICF,

•••四边形AECF是平行四边形（2分）

•••AC丄EF，•四边形AECF是菱形.（4分）

⑵若AE=10cm,AABF的面积为24cm2,求

△ABF的周长；

【答案】•••四边形AECF是菱形，

•AF=AE=10cm.设AB=a,BF=b,

•••△ABF的面积为

24cm2,a2+b2=100,ab=48（6分）

（a+b）2=佃6,a+b=14或a+b=—14（不合题意，舍去）（7分）

△ABF的周长为a+b+10=24cm（8分）

⑶在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=ACAP?

若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P,点P就是符合条件的点（9分）

证

明：

•••/AEP=ZAOE=90°ZEAO=/EAP

・•・△AOEAEP,・・・=,

第28页共32页

・•・AE2=AOAP（11分）

•••四边形AECF是菱形，

・•・AO=AC,・・・AE2=ACAP,

:

.2AE2=ACAP.（12分）

21.[2013营口中考,19]如图,△ABC中,AB=AC,AD是厶ABC一个外角的平分线，且/BAC=ZACD.

:

（1）求证：

△ABC^ACDA;

【答案】IAB=AC,：

ZB=ZACB

:

又I/FAC是厶ABC的一个外角，

:

FAC=/B+/ACB

o

FAC=2/ACB2分

:

又IAD是/FAC的角平分线，•：

/FAC=2/CAD,

ACB=/CAD3分

:

又•・•AC=CA,/BAC=/DCAo：

△ABC^ACDA4分

⑵若/ACB=60°,求证：

四边形ABCD是菱形.

【答案】T/BAC=ZACD

・•・AB//CD5分

又•・•/ACB=ZCAD,

・•・AD//BC.

•••四边形ABCD是平行四边形.6分

•・•AB=AC,ZACB=60°

•等腰三角形ABC是等边三角形.7分

・•・AB=BC.

•四边形ABCD是菱形.8分

22.[2011?

?

波中考，23]（本小题满分8分）

如图13,在ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G.

【答案】在ABCD中,AB//CD,AB=CD

•••E,F分别为边AB,CD的中点

・•・DF=DC,BE=AB

・•・DF//BE,DF=BE（2分）

0二四边形DEBF为平行四边形（3分）

・•・DE//BF（4分）

:

⑵若/G=90°求证：

四边形DEBF是菱形.

【答案】•/AG//BD

・•・/G=ZDBC=90°

・•・△DBC为直角三角形（5分）

又•・•F为边CD的中点・・・BF=DC=DF.（7分）

:

又••四边形DEBF为平行四边形

:

•••四边形DEBF是菱形（8分）

.【答案】四边形ABCD是菱形，

0・•・OD=OB，ZCOD=90°•/DH丄AB于H，•