一次函数知识框架.docx
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一次函数知识框架
第19章—一次函数
知识点一:
常量与变量
1.一辆火车从甲地开往乙地,火车每小时走60km.
常量:
速度、甲乙两地的路程
变量:
火车所走的路程,行驶的时间
2.在圆周长公式中,变量是,自变量是.
知识点二:
函数的意义
一般地,设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于变量的每一个值,变量y都有唯一确定的值与它对应,我们称y是x的函数,其中:
x是自变量,y是因变量.
(1)在理解函数的意义时要抓住三点:
①有一个反映变化的过程.
②有两个变量x和y.
③变量x一旦变化,变量y都有唯一值与它对应.
(2)在表示函数时,如果要把y表示成x的函数,其实就是用含x的代数式表示y.
例题:
1.设路程为s,时间为t,速度为v,当v=80时,路程和时间的函数关系式为.
2.下列图象中,表示是的函数的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.下列关于变量.y的关系:
①;②;③其中表示y是的函数关系的是()
A.①②③B.①②C.①③D.②③
4.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( )
A.B.C.D.
知识点三:
函数中自变量的取值范围及函数值
在一个变化过程中,自变量的取值通常有一定的范围,这个范围我们叫它为自变量的取值范围.确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑:
①使含自变量的代数式有意义.②结合实际意义,使函数在实际情况下有意义.
例题:
1.在函数y=中,自变量x的取值范围是.
2.函数中,自变量x的取值范围是.
3.函数中,自变量x的取值范围是.
4.函数中,自变量x的取值范围是.
5.小宝阅读600页的图书,每天读50页,求余下的页数y与所读天数之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
6.已知函数,当时,y=,当y=0时,;
7.已知函数,那么=.
8.已知函数,当时,y的取值范围是()
A.<yB.<y<C.y<D.<y
知识点四:
函数的图像(难点)
对于一个函数,如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形叫做函数的图象。
(1)函数图象上的任意一点P中的x,y满足关系式
(2)满足函数关系式的任意一对x,y的值所对应的点一定在函数的图象上。
例题:
1.如下左图,小亮在操场上玩,一段时间内沿M-A-B-M的路径匀速散步,能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是( )
A.B.C.D.
2.周末上午8时,小明先去小华家,两人再一起去超市购物,到下午2时返回小明家.
结合图象回答:
(1)两人在超市购物花了多长时间?
(2)超市离家是多远?
(3)两人返回时的平均速度是多少?
(4)小明何时离自己家10千米远?
知识五:
正比例函数定义
形如的函数叫正比例函数。
注意:
(1)
(2)自变量x的指数为1
例题:
1.下列函数中,是正比例函数的是()
A.B.C.D.
2.(易错)当m=时,是正比例函数.
3.下列各选项中,成正比例关系的是()
A.人的升高与体重B.正方形的面积与它的边长
C.买同一种练习本所需钱数和所买的本数D.从甲地到乙地,所用时间和行驶的速度
知识点六:
正比例函数的图像和性质(重点)
(1)图象:
正比例函数的图象是经过原点的直线。
由于正比例函数图象是过原点的直线,而两点确定一条直线,因此,画的图象时,除原点外,只要再确定一个点即可。
(2)性质:
当时,直线经过第一.三象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;
当时,直线经过第二.四象限,从左向右下降,即随x的增大y而减小;
例题:
1.正比例函数必经过点.
2.某函数具有下列两条性质:
(1)它的图象经过点(0,0)的一条直线;
(2)y的值随的增大而减小,请你举出一个满足上述两个条件的函数(用关系式表示).
3.已知,与成正比例,与成正比例,且时,;时,,求y与之间的函数关系式.
4.东方超市鲜鸡蛋每个0.4元,那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x(个)之间的函数关系式是.
5.若关于x的函数是一次函数,则m=,n.
6.若函数y=(m-5)x+(4m+1)x2(m为常数)中的y与x成正比例,则m的值为()
(A)m>-(B)m>5(C)m=-(D)m=5
7.一个正比例函数的图象经过点(2,-3),它的表达式为()
A.B.C.D.
8.已知函数,下列说法中错误的是()
A.函数经过第二.四象限B.y的值随x的增大而增大
C.原点在函数的图象上D.y的值随x的增大而增小
9.已知正比例函数,若y随的增大而增大,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.(难点)已知正比例函数图象上的两点A,B,当时,有,那么m的取值范围是()
A.B.C.D.
