经典初中数学题.docx

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经典初中数学题

专题4几何证明

【知识要点】

1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；

2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；

3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。

【概念回顾】

1.全等三角形的性质：

对应边（），对应角（）对应高线（），对应中线（），对应角的角平分线（）。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：

AC：

AB=（）。

【例题解析】

【题1】已知在ΔABC中，

，AB＝AC，BD平分

．求证：

BC＝AB＋CD．

【题2】如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：

ＤＥ＝ＢＦ.

【题3】如图，AD为ΔABC的角平分线且BD＝CD．求证：

AB＝AC.

【题4】已知：

如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD，证明AB=DE，AC=DF.

【题5】已知：

如图，△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：

∠APB的度数．

【题6】如图：

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足是F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。

（1）求证：

AE=CD;

（2）若AC=12㎝，求BD的长.

【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等.

求证：

（1）∠AEF=∠AFE

（2）角B的度数

【题8】如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B，求证：

AB=AC+CD.

【题9】如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.

求证：

AF=

FC

【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A'B'CD'的位置，若∠B'CB=30度，求AE的长.

【题11】AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高。

M,N分别在AD,BE的延长线上，∠CBM=∠ACN.求证AM=BN.

【题12】已知：

如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.

求证：

BE‖CF.

【巩固练习】

【练1】如图，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF.

（1）请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线？

请证明你的结论。

（2）链接BF,CE，若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加一个什么条件？

【练2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边上的一个动点，且PB=PD，DE垂直AC，垂足为E。

（1）求证：

PE=BO

（2）设AC=3a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式。

【练3】已知：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD，BC的延长线叫MN与E、F

求证∠DEN=∠F.

【练4】如图，若C在直线OB上，试判断△CDM形状。

【练5】已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。

求证：

EF=2AD

1、【练6】如图，等边三角形ABC的边长为2，点P和点Q分别是从A和C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射线AB运动，Q点沿点C在BC延长线上运动。

设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于点E，当P和Q运动时，线段DE的长度是否改变？

证明你的结论。

【提示】

【题1】分析：

在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：

，

，

．∴

，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD．

【题2】分析：

将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转

即可．

∵

．∴

．

又∵

，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．

【题3】分析：

延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．

∵

．∴

．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．

【题4】本题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。

证明：

∵BF=CE

又∵BF+CF=BC

CE+CF=EF

∴BC=EF

∵AB∥DE，AC∥FD

∴∠B=∠E，∠DFE=∠BCA

又∵BF=CE

∴△DEF≌△ABC（ASA）

∴AB=DE，AC=DF

【题5】顺时针旋转△ABP600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

【题6】解析：

如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于90°，再试其它角加这个公共角是否能等于90°，能说明它俩相等。

证明：

（1）∵BD⊥BC，CF⊥AE

∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90°

∵∠D+∠BCD=90°

∠FEC+∠BCD=90°

∴∠D=∠FEC

又∵∠DBC=∠ACE=90°，AC=BC

∴△DBC≌△ACE（HL）

∴AE=CD

（2）由

（1）可知△BDC≌△ACE

∴BC=AC=12㎝，BD=CE

∵AE是BC边上的中线

∴BE=EC=

BC=6㎝

∵BD=CE

∴BD=6㎝

【题7】解：

∵CB=CE,CD=CF

∴∠B=∠CEB，∠D=∠CFD

∵∠B=∠D（菱形的对角相等）

∴∠CEB=∠CFD

∵∠CEF=∠CFE=60°

∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°

∠CED+∠CFE+∠AFE=180°

∴∠AEF=∠AFE

（2）设∠B=X,则∠A=180°—X，∠CEB=X

∵∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF+∠AFE=180°

∴（180°－X）+2∠AEF=180°

∴∠AEF=X/2

∵∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°

∴X+60°+X/2=180°

∴X=80°

∴∠B=80°

【题8】解析：

这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段，只能证AC、CD这两条线段与AB这条线段平分的两条线段AE、BE相等，从而证明出来。

证明：

∵∠AED是△EDB的一个外角

又∵∠1=∠B

∴∠AED=2∠B

∴∠AED=∠C=2∠B

∵AD是△ABC的角平分线

∴∠CAD=∠DAE

又∵∠AED=∠C，AD=DA

∴△ACD≌△AED（AAS）

∴AC=AE，CD=DE

∵∠1=∠B

∴DE=BE

∴CD=BE

∵AB=AE+BE

又∵AC=AE，CD=BE

∴AB=AC+CD

【题9】解析：

作CF的中点G，连接DG，则FG=GC

又∵BD=DC

∴DG∥BF

∴AE∶ED=AF∶FG

∵AE=ED

∴AF=FG

∴

=

∴即AF=

FC

【题10】提示：

证明三角形ABD和三角形CAF全等。

AEBD四点共圆。

四边形EDCF是平行四边形。

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

【题11】

证明：

因为△ABC为等边三角形，AD垂直于BC、BE垂直于AC，

所以∠BAM=∠CBN，

又因为∠CBM=∠ACN所以∠ABM=∠BCN

在△ABM和△BCN中，有AB=BC

∠BAM=∠CBN

∠ABM=∠BCN

由三角形全等的判定ASA得

△ABM和△BCN全等

所以AM=BN

【题12】分析：

要证明BE‖CF，只要证明∠E＝∠F；已知∠ABE＝∠DCF，又由三角形的外角性质可知∠E＝∠BAO﹣∠ABE，∠F＝∠CDO﹣∠DCF，因此只要证明∠BAO＝∠CDO.