福建省漳州市玉兰中学九年级上数学期中考试试题 解析版.docx
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福建省漳州市玉兰中学九年级上数学期中考试试题解析版
2019-2020玉兰中学九年级上数学期中试题
一.选择题(共10小题)
1.下
列方程中,属于一元二次方程的是( )
A.x+2y=1B.ax2+bx+c=0C.3x+
=4D.x2﹣2=0
2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.内角和为360°B.对角线互相平分
C.对角线相等D.对角线互相垂直
3.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( )
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
4.观察下列表格,一元二次方程x2﹣x=1.1的一个近似解是( )
x
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A.0.11B.1.19C.1.73D.1.67
5.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程变形正确的是( )
A.(x﹣1)2=6B.(x﹣2)2=9C.(x+1)2=6D.(x+2)2=9
6.二次函数y=(x﹣2)2+7的顶点坐标是( )
A.(﹣2,7)B.(2,7)C.(﹣2,﹣7)D.(2,﹣7)
7.已知二次函数y=a(x﹣1)2+2,当x<1时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是( )
A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0
8.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上,且CE=BC,AE=AB,AE、DC相交于点O,连接DE.若∠AOD=120°,AC=4,则CD的大小为( )
A.8B.4
C.8
D.6
9.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y=﹣4x+440,要获得最大利润,该商品的售价应定为( )
A.60元B.70元C.80元D.90元
10.如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.
其中正确结论有( )个.
A.4B.3C.2D.1
二.填空题(共6小题)
11.方程x2=5x的根是 .
12.将抛物线y=x2向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为 .
13.如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若OM=3,BC=8,则OB的长为 .
14.某药品原价是100元,经连续两次降价后,价格变为64元,如果每次降价的百分率是一样的,那么每次降价的百分率是 .
15.若a为方程x2+x﹣5=0的解,则2a2+2a+1的值为 .
16.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为 .
三.解答题(共9小题)
17.用配方法解方程:
x2+4x﹣2=0.
18.解方程:
3x2﹣5x+1=0
19.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是为E,F,并且DE=DF.求证:
四边形ABCD是菱形.
20.已知:
如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.
求证:
四边形CEDF是正方形.
21.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,当x≥0时,其图象如图所示.
(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象;
(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时,y>0.
22.求证:
矩形的对角线相等.(要求:
画出图形,写出已知,求证和证明过程)
23.诸暨某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了迎接“五一”国际劳动节,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件童装降价1元,那么平均可多售出2件.
(1)设每件童装降价x元时,每天可销售 件,每件盈利 元;(用x的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时,平均每天赢利1200元.
(3)要想平均每天赢利2000元,可能吗?
请说明理由.
24.已知:
平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+
﹣
=0的两个实数根.
(1)试说明:
无论m取何值方程总有两个实数根
(2)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?
求出这时菱形的边长;
(3)若AB的长为2,那么平行四边形ABCD的周长是多少?
25.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,﹣m﹣1)在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D'的坐标.
(3)在
(2)的条件下,连接BD,问在x轴上是否存在点P,使∠PCB=∠CBD?
若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.下列方程中,属于一元二次方程的是( )
A.x+2y=1B.ax2+bx+c=0C.3x+
=4D.x2﹣2=0
【分析】首先判断是否是整式方程,如果是整式方程,化简后只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,这样的方程就是一元二次方程.
【解答】解:
A、含有2个未知数,故错误;
B、当a=0时不是一元二次方程,故错误;
C、为分式方程,故错误;
D、只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,二次项系数不为0,是一元二次方程,正确;
故选:
D.
【点评】用到的知识点为:
一元二次方程只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,为整式方程;并且二次项系数不为0.
2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.内角和为360°B.对角线互相平分
C.对角线相等D.对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同,可得到答案.
【解答】解:
矩形和菱形的内角和都为360°,矩形的对角线互相平分且相等,菱形的对角线垂直且平分,
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等,
故选:
C.
