韦达定理教案.docx
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韦达定理教案
教师一对一个性化教案
学生姓名
年级
日期
时间段
科目
授课教师
课时
授课类型
新课/复习课/作业讲解课
教学目标
教学重
点、难点及
考点分析
教学内容
个性化学习问
题解决
求代数式的值
一元二次韦达定理一应用
方程的求根公式
【内容分析】
求待定系数
构造方程
解特殊的二元二次方程组二次三项式的因式分解
韦达定理:
对于一元二次方程ax2•bx•c=0(a=0),如果方程有两个实数根捲,x2,那么
be
x,x2,x1x2:
aa
说明:
(1)定理成立的条件:
_0
教学过程
(2)注意公式重x,x2--b的负号与b的符号的区别
a
根系关系的三大用处
(1)计算对称式的值
例若x,,x2是方程x22x-2007=0的两个根,试求下列各式的值:
2211
(1)x1x2;
(2)—:
一;(3)(X1-5)(X2-5);⑷|X1-X2〔.
x1他
解:
由题意,根据根与系数的关系得:
x1x^-2,)^X2二-2007
2222
(1)x1x2^(x1x2)—2x^2=(-2)—2(—2007)=4018
1丄1X]+x2-22
(2)12
X!
x2X!
x2-20072007
⑶(捲-5)(x2-5^x1x2-5(x1x2)25二-2007-5(-2),25二-1972
⑷|为—x2,(捲一x2)2=,(为x2)2—4x^2二.(一2)2-4(一2007)=22008
说明:
利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
教学过程
2丄2/丄、2c11Xi+X2\2/丄\2,
Xi+x2—(论+x2)—2x^2,十一,(捲一x2)—(论+x2)—4x^2,
x-ix2x-ix2
|xi—X2|=J(xi+x2)■—4x|x2,xix2+xiX2=X1X2(xi*X2),
333
Xi+X2=(Xi+X2)-3X|X2(Xi+X2)等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】
222
1.设Xi,X2是方程2x—6x+3=0的两根,贝yXi+X2的值为
2.已知Xi,X2是方程2x—7x+4=0的两根,则xi+X2=,Xi•X2=,
(xi—X2)2=
2i
3.已知方程2x—3x+k=0的两根之差为22,贝Uk=;
4.若方程x2+(a2—2)x—3=0的两根是I和一3,贝Ua=;
5.右关于x的方程x+2(m—i)x+4m=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;
6.设xi,X2是方程2x2—6x+3=0的两个根,求下列各式的值:
22iI
(i)xiX2+XIX2
(2)———
XiX2
7.已知Xi和X2是方程2x2—3x—I=0的两个根,禾U用根与系数的关系,求下列各式的值:
—i
22
XiX2
(2)构造新方程
理论:
以两个数帀、乃为根的一元二次方程是X(町+乃)兀+可乃°。
例解方程组x+y=5
xy=6
解:
显然,x,y是方程z2-5z+6=0①的两根
由方程①解得zi=2,z2=3
•••原方程组的解为xi=2,yi=3
x2=3,y2=2
显然,此法比代入法要简单得多。
(3)定性判断字母系数的取值范围
例一个三角形的两边长是方程2忑&+2.-0的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
解:
设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为2/-也+2二°的两根,贝yc=2
•0,二是-人=X2,所以要分
AM,3
=0=k=
2
k=-1,由于
由题意知
2
△=k-4X2X2>0,k>4或kw-4
=|>0,>0
u
tlb=I
c=2
Sr
—>c=2.上》4
2
\a-b\=yj(a+by2-Aab=+JF二IE<.c=2,-A-Jl 【典型例题】 1 k的值. 例1已知关于x的方程x2—(k+1)x+—k2+1=0,根据下列条件,分别求出 4 (1)方程两实根的积为5; (2)方程的两实根X-I,x2满足|X1\=x2. 分析: (1)由韦达定理即可求之; (2)有两种可能,一是x,=X2 类讨论. 解: (1)•••方程两实根的积为5 212 : H-(k1)]-4屮1)_03 4二k_3,k=4 12 NX? k21=5 L4 所以,当k=4时,方程两实根的积为5. (2)由\X1〔=X2得知: 1当X1一0时,-X2,所以方程有两相等实数根,故 2当x1: : 0时,=x2=%x2=0=k1=0= 3 ;一0=k「―,故k■-1不合题意,舍去. 2 3 综上可得,k=2时,方程的两实根X! X2满足\X1戶X2. 说明: 根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件, 即所求的字母应满足: -0. 