导数各类题型方法总结绝对经典.docx

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导数各类题型方法总结绝对经典

第一章导数及其应用

一，导数的概念

1..已知f（X）-,则lim卫2——的值是（）

xx0x

A.-B.2C.-D.—2

44

变式1：

设f34,贝Hlim丄^3——hf3为（）

h02h

A.—1B.—2C.—3D.1

变式2：

设fx在沧可导，则lim丄上一X一fXo3x等于（）

X0x

A.2fx0B.fx0C.3fx0D.4fx0

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：

（1）对称轴（重视单调区间）

与定义域的关系

（2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以

及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：

函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：

令f'（x）0得到两个根;

第二步：

画两图或列表；

第三步：

由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,

2、常见处理方法有三种：

第一种：

分离变量求最值

用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：

变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：

设函数yf（x）在区间D上的导数为f（x），f（x）在区间D上的导数为g（x），若在区间D上，g（x）0

3小2mx3x

4x恒成立，则称函数yf（x）在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f（x）—12

（1）若yf（x）在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m2的任何一个实数m，函数f（x）在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值.

43^232

xmx3x/xmx

解：

由函数f（x）得f（x）3x

126232

g（x）x2mx3

（1）Qyf（x）在区间0,3上为“凸函数”，

贝Vg（x）x2mx30在区间［0,3］上恒成立

解法一：

从二次函数的区间最值入手：

等价于gmax（x）0

g（0）030m2

g（3）093m30

解法二：

分离变量法:

当x0时，g（x）x2mx3

30恒成立,

当Ox3时，g（x）

2

xmx30恒成立

等价于m

x23

3

x的最大值

x

0x3）恒成立,

3

而h（x）x-（0x3）是增函数，则hmax（x）h（3）2

x

m2

⑵T当m2时f（x）在区间a,b上都为“凸函数”

则等价于当

2时g（x）x2mx30恒成立

变更主元法

再等价于F（m）

mxx30在m2恒成立

（视为关于m的一次函数最值问题）

例2：

设函数-2（x）

3

X

123

F

（2）0

F

（2）0

ba

—►

2ax23a2xb（0a

2xx230

21x1

2xx230

2

1,bR）

（I）求函数（x）的单调区间和极值；

（n）若对任意的x[a1,a2],不等式f（x）a恒成立，求a的取值范围

（二次函数区间最值的例子）

解:

（I）f（x）x24ax3a2x3axa

令f（x）0,得f（x）的单调递增区间为（a,3a）

令f（x）0,得f（x）的单调递减区间为（一，&）和（3a,+）

•••当x=a时,

f（x）极小值=3a3

4

b；

当x=3a时，f（x）极大值=b.

（n）由|f（x）|wa,得：

对任意的x[a1,a2],a

22

x4ax3aa恒成立①

则等价于g（x）这个二次函数

gmax（x）agmin（X）a

g（x）x4ax3a的对称轴x2aQ0a1,

a1aa2a（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，g（x）这个二次函数的最值问题：

单调增函数的最值问题。

g（x）x4ax3a在[a1,a2]上是增函数

g（x）maxg（a2）2a1.

g（x）ming（a1）4a4.

g（a2）4a4a,4彳

解得—a1.

g（a1）2a1a5

又0a1,a-a1.

5

点评：

重视二次函数区间最值求法：

对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：

构造函数求最值

题型特征：

f（x）g（x）恒成立

h（x）f（x）g（x）0恒成立；从而转化为第一、二种题型

32

例3；已知函数f（x）xax图象上一点P（1,b）处的切线斜率为3，

3t62g（x）x3x2（t1）x3（t0）

（i）求a,b的值；

［1,4］时，求f（x）的值域;

（出）

［1,4］时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数t

的取值范围。

解:

f/（x）3x22axa

f/

（1）3

b1a'

解得a

b

（n）由（i）知,

f（x）在[

1,0］上单调递增,

［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减

又f

（1）4,f（0）

0,f

（2）

4,f（4）16

af（x）的值域是［

4,16]

（川）令h（x）f（x）g（x）

-x2（t1）x

2

x[1,4]

t（x22x）2x6分离变量

思路1：

要使f（x）g（x）恒成立，只需h（x）0，即

思路2：

二次函数区间最值

、题型一：

已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1转化为f'（x）0或f'（x）0在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：

利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区

间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：

前者是后者的子集

13a12

例4：

已知aR，函数f（x）xx（4al）x.