【点评】本题考查了矩形的性质,菱形的性质,熟记两图形的性质是解题的关键.
3.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( )
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
【分析】作出图形,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形,再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断.
【解答】解:
如图,∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF∥AC且EF=
AC,
同理,GH∥AC且GH=
AC,
∴EF∥GH且EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
又根据三角形的中位线定理,EF∥AC,FG∥BD,
∴EF⊥FG,
∴平行四边形EFGH是矩形.
故选:
C.
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理,菱形的性质,以及矩形的判定,连接四边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关,原四边形的对角线相等,则得到的四边形是菱形,原四边形对角线互相垂直,则得到的四边形是矩形,连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形.
4.观察下列表格,一元二次方程x2﹣x=1.1的一个近似解是( )
x
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A.0.11B.1.19C.1.73D.1.67
【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6<x<1.7,然后对各选项进行判断即可得出答案.
【解答】解:
因为x=1.6时,x2﹣x=0.96,
x=1.7时,x2﹣x=1.19,
所以方程解的范围为1.6<x<1.7.
故选:
D.
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解:
用列举法估算一元二次方程的近似解,具体方法是:
给出一些未知数的值,计算方程两边结果,当两边结果愈接近时,说明未知数的值愈接近方程的根.
5.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程变形正确的是( )
A.(x﹣1)2=6B.(x﹣2)2=9C.(x+1)2=6D.(x+2)2=9
【分析】方程移项,配方得到结果,即可做出判断.
【解答】解:
方程变形得:
x2﹣2x=5,
配方得:
x2﹣2x+1=6,即(x﹣1)2=6,
故选:
A.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
6.二次函数y=(x﹣2)2+7的顶点坐标是( )
A.(﹣2,7)B.(2,7)C.(﹣2,﹣7)D.(2,﹣7)
【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可.
【解答】解:
∵二次函数y=(x﹣2)2+7为顶点式,
∴图象的顶点坐标是(2,7).
故选:
B.
【点评】本题主要考查了二次函数的性质,掌握y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解决问题的关键.
7.已知二次函数y=a(x﹣1)2+2,当x<1时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是( )
A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0
【分析】根据二次函数y=a(x﹣1)2+2,当x<1时,y随x的增大而增大,可以得到该二次函数的对称轴,和相应的a的值,从而可以解答本题.
【解答】解:
∵二次函数y=a(x﹣1)2+2,
∴该二次函数的对称轴为直线x=1,
又∵当x<1时,y随x的增大而增大,
∴a<0,
故选:
B.
【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是明确在二次函数中,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小,在对称轴右侧y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小.
8.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上,且CE=BC,AE=AB,AE、DC相交于点O,连接DE.若∠AOD=120°,AC=4,则CD的大小为( )
A.8B.4
C.8
D.6
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,AB=DC,求出AD=CE,AD∥CE,AE=DC,根据矩形的判定得出四边形ACED是矩形,由矩形的性质得出OA=
AE,OC=
CD,AE=CD,求出OA=OC,求出△AOC是等边三角形,即可得出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC,
∵CE=BC,
∴AD=CE,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∵AB=DC,AE=AB,
∴AE=DC,
∴四边形ACED是矩形;
∴OA=
AE,OC=
CD,AE=CD,
∴OA=OC,
∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°,
∴△AOC是等边三角形,
∴OC=AC=4,
∴CD=2OC=8;
故选:
A.
【点评】本题考查了矩形的性质和判定,平行四边形的性质,等边三角形的性质和判定的应用,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.
9.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y=﹣4x+440,要获得最大利润,该商品的售价应定为( )
A.60元B.70元C.80元D.90元
【分析】设销售该商品每月所获总利润为w,根据“月销售总利润=单件利润×月销售量”列出函数解析式,配方成顶点式后即可得出其最值情况,据此可得答案.
