概率论与数理统计浙大四版习题答案第二章.docx
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概率论与数理统计浙大四版习题答案第二章
第二章随机变量及其分布
1.[一]一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只,以X表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律
解:
X可以取值3,4,5,分布律为
也可列为下表
X:
3,4,5
P:
3.[三]设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X表示取出次品的只数,
(1)求X的分布律,
(2)画出分布律的图形。
解:
任取三只,其中新含次品个数X可能为0,1,2个。
再列为下表
X:
0,1,2
P:
4.[四]进行重复独立实验,设每次成功的概率为p,失败的概率为q=1-p(0
(1)将实验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律。
(此时称X服从以p为参数的几何分布。
)
(2)将实验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律。
(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布。
)
(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率。
解:
(1)P(X=k)=qk-1pk=1,2,……
(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n-1次有n次失败,且最后一次成功}
其中q=1-p,
或记r+n=k,则P{Y=k}=
(3)P(X=k)=(0.55)k-10.45k=1,2…
P(X取偶数)=
6.[六]一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1,问在同一时刻
(1)恰有2个设备被使用的概率是多少?
(2)至少有3个设备被使用的概率是多少?
(3)至多有3个设备被使用的概率是多少?
(4)至少有一个设备被使用的概率是多少?
[五]一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。
假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的。
(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律。
(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y的分布律。
(3)求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概率。
解:
(1)X的可能取值为1,2,3,…,n,…
P{X=n}=P{前n-1次飞向了另2扇窗子,第n次飞了出去}
=,n=1,2,……
(2)Y的可能取值为1,2,3
P{Y=1}=P{第1次飞了出去}=
P{Y=2}=P{第1次飞向另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去}
=
P{Y=3}=P{第1,2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去}
=
同上,
故
8.[八]甲、乙二人投篮,投中的概率各为0.6,0.7,令各投三次。
求
(1)二人投中次数相等的概率。
记X表甲三次投篮中投中的次数
Y表乙三次投篮中投中的次数
由于甲、乙每次投篮独立,且彼此投篮也独立。
P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)
=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)
=(0.4)3×(0.3)3+[
(2)甲比乙投中次数多的概率。
P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+
P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)
=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+
P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)
=
9.[十]有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。
如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次。
(1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少?
(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。
他连续试验10次,成功3次。
试问他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。
)
解:
(1)P(一次成功)=
(2)P(连续试验10次,成功3次)=。
此概率太小,按实际推断原理,就认为他确有区分能力。
[九]有一大批产品,其验收方案如下,先做第一次检验:
从中任取10件,经验收无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受这批产品,若产品的次品率为10%,求
(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率
(2)需作第二次检验的概率
(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率
(4)这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率
(5)这批产品被接受的概率
解:
X表示10件中次品的个数,Y表示5件中次品的个数,
由于产品总数很大,故X~B(10,0.1),Y~B(5,0.1)(近似服从)
(1)P{X=0}=0.910≈0.349
(2)P{X≤2}=P{X=2}+P{X=1}=
(3)P{Y=0}=0.95≈0.590
(4)P{0 =P{0 =0.581×0.5900.343 (5)P{X=0}+P{0 ≈0.349+0.343=0.692 12.[十三]电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求 (1)每分钟恰有8次呼唤的概率 法一: (直接计算) 法二: P(X=8)=P(X≥8)-P(X≥9)(查λ=4泊松分布表)。 =0.051134-0.021363=0.029771 (2)每分钟的呼唤次数大于10的概率。 P(X>10)=P(X≥11)=0.002840(查表计算) [十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。 [十六]以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),X的分布函数是 求下述概率: (1)P{至多3分钟}; (2)P{至少4分钟};(3)P{3分钟至4分钟之间}; (4)P{至多3分钟或至少4分钟};(5)P{恰好2.5分钟} 解: (1)P{至多3分钟}=P{X≤3}= (2)P{至少4分钟}P(X≥4)= (3)P{3分钟至4分钟之间}=P{3 (4)P{至多3分钟或至少4分钟}=P{至多3分钟}+P{至少4分钟} = (5)P{恰好2.5分钟}=P(X=2.5)=0 18.[十七]设随机变量X的分布函数为, 求 (1)P(X<2),P{0 (2)求概率密度fX(x). 解: (1)P(X≤2)=FX (2)=ln2,P(0 (2) 20.[十八 (2)]设随机变量的概率密度为 (1) (2) 求X的分布函数F(x),并作出 (2)中的f(x)与F(x)的图形。 解: 当-1≤x≤1时: 当1 故分布函数为: 解: (2) 故分布函数为 (2)中的f(x)与F(x)的图形如下 22.[二十]某种型号的电子的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度: 现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)。 任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少? 解: 一个电子管寿命大于1500小时的概率为 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。 则, 23.[二十一]设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为: 某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开。 他一个月要到银行5次。 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y的分布律。 并求P(Y≥1)。 解: 该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 因此 24.[二十二]设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程有实根的概率 ∵K的分布密度为: 要方程有根,就是要K满足(4K)2-4×4×(K+2)≥0。 解不等式,得K≥2时,方程有实根。 ∴ 25.[二十三]设X~N(3.22) (1)求P(2 ∵若X~N(μ,σ2),则P(α ∴P(2 (1)-φ(-0.5) =0.8413-0.3085=0.5328 P(-4 =0.9998-0.0002=0.9996 P(|X|>2)=1-P(|X|<2)=1-P(-2 = =1-φ(-0.5)+φ(-2.5) =1-0.3085+0.0062=0.6977 P(X>3)=1-P(X≤3)=1-φ=1-0.5=0.5 (2)决定C使得P(X>C)=P(X≤C) ∵P(X>C)=1-P(X≤C)=P(X≤C) 得P(X≤C)==0.5 又P(X≤C)=φ∴C=3 26.[二十四]某地区18岁的女青年的血压(收缩区,以mm-Hg计)服从在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X。 求 (1)P(X≤105),P(100 (2)确定最小的X使P(X>x)≤0.05. 解: 27.[二十五]由某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数为μ=10.05,σ=0.06的正态分布。 规定长度在范围10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少? 设螺栓长度为X P{X不属于(10.05-0.12,10.05+0.12) =1-P(10.05-0.12 =1- =1-{φ (2)-φ(-2)} =1-{0.9772-0.0228} =0.0456 28.[二十六]一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为μ=160,σ(未知)的正态分布,若要求P(120<X≤200==0.80,允许σ最大为多少? ∵P(120<X≤200)= 又对标准正态分布有φ(-x)=1-φ(x) ∴上式变为 解出 再查表,得 30.[二十七]设随机变量X的分布律为: X: -2,-1,0,1,3 P: ,,,, 求Y=X2的分布律 ∵Y=X2: (-2)2(-1)2(0)2 (1)2(3)2 P: 再把X2的取值相同的合并,并按从小到大排列,就得函数Y的分布律为: ∴Y: 0149 P: 31.[二十八]设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布 (1)求Y=eX的分布密度 ∵X的分布密度为: Y=g(X)=eX是单调增函数 又X=h(Y)=lnY,反函数存在 且α=min[g(0),g (1)]=min(1,e)=1 max[g(0),g (1)]=max(1,e)=e ∴Y的分布密度为: (2)求Y=-2ln
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