2 例2已知X1,x2是一元二次方程4kx-4kxk^0的两个实数根. (2)求使空十竺_2的值为整数的实数k的整数值. x2x1 3 解: ⑴假设存在实数k,使(2xi-X2)(xi-2x2)成立. •••一元二次方程4kx2-4kxk^0的两个实数根 4k=0 2=k: : 0, .■: =(_4k)2-44k(k1)二―16k_0 2 又Xi,X2是一元二次方程4kx-4kxk^0的两个实数根 Xx2=1x1x2 4k 222 •(2捲一x2)(为一2x2)=2(捲x2)-5x^2二2(x1x2)-9x1x2 -「3二k=9,但k0. 4k25 3 •不存在实数k,使(2为一X2)(X1-2x2)成立. •••要使其值是整数,只需k1能被4整除,故k,1=: 「1,_2,_4, 要使生+生_2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.x2x-i 说明: (1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在. 4 (2)本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法. k+1 一元二次方程根与系数的关系练习题 A组 1.一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是() A.k2B.k: : 2,且k=1C.k2D.k2,且k=1 11 2•若x1,x2是方程2x2-6x■3=0的两个根,则一•一的值为(X-IX? A.2B.-2 C. D. 3.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于0点,且OA0B的长分别是关于X的方程 x2(2m—1)xm23=0的根,贝Um等于() A.一3B.5C.5或—3D.-5或3 4.若t是一元二次方程ax2bx0(a=0)的根,则判别式厶=b2-4ac和完全平方式 2 M=(2atb)的关系是() A.=MB.厶.MC..「: : MD.大小关系不能确定 22b—1a—1 5.若实数a=b,且a,b满足a—8a•5=0,b—8b•5=0,则代数式亠的值为() a-1b-1 A.-20B.2C.2或—20D.2或20 6.如果方程(b—c)x2+(c—a)x+(a—b)=0的两根相等,则a,b,c之间的关系是 7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2_8x•7=0的两个根,则这个直角三角形的 斜边长是. &若方程2x2—(k+1)x+k+3=0的两根之差为1,则k的值是. 9.设x1,x2是方程x2px0的两实根,x11,x21是关于x的方程x2•qx•p=0的两实根, 贝Hp=,q=. 10.已知实数a,b,c满足a=6—b,c2=ab—9,贝ya=,b=,c=. 11.对于二次三项式x2-10x36,小明得出如下结论: 无论x取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法? 请您说明理由. 1rm 12•若n,关于x的方程x2-(m-2n)x•-mn=0有两个相等的的正实数根,求一的值. 4n 13.已知关于x的一元二次方程x2(4mT)x•2m-1=0. (1)求证: 不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; 111 (2)若方程的两根为x(,x2,且满足,求m的值. x-ix22 1 14.已知关于x的方程x2-(k1)^-k2•1=0的两根是一个矩形两边的长. 4 (1)k取何值时,方程存在两个正实数根? (2)当矩形的对角线长是「5时,求k的值. B组 2 1已知关于x的方程(k-1)x•(2k-3)x•k•1=0有两个不相等的实数根X! X2. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数? 如果存在,求出k的值;如果不存在,请您说 明理由. 2.已知关于x的方程X2•3x-m=0的两个实数根的平方和等于11•求证: 关于x的方程 22 (k-3)xkmx-m6m-4=0有实数根. 3•若x「X2是关于x的方程x2-(2k1)xk20的两个实数根,且x「X2都大于1. (1)求实数k的取值范围; ⑵若x1=1,求k的值. x22 答案 A组 1. B2.A3.A4.A 5.A 6. ac=2b,且b=c 7. 38.9或-3 9.p--1,q--3 10. a=3,b=3,c=0 11.正确 12.4 21 13.(1p=16m250⑵m= 3 14. (1)k: _— (2)k=2 1. 2. (1K13且k=1 12 (2)不存在 m=1 (1)当k=3时,方程为3x*1=0,有实根; ⑵当k=3时,厶也有实根. 3. (1)k一3且k=1; (2)k=7. 4 课后作业 可附页 班主任收回审批签字 教学主任课前审批签字(或盖早) Welcome! ! ! 欢迎您的下载,资料仅供参考!
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- 定理 教案
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