122

（I）如果函数g（x）f（x）是偶函数，求f（x）的极大值和极小值；

（n）如果函数f（x）是（，）上的单调函数，求a的取值范围.

12

解：

f（x）x2（a1）x（4a1）.

4

1312

（I）Vf（x）是偶函数，•••a1.此时f（x）x33x，f（x）x23，

124

令f（x）0，解得：

x2•_3.

列表如下:

x

（-a,-2^3）

-2活

（-

2\i'3,2^/3）

243

（2U3，+a）

f（x）

+

0

—

0

+

f（x）

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知：

f（x）的极大值为f（2、.3）43，f（x）的极小值为f（2・,3）4、3.

（n）：

函数f（x）是（，）上的单调函数，

•-f（x）1x2（a1）x（4a1）0，在给定区间R上恒成立判别式法4

212

贝U（a1）24（4a1）a22a0,解得：

0a2.

4

综上，a的取值范围是{a0a2}.

例5、已知函数f（x）〔X3-（2a）x2（1a）x（a0）.

32

）

则0,1是上述增区间的子集:

（I）求f（x）的单调区间;

（II）若f（x）在［0,1］上单调递增，求a的取值范围。

子集思想

（1）f（x）

2

x（2a）x1a

（x1）（x1

a）.

1、当a

2

0时,f（x）（x1）

0恒成立，

当且仅当

x1时取“=”号，

f（x）在（,

）单调递增。

2、当a

0时，由f（x）0,得x

1,X2a

1,且x

X2,

2、0,1a1,，

综上，a的取值范围是［0,

1］。

三、题型二：

根的个数问题

题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点======即卩方程根的个数问题

解题步骤

第一步：

画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”

还是“先减后增再减”；

第二步：

由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系;

第三步：

解不等式（组）即可；

例6、已知函数f（x）】x3（k1）x2，g（x）1kx，且f（x）在区间（2,）上为增函数.

323

（1）求实数k的取值范围；

（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.

解：

（1）由题意f（x）x2（k1）x•/f（x）在区间（2,）上为增函数,

•••f（x）x2（kx0在区间（2,）上恒成立（分离变量法）

即k1x恒成立，又x2,•k12，故k1•k的取值范围为k1

（2）设h（x）f（x）g（x）-色9x2kx-，

323

2

h（x）x（k1）xk（xk）（x1）

令h（x）0得xk或x1由

（1）知k1,

①当k1时，h（x）（x1）20,h（x）在R上递增，显然不合题意…

0，即（k1）（k22k2）

1

2k

，解得k1.3

20

②当k1时，h（x）,h（x）随x的变化情况如下表:

x

（,k）

k

（k,1）

1

（1,）

h（x）

0

一

0

h（x）

/

极大值

32

kk1

623

极小值

k1

2

/

k1

由于k一10,欲使f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，即方程h（x）0有三个不同的实根，故需

2

综上，所求k的取值范围为k1,3

根的个数知道，部分根可求或已知。

312

例7、已知函数f（x）axx2xc

2

（1）若x

1是f（x）的极值点且

f（x）的图像过原点，求

f（x）的极值;

b，使得函数g（x）的图像与函数f（x）的图像恒

c0

f（x）

c2

3axx

2,

120

a1

x2（3x

2）（x1）

0

3

2

22

1）-

f极小值（x）

f㈡

—

2

3

7

（2）设函数g（x）的图像与函数f（x）的图像恒存在含x1的三个不同交点，

1

等价于f（x）g（x）有含x1的三个根，即：

f

（1）g

（1）d（b1）

312121

x3x22xbx2x（b1）整理得：

222

3121

即：

x（b1）xx（b1）0恒有含x1的三个不等实根

22

11

（计算难点来了：

）h（x）x3-（b1）x2x-（b1）0有含x1的根，

则h（x）必可分解为（x1）（二次式）0，故用添项配凑法因式分解，

322121

x3x2x2—（b1）x2x-（b1）0

22

2121

x2（x1）（b1）x2x（b1）0

22

x2（x1）（b1）x22x（b1）0

1

十字相乘法分解：

x2（x1）3（b1）x（b1）x10

211

（x1）x2-（b1）x-（b1）0

22

3121

x3（b1）x2x（b1）0恒有含x1的三个不等实根

22

211

等价于x2-（b1）x-（b1）0有两个不等于-1的不等实根。

22

121

（b1）24（b1）0

42

4彳/b（,1）（1,3）（3,）

（1）2尹1）尹1）0

题2:

切线的条数问题===二以切点X。

为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数f（x）ax3bx2cx在点Xo处取得极小值一4，使其导数f'（x）0的x的取值范围为（1,3）,

求：

（1）f（x）的解析式；

（2）若过点P（1,m）可作曲线yf（x）的三条切线，求实数m的取值范围.