【解答】解:
设销售该商品每月所获总利润为w,
则w=(x﹣50)(﹣4x+440)
=﹣4x2+640x﹣22000
=﹣4(x﹣80)2+3600,
∴当x=80时,w取得最大值,最大值为3600,
即售价为80元/件时,销售该商品所获利润最大,
故选:
C.
【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是根据月销售总利润=单件利润×月销售量列出函数解析式,并配方成顶点式,利用顶点式找到其最值情况.
10.如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.
其中正确结论有( )个.
A.4B.3C.2D.1
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF,从而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,由正方形的性质就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,设EC=x,BE=y,由勾股定理就可以得出x与y的关系,表示出BE与EF,利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE,再通过比较大小就可以得出结论.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF等边三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF(故①正确).
∠BAE=∠DAF,
∴∠DAF+∠DAF=30°,
即∠DAF=15°(故②正确),
∵BC=CD,
∴BC﹣BE=CD﹣DF,即CE=CF,
∵AE=AF,
∴AC垂直平分EF.(故③正确).
设EC=x,由勾股定理,得
EF=
x,CG=
x,
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=
x,
∴AC=
,
∴AB=
,
∴BE=
﹣x=
,
∴BE+DF=
x﹣x≠
x,(故④错误),
∵S△CEF=
,
S△ABE=
=
,
∴2S△ABE=
=S△CEF,(故⑤正确).
综上所述,正确的有4个,
故选:
A.
【点评】本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键.
二.填空题(共6小题)
11.方程x2=5x的根是 x1=0,x2=5 .
【分析】先把方程变形为x2﹣5x=0,把方程左边因式分解得x(x﹣5)=0,则有x=0或x﹣5=0,然后解一元一次方程即可.
【解答】解:
x2﹣5x=0,
∴x(x﹣5)=0,
∴x=0或x﹣5=0,
∴x1=0,x2=5.
故答案为x1=0,x2=5.
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程:
先把方程变形为一元二次方程的一般形式,然后把方程左边因式分解,这样就把方程转化为两个一元一次方程,再解一元一次方程即可.
12.将抛物线y=x2向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为 y=(x﹣3)2+2 .
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
【解答】解:
将抛物线y=x2向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y=(x﹣3)2+2,
故答案为:
y=(x﹣3)2+2
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:
左加右减,上加下减.
13.如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若OM=3,BC=8,则OB的长为 5 .
【分析】根据矩形的性质求出∠D=90°,OA=OB,AD=BC=8,求出AM,根据勾股定理求出OA即可.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,BC=8,
∴OA=OC,AD=BC=8,∠D=90°,OA=OB,
∵M为AD中点,O为AC的中点,
∴AM=
8=4,OM∥CD,
∴∠OMA=∠D=90°,
在Rt△AMO中,由勾股定理得:
AO=
=
=5,
∴OB=OA=5,
故答案为:
5.
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识点,能熟记矩形的性质是解此题的关键,注意:
矩形的对边相等,矩形的对角线互相平分且相等,矩形的每个角都是直角.
14.某药品原价是100元,经连续两次降价后,价格变为64元,如果每次降价的百分率是一样的,那么每次降价的百分率是 20% .
【分析】此题可设每次降价的百分率为x,第一次降价后价格变为100(1﹣x)元,第二次在第一次降价后的基础上再降,变为100(1﹣x)(1﹣x),即100(1﹣x)2元,从而列出方程,求出答案.
【解答】解:
设每次降价的百分率为x,第二次降价后价格变为100(1﹣x)2元.
根据题意,得100(1﹣x)2=64,
即(1﹣x)2=0.64,
解得x1=1.8,x2=0.2.
因为x=1.8不合题意,故舍去,
所以x=0.2.
即每次降价的百分率为0.2,即20%.
故答案为:
20%.
【点评】考查了一元二次方程的应用,此题的关键在于分析降价后的价格,要注意降价的基础,另外还要注意解的取舍.
15.若a为方程x2+x﹣5=0的解,则2a2+2a+1的值为 11 .