11.已知y-3与成正比例,且时,y=7,
(1)写出y与之间的函数关系式
(2)计算时,y的值
(3)计算y=2时,的值
(4)若点(a,0)在这个函数图象上,求a的值
知识点七:
一次函数的定义
(1)定义:
一般的,形如的函数,叫一次函数。
(2)一次函数中自变量的取值范围是全体实数
(3)正比例函数和反比例函数的区别与联系
当时,变为,所以说,正比例函数是一种特殊的一次函数。
正比例函数一定是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数。
(4)待定系数法求一次函数解析式
要确定一次函数中的常数k和b,一般的求解方法是待定系数法。
即先设出函数的表达式,在由已知条件列出关于k,b的二元一次方程组,通过方程组确定k和b,从而确定解析式。
例题:
1.函数,,,中,一次函数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列说法正确的是()
A.正比例函数是一次函数B.一次函数是正比例函数
C.正比例函数不是一次函数D.不是正比例函数就不是一次函数
3.下列给出的四个点中,不在直线上的是()
A.(1,-1)B.(0,-3)C.(2,1)D.(-1,5)
4.(难点)对于函数,当k=时,它是正比例函数;当k=时,它是一次函数。
5.根据右图所示的程序计算函数值,若输入的x值为1.5,则输出的结果为()
A.3.5B.1.5C.0.5D.-0.5
知识点八:
待定系数法(考点)
例题:
1.已知点A(,)在函数的图像上,则=;
2.设点P(3,m),Q(n,2)在函数的图像上,则m+n=______.
3.已知一次函数的图象经过(-4,15),(6,-5)两点,求此一次函数的解析式.
知识点九:
一次函数图像和性质(重点)
(1)一次函数的图象是一条直线,所以一次函数的图象也称为直线。
(2)一次函数必过点(0,b)和点,所以在画一次函数图象时可选取这两个特殊点进行画图。
(3)一般地,一次函数具有下列性质:
当时,y随x的增大而增大
当时,y随x的增大而减小。
例题:
1.一次函数的图象经过点(0,)与点(,0),y随x的增大而.
2.(易错)已知函数,当k取不同的数值时,可以得到许多不同的直线,这些直线必定()
A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直
3.(易错)已知函数,当取不同的数值时,可以得到不同的直线,这些直线必定()
A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直
4.已知一次函数,若y随的增大而减小,则该函数的图象经过()
A.第一.二.三象限B.第一.二.四象C.第二.三.四象限D.第一.三.四象限
5.若一次函数的函数值y随的增大而增大,且一次函数的图像不经过第二象限,则k的取值范围是()
A.B.C.D.
6.(难题)若一次函数的图象经过第一、二、四象限,则m的取值范围是.
7.已知实数a,b,c满足()那么的图像一定不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第二象限
8.一次函数的图像经过二、三、四象限,则化简所得的结果是()
A.mB.-mC.2m-nD.m-2
9.已知点,和点,都在直线上,若>,则,的关系是()
A.>B.=C.<D..不能比较
10.(难题).两个一次函数与,它们在同一直角坐标系中的图象可能是()
A.B.C.D.
11.已知直线与直线关于原点对称,求k、b的值.
12.若直线(k<0)过点(-2,5),则不等式的解集是.
13.如图,直线与直线相交于点A(-1,2),与x轴相交于点B(-3,0),则关于的不等式组的解集为.
14.已知直线(k0)与两坐标轴围成的三角形面积为2,则k的值是.
15.(难题)已知一次函数的图象如图所示,则下列正确的是()
A.B.C.D.
16.(易错)一次函数的图象与两坐标轴交于点A,B,则的面积等于()
A.12B.9C.18D.24
17.已知点A、B在一次函数(k、b为常数,且)的图象上,点A在第一象限,点B在第二象限,则下列判断一定正确的是( )
A.B.C.D.
18.一次函数的图像与,y轴分别交于点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,当PC+PD取最小值时,P点坐标为,此时,PC+PD=.
第14题第15题第18题
19.(难题)如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为,△ABP的面积为y,如果y关于的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是()
A.10B.16C.18D.20
知识点十:
一次函数的图像平移(考点)
例题:
1.在同一直角坐标系内,直线可由直线向下平移得到,.
2.一次函数的图象向上平移4个单位得到的函数解析为,向下平移2个单位得到的函数解析式为,再向平移个单位得到函数.
3.将一次函数向左平移的图象向左平移2个单位后,得到的图像解析式是,然后再向右平移4个单位后,得到的图像解析式是.
4.直线m:
是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而,在直线n上,则=__________.
5.要得到的图像,可把直线()
A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向上平移4个单位D.向下平移4个单位
知识点十一:
一次函数与一元一次方程(重点难点)
(1)任何一元一次方程都可以转化为的形式
(2)解一元二次方程可以转化为:
1的值为0时,求相应的自变量的值;
2从图形上看,这相当于一只直线,确定它与x轴交点的横坐标的值。
(3)利用函数图象解一元一次方程的步骤:
①画出一次函数图象
3找出直线与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解
例题:
1.直线与轴的交点坐标是()
A.(6,0)B.(0,6)C.(-8,0)D.(0,-8)
2.直线与x轴交于点(6,0),则m的值为()
A.2B.3C.1D.0
3.当=时,函数的值等于2.
4.下列说法正确的是()
A.方程可以看作直线与y轴的交点
B.方程可以看作直线与轴的交点
C.方程可以看作直线与y轴的交点
D.方程可以看作直线与轴的交点
5.一次函数过点(1,5),则一元一次方程的解
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