（1）由题意得：

f'（x）3ax22bxc3a（x1）（x3）,（a0）

••在（,1）上f'（x）0；在（1,3）上f'（x）0；在（3,）上f'（x）0

•••a

be4（

①，

f'

（1）

3a2b

e0②，

f'（3

a

1

由①②

「③联立得：

b

6,

•f（x）

x36x2

9x

e

9

（2）设切点Q（t,f（t）

），y

/f（t）

f,（t）（x

t）

y

（3t212t9

）（xt）

（t36'

t29t）

（

2

3t12t

9）x

t（3t2

12t9）

2

t（t6t

9）

（

3t212t

9）x

t（2t2

6t）过（

1,m）

m（

3t212t

9）（

1）2t3

16t2

g（t）

2t32t2

12t

9m

0

0,

27a6bc0③

令g'（t）6t26t126（t2t2）

求得：

t1,t2，方程g（t）0有三个根。

予g

（1）023129m0m16

需：

g

（2）01612249m0m11

故：

11m16;因此所求实数m的范围为：

（11,16）

题3:

已知f（x）在给定区间上的极值点个数贝卩有导函数=0的根的个数

解法：

根分布或判别式法例8、

已知函数/（幻=yx3-y（^+3）x3+（m+6）x,xelt（m为常数）.

（I）当机=4时,求函数fd）的单调区间；

（U）若函数y二在区间（匚+8）上有两个极值点,求实数m的取值范围.

解：

函数的定义域为R（I）当

1372

m=4时，f（x）=3X—2x+10x,

32

f（x）=x2—7x+10,令f（x）

0,解得x5,或x2.

令f（x）0,解得2x5

可知函数f（x）的单调递增区间为（

2）和（5,+^），单调递减区间为2,5

2

f（x）=x—（m+3）x+m

+6=0的根在（1,+s）

根分布问题：

要使函数y=f（x）在（1,+^）有两个极值点

（m3）4（m6）0;

解得m>3

则f

（1）1（m3）m60;，m3.

1.

2

例9、已知函数f（x）-x3

3

有且仅有3个极值点，求a

12

x

2

的取值范围.

（a

R,a0）

（1）求f（x）的单调区间;

（2）令g（x）=-x4+f（x）（x€R）

4

解:

（1）f'（x）ax2x

x（ax1）

当a0时，令f（x）

0解得x

1或x0,令f'（x）0解得

a

所以f（x）的递增区间为（

丄）（0,a

1

），递减区间为（丄,0）.

a

0时，同理可得

1

f（x）的递增区间为（0,），递减区间为

a

0）

）.

（2）g（x）

」x2有且仅有3个极值点

2

g（x）

ax

方程x2

ax1

0有两个非零实根，所以

a240,

而当a

2或a2时可证函数yg（x）有且仅有3个极值点

其它例题:

1、（最值问题与主元变更法的例子）

.已知定义在R上的函数

f（x）

ax3

2ax2b（a0）在区间

2,1上的最大值是5，最小值是一

11.

（I）求函数f（x）的解析式;

（n）若t[1,1]时，f（x）

tx0恒成立，求实数x的取值范围.

'2

f（x）3ax4axax（3x4）

令f（x）=o,得Xi0,X232,1

因为a0，所以可得下表:

x

2,0

0

0,1

f'（x）

+

0

-

f（x）

/

极大

2）,

因此f（0）必为最大值，•••f（05因此b5,Qf

（2）16a5,f

（1）a5,f

（1）f（即f

（2）16a511,•a1,•f（x）x2x25.

22

（□）•••f（x）3x4x,•••f（x）tx0等价于3x4xtx0,

x的取值范围,

令g（t）xt3x24x，则问题就是g（t）0在t[1,1]上恒成立时，求实数

为此只需g

（1）0，即3x25x0，

g

（1）0xx0

解得0x1,所以所求实数x的取值范围是[0，1].

