八年级数学竞赛培优讲义无答案.docx
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八年级数学竞赛培优讲义无答案
1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是:
(1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。
(2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1.把下列各式因式分解
(1)
(2)
分析:
(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。
解:
(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:
当n为自然数时,,是在因式分解过程中常用的因式变换。
解:
2.利用提公因式法简化计算过程
例:
计算
分析:
算式中每一项都含有,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。
解:
原式
3.在多项式恒等变形中的应用
例:
不解方程组,求代数式的值。
分析:
不要求解方程组,我们可以把和看成整体,它们的值分别是3和,观察代数式,发现每一项都含有,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有和的式子,即可求出结果。
解:
把和分别为3和带入上式,求得代数式的值是。
4.在代数证明题中的应用
例:
证明:
对于任意自然数n,一定是10的倍数。
分析:
首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n,和都是10的倍数。
一定是10的倍数
5、中考点拨:
例1。
因式分解
解:
说明:
因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得到。
例2.分解因式:
解:
说明:
在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。
题型展示:
例1.计算:
精析与解答:
设,则
说明:
此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算,运算量必然很大。
其中2019、2019重复出现,又有的特点,可通过设未知数,将复杂数字间的运算转化为代数式,再利用多项式的因式分解化简求值,从而简化计算。
例2.已知:
(b、c为整数)是及的公因式,求b、c的值。
分析:
常规解法是分别将两个多项式分解因式,求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。
注意到是及的因式。
因而也是的因式,所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解:
是及的公因式
也是多项式的二次因式
而
b、c为整数
得:
说明:
这是对原命题进行演绎推理后,转化为解多项式,从而简便求得。
例3.设x为整数,试判断是质数还是合数,请说明理由。
解:
都是大于1的自然数
是合数
说明:
在大于1的正数中,除了1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数叫合数。
只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1.分解因式:
(1)
(2)(n为正整数)
(3)
2.计算:
的结果是()
A.B.C.D.
3.已知x、y都是正整数,且,求x、y。
4.证明:
能被45整除。
5.化简:
,且当时,求原式的值。
2、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。
主要有:
平方差公式
完全平方公式
立方和、立方差公式
补充:
欧拉公式:
特别地:
(1)当时,有
(2)当时,欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此,正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
【分类解析】
1.把分解因式的结果是()
A.B.
C.D.
分析:
。
再利用平方差公式进行分解,最后得到,故选择B。
说明:
解这类题目时,一般先观察现有项的特征,通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
例:
已知多项式有一个因式是,求的值。
分析:
由整式的乘法与因式分解互为逆运算,可假设另一个因式,再用待定系数法即可求出的值。
解:
根据已知条件,设
则
由此可得
由
(1)得
把代入
(2),得
把代入(3),得
3.在几何题中的应用。
例:
已知是的三条边,且满足,试判断的形状。
分析:
因为题中有,考虑到要用完全平方公式,首先要把转成。
所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。
解:
为等边三角形。
4.在代数证明题中应用
例:
两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析:
先根据已知条件把奇数表示出来,然后进行变形和讨论。
解:
设这两个连续奇数分别为(为整数)
则
由此可见,一定是8的倍数。
5、中考点拨:
例1:
因式分解:
________。
解:
说明:
因式分解时,先看有没有公因式。
此题应先提取公因式,再用平方差公式分解彻底。
例2:
分解因式:
_________。
解:
说明:
先提取公因式,再用完全平方公式分解彻底。
题型展示:
例1.已知:
,
求的值。