【分析】把x=a代入已知方程,求得(a2+a)的值,然后将其代入所求的代数式求值即可.
【解答】解:
根据题意,得
a2+a﹣5=0,即a2+a=5
则2a2+2a+1=2(a2+a)+1=2×5+1=11.
故答案是:
11.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.方程的根即方程的解,就是能使方程左右两边相等的未知数的值.
16.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为 (1+
,2)或(1﹣
,2) .
【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上,由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标,从而可知P点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标.
【解答】解:
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形,
∴点P在线段CD的垂直平分线上,
如图,过P作PE⊥y轴于点E,则E为线段CD的中点,
∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,
∴C(0,3),且D(0,1),
∴E点坐标为(0,2),
∴P点纵坐标为2,
在y=﹣x2+2x+3中,令y=2,可得﹣x2+2x+3=2,解得x=1±
,
∴P点坐标为(1+
,2)或(1﹣
,2),
故答案为:
(1+
,2)或(1﹣
,2).
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键.
三.解答题(共9小题)
17.用配方法解方程:
x2+4x﹣2=0.
【分析】先移项,得x2+4x=2,再在两边同时加上22,再利用平方法即可解出原方程.
【解答】解:
移项,得x2+4x=2,
两边同加上22,得x2+4x+22=2+22,
即(x+2)2=6,
利用开平方法,得
或
,
∴原方程的根是
,
.
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,难度适中.
18.解方程:
3x2﹣5x+1=0
【分析】利用求根公式解答.
【解答】解:
由求根公式有
=
,
∴
,
.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键.
19.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是为E,F,并且DE=DF.求证:
四边形ABCD是菱形.
【分析】首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF,再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形.
【解答】证明:
在△ADE和△CDF中,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
又∵DE=DF,
∴△ADE≌△CDF(AAS)
∴DA=DC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法,解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质.
20.已知:
如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.
求证:
四边形CEDF是正方形.
【分析】要证四边形CEDF是正方形,则要先证明四边形DECF是矩形,已知CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定,再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形.
【解答】证明:
∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴四边形DECF是矩形,
∵DE=DF,
∴矩形DECF是正方形.
【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定.要注意判定一个四边形是正方形,必须先证明这个四边形为矩形或菱形.
21.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,当x≥0时,其图象如图所示.
(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象;
(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时,y>0.
【分析】本题的关键是求出抛物线的解析式,在题目给出的图象中可得出A、B、C三点的坐标,可用待定系数求出抛物线的解析式,进而可画出x<0时抛物线的图象,以及y>0时x的取值范围.
【解答】解:
(1)由图象,可知A(0,2),B(4,0),C(5,﹣3),
得方程组
.
解得a=﹣
,b=
,c=2.
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+2.
顶点坐标为(
,
).
(2)所画图如图.
(3)由图象可知,当﹣1<x<4时,y>0.
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,同时还考查了方程组的解法等知识,以及数形结合的数学思想方法.
22.求证:
矩形的对角线相等.(要求:
画出图形,写出已知,求证和证明过程)
【分析】由“四边形ABCD是矩形”得知,AB=CD,AD=BC,矩形的四个角都是直角,再根据全等三角形的判定原理SAS判定全等三角形,由此,得出全等三角形的对应边相等的结论.
【解答】解:
已知:
四边形ABCD是矩形,AC与BD是对角线,
求证:
AC=BD,
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
又∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴AC=BD,
所以矩形的对角线相等
【点评】本题考查的是矩形的性质和全等三角形的判定.
(1)在矩形中,对边平行相等,四个角都是直角;
(2)全等三角形的判定原理AAS;三个判定公理(ASA、SAS、SSS);(3)全等三角形的对应边、对应角都相等.
23.诸暨某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了迎接“五一”国际劳动节,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件童装降价1元,那么平均可多售出2件.
(1)设每件童装降价x元时,每天可销售 20+2
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