2、（根分布与线性规划例子）

2

（1）已知函数f（x）x3ax2bxc

3

3xy0平行，求f（x）的

（I）若函数f（x）在x1时有极值且在函数图象上的点（0,1）处的切线与直线

解析式；

（b2,a1）所在平面区域

（n）当f（x）在x（0,1）取得极大值且在x（1,2）取得极小值时，设点M

为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:

3的两部分，求直线L的方程.

解：

（I）.由f（x）2x22axb,函数f（x）在x1时有极值,

•2ab20

•-f（0）1•c1

又•••f（x）在（0,1）处的切线与直线3xy0平行,

1

•f（0）b3故a1

2

（n）解法一：

由

f（x）

2x2axb及f（x）在x（0,1）取得极大值且在x

（1,

2）取得极小值,

f（0）

f

（1）

f⑵

b

即2a

4a

令M（x,y）,

易得A（2,

0）,

2y

4y

B（2,

同时DEABC的中位线,

所求一条直线L的方程为：

故点

M所在平面区域S为如图△ABC,

1）,

C（2,

2）,D（0,

1）,E（0,2）

SABC2

SDEC3S四边形ABED

分别交于

F、

G,

则

k

0,

S四边形DEGF1

由

y

kx

得点

F的横坐标为：

xF

2y

x

2

0

由

y

kx

得点

G的横坐标为：

xG

4y

x

6

0

另一种情况设不垂直于

x轴的直线L也将S分为面积比为

二乐边形DEGFSOGESOFD

1:

3的两部分，设直线L方程为ykx,它与AC,BC

13旦11丄

224k122k1

1即16k22k50

1

解得：

k-

2

（舍去）

故这时直线方程为

综上,所求直线方程为：

.12分

（n）解法

f（x）

2x22ax

f（x）在x（0,1）取得极大值且在x

（1,2）取得极小值，

f（0）

f

（1）

f⑵

2a

4a

x令M（x,y）,贝U

y

易得A（2,

0）,

2y

4y

B（2,

1）,

故点M所在平面区域S为如图△ABC,

3

C（2,2）,D（0,1）,E（0,3）

SABC2

同时ABC的中位线，SDEC

]s四边形ABED•••所求一条直线L的方程为：

x0

3

另一种情况由于直线

B0方程为:

y1x,设直线BO与AC交于H,

2

由y

2y

1

x

2

x2

得直线

1

L与AC交点为：

H（1,）

2

-SABC

2,

SDEC

Sabh

2

SABO

•••所求直线方程为

3、

（根的个数问题）

已知函数f（x）

ax3bx2（c

3a2b）xd

（a

0）的图象如图所示。

由图可知

函数f

（x）

3

2bc

依题意

f2=-3

得da

解：

由题知:

（i）求c、d的值;

（n）若函数f（x）的图象在点（2,f

（2））处的切线方程为

3xy110,求函数f

（出）

（x）的解析式;

3a

（川）若X。

5,方程f（x）8a有三个不同的根，求实数

f（x）3ax22bx+c-3a-2b

的图像过点（0,3），且f1=0

2b0c

a的取值范围。

12a

4b3a2b

3解得a=1,

8a4b6a4b35

所以f（x）=x3-6x2+9x+3

依题意

32

f（x）=ax+bx-（3a+2b）x+3（a>0）

2

fx=3ax+2bx-3a-2b由f5=0

b=-9a

若方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当

满足f（5）v8avf（1

由①

1

②得-25a+3v8av7a+3vav3

x

2

（2,1）

1

（X）

一

（X）

8aI

a

1

所以当丄vav3时，方程f（x）=8a有三个不同的根。

12分

11

4、（根的个数问题）已知函数f（x）-x3ax2x1（aR）

3

2，求a的值及f（x）的单调区间;

（1）若函数f（x）在xX1,XX2处取得极值，且X1X2

115

（2）若a，讨论曲线f（x）与g（x）x2（2a1）x（2x1）的交点个数.

解：

（1）f（x）X22ax1

x1x22a,x1x21

%x2x2）24%x2V4a242

a02分

22

f（x）X2ax1X1

令f（x）0得x1,或x1

令f（x）0得1x1

f