解:
原式
说明:
本题属于条件求值问题,解题时没有把条件直接代入代数式求值,而是把代数式因式分解,变形后再把条件带入,从而简化计算过程。
例2.已知,
求证:
证明:
把代入上式,
可得,即或或
若,则,
若或,同理也有
说明:
利用补充公式确定的值,命题得证。
例3.若,求的值。
解:
且
又
两式相减得
所以
说明:
按常规需求出的值,此路行不通。
用因式分解变形已知条件,简化计算过程。
【实战模拟】
1.分解因式:
(1)
(2)
(3)
2.已知:
,求的值。
3.若是三角形的三条边,求证:
4.已知:
,求的值。
5.已知是不全相等的实数,且,试求
(1)的值;
(2)的值。
4、用分组分解法进行因式分解
【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
【分类解析】
1.在数学计算、化简、证明题中的应用
例1.把多项式分解因式,所得的结果为()
分析:
先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。
解:
原式
故选择C
例2.分解因式
分析:
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把,分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解法1:
解法2:
2.在几何学中的应用
例:
已知三条线段长分别为a、b、c,且满足
证明:
以a、b、c为三边能构成三角形
分析:
构成三角形的条件,即三边关系定理,是“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”
证明:
3.在方程中的应用
例:
求方程的整数解
分析:
这是一道求不定方程的整数解问题,直接求解有困难,因等式两边都含有x与y,故可考虑借助因式分解求解
解:
4、中考点拨
例1.分解因式:
_____________。
解:
说明:
观察此题是四项式,应采用分组分解法,中间两项虽符合平方差公式,但搭配在一起不能分解到底,应把后三项结合在一起,再应用完全平方公式和平方差公式。
例2.分解因式:
____________
解:
说明:
前两项符合平方差公式,把后两项结合,看成整体提取公因式。
例3.分解因式:
____________
解:
说明:
分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示:
例1.分解因式:
解:
说明:
观察此题,直接分解比较困难,不妨先去括号,再分组,把4mn分成2mn和2mn,配成完全平方和平方差公式。
例2.已知:
,求ab+cd的值。
解:
ab+cd=
说明:
首先要充分利用已知条件中的1(任何数乘以1,其值不变),其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式,由ac+bd=0可算出结果。
例3.分解因式:
分析:
此题无法用常规思路分解,需拆添项。
观察多项式发现当x=1时,它的值为0,这就意味着的一个因式,因此变形的目的是凑这个因式。
解一(拆项):
解二(添项):
说明:
拆添项法也是分解因式的一种常见方法,请同学们试拆一次项和常数项,看看是否可解?
【实战模拟】
1.填空题:
2.已知:
3.分解因式:
4.已知:
,试求A的表达式。
5.证明:
5、用十字相乘法把二次三项式分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法,重点是运用公式
进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数。
对于二次三项(a、b、c都是整数,且)来说,如果存在四个整数满足,并且,那么二次三项式即可以分解为。
这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1.在方程、不等式中的应用
例1.已知:
,求x的取值范围。
分析:
本题为二次不等式,可以应用因式分解化二次为一次,即可求解。
解:
例2.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求m的值,并把这个多项式分解因式。
分析:
应当把分成,而对于常数项-2,可能分解成,或者分解成,由此分为两种情况进行讨论。
解:
(1)设原式分解为,其中a、b为整数,去括号,得:
将它与原式的各项系数进行对比,得:
解得:
此时,原式
(2)设原式分解为,其中c、d为整数,去括号,得:
将它与原式的各项系数进行对比,得:
解得:
此时,原式
2.在几何学中的应用
例.已知:
长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足
,求长方形的面积。
分析:
要求长方形的面积,需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解:
或
又
解得:
或
∴长方形的面积为15cm2或
3、在代数证明题中的应用
例.证明:
若是7的倍数,其中x,y都是整数,则是49的倍数。
分析:
要证明原式是49的倍数,必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一:
∵是7的倍数,7y也是7的倍数(y是整数)
∴是7的倍数
而2与7互质,因此,是7的倍数,所以是49的倍数。
证明二:
∵是7的倍数,设(m是整数)
则
又∵
∵x,m是整数,∴也是整数
所以,是49的倍数。
4、中考点拨
例1.把分解因式的结果是________________。
解:
说明:
多项式有公因式,提取后又
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- 八年 级数 竞赛 讲义 答案