专题复习等腰边三角形与直角三角形.docx
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专题复习等腰边三角形与直角三角形
专题复习:
等腰(边)三角形与直角三角形
专题等腰(边)三角形与直角三角形
☞解读考点
☞2年中考
【2019年题组】
1.(2019来宾)下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是()
A.1
,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.1
【答案】D.
【解析】
试题分析:
A.1+2≠3,不能组成直角三角形,故错误;
2222+3≠4B.,不能组成直角三角形,故错误;222
C.4+5≠6,不能组成直角三角形,故错误;
D.1+=,能够组成直角三角形,故正确.
故选D.
考点:
勾股定理的逆定理.
2.(2019南宁)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为()222222
A.35°B.40°C.45°D.50°
【答案】A.
考点:
等腰三角形的性质.
3.(2019来宾)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,则∠BAE=()
A.80°B.60°C.50°D.40°
【答案】D.
【解析】
试题分析:
∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°﹣100°)÷2=40°,∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=40°,故选D.
考点:
1.线段垂直平分线的性质;2.等腰三角形的性质.
4.(2019内江)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC的度数为()
A.40°B.45°C.60°D.70°
【答案】A.
【解析】
试题分析:
∵AE∥BD,∴∠CBD=∠E=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBA=70°,∵AB=AC,∴∠C=∠CBA=70°,∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°.故选A.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.平行线的性质.
5.(2019荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为()
A.8或10B.8C.10D.6或12
【答案】C.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.三角形三边关系;3.分类讨论.
6.(2019广州)已知2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个
2
根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()
A.10B.14C.10或14D.8或10
【答案】B.
【解析】
2试题分析:
∵2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根,∴2-4m+3m=0,m=4,2
∴x-8x+12=0,解得x=2或x=6.
①当6是腰时,2是等边,此时周长=6+6+2=14;
②当6是底边时,2是腰,2+2<6,不能构成三角形.
所以它的周长是14.
故选B.
考点:
1.解一元二次方程-因式分解法;2.一元二次方程的解;3.三角形三边关系;4.等腰三角形的性质;5.分类讨论.
7.(2019丹东)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()
2
A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°
【答案】A.
考点:
等腰三角形的性质.
8.(2019龙岩)如图,
ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为()
A
B
C
D.1
【答案】D.
【解析】
1
试题分析:
∵△ABC为等边三角形,BP平分∠ABC,∴∠PBC=2∠ABC=30°,∵PC⊥BC,
∴∠PCB=90°,在Rt△PCB中,PC=BC•tan∠
=1,∴点P到边AB所在直线的距离为1,故选D.
考点:
1.角平分线的性质;2.等边三角形的性质;3.含30度角的直角三角形;4.勾股定理.
9.(2019乐山)如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为()
A
B
C
D
【答案】D.
考点:
1.锐角三角函数的定义;2.勾股定理;3.勾股定理的逆定理;4.网格型.
10.(2019资阳)如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()
A.13cm
【答案】A.
B
.cmC
cmD
.cm
考点:
1.平面展开-最短路径问题;2.最值问题.
11.(2019德阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,则∠B的度数是()
A.60°B.45°C.30°D.75°
【答案】C.
【解析】
试题分析:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,∴∠CED=∠A,CE=BE=AE,∴∠ECA=∠A,∠B=∠BCE,
1
∴△ACE是等边三角形,∴∠CED=60°,∴∠B=2∠CED=30°.故选C.
考点:
1.直角三角形斜边上的中线;2.轴对称的性质.
12.(2019眉山)如图,在Rt△ABC中,∠B=900,∠A=300,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD.若BD=l,则AC的长是(
)
A
.23B.2C.43D.4
【答案】A.
考点:
1.含30度角的直角三角形;2.线段垂直平分线的性质;3.勾股定理.
13
.(2019荆门)如图,在△ABC中,∠BAC=Rt∠,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为()
11
A.3B
1C
.2D.4
【答案】A.
【解析】
试题分析:
∵在△ABC中,∠BAC=Rt∠,AB=AC,∴∠ABC=∠C=45°,
AC,又
1
∵点D为边AC的中点,∴AD=DC=2AC,∵DE⊥BC于点E,∴∠CDE=∠C=45°,∴
DE1
AC,∴tan∠DBC=BE
==3.故选A.
考点:
1.解直角三角形;2.等腰直角三角形.
14.(2019襄阳)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为()
A
B.1C
D.2
【答案】B.
考点:
1.含30度角的直角三角形;2.角平分线的性质;3.线段垂直平分线的性质.
15.(2019北京市)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为()
A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km
【答案】D.
【解析】
1
试题分析:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB的中点,∴MC=2AB=AM=1.2km.故选D.
考点:
1.直角三角形斜边上的中线;2.应用题.
16.(2019天水)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,
AB=AD=,
,
3
点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为2,则点P的个数为()
A.2B.3C.4D.5
【答案】A.
考点:
1.等腰直角三角形;2.点到直线的距离.
17.(2019龙岩)如图,
的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为()
A
B
C
D.1
【答案】D.
考点:
1.角平分线的性质;2.等边三角形的性质;3.含30度角的直角三角形;4.勾股定理.
18.(2019龙东)△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是()
A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5
【答案】A.
【解析】
试题分析:
过A点作AF⊥BC于F,连结AP,∵△ABC中,AB=AC=5,BC=8,∴BF=4,
1111
∴△ABF中,
=3,∴2×8×3=2×5×PD+2×5×PE,12=2×5×(PD+PE),
PD+PE=4.8.故选A.
考点:
1.勾股定理;2.等腰三角形的性质;3.动点型.
19.(2019安顺)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为()
33232A.B.C.3D.6
【答案】A.
考点:
1.翻折变换(折叠问题);2.勾股定理.
20.(2019滨州)如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是()
A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
【答案】B.
【解析】
11
试题分析:
连接OC、OC′,如图,∵∠AOB=90°,C为AB中点,∴OC=2AB=2A′B′=OC′,∴当端点A沿直线AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为定长,∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.
故选B.
考点:
1.轨迹;2.直角三角形斜边上的中线.
21.(2019烟台)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…
按照此规律继续下去,则S2019的值为()
2019112019()2019()2019
A
.B
.C.2D.2
【答案】C.
考点:
1.等腰直角三角形;2.正方形的性质;3.规律型;4.综合题.22.(2019烟台)等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为()
A.9B.10C.9或10D.8或10【答案】B.【解析】
试题分析:
∵三角形是等腰三角形,∴①a=2,或b=2,②a=b两种情况:
①当a=2,或b=2时,∵a,b是关于x的一元二次方程x-6x+n-1=0的两根,∴x=2,把x=2代入x-6x+n-1=0得,4﹣6×2+n﹣1=0,解得:
n=9,当n=9,方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角形,故n=9不合题意;
2
②当a=b时,方程x-6x+n-1=0有两个相等的实数根,∴△=(-6)﹣4(n﹣1)=0,
2
2
2
解得:
n=10,故选B.
考点:
1.根的判别式;2.一元二次方程的解;3.等腰直角三角形;4.分类讨论.23.(2019崇左)下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有()
A.160B.161C.162D.163【答案】B.
考点:
1.规律型;2.综合题.24.(2019宿迁)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为.
【答案】5.
考点:
1.三角形中位线定理;2.直角三角形斜边上的中线.25.(2019常州)如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是.
【答案】(400,800).【解析】试题分析:
连接AC,由题意可得:
AB=300m,BC=400m,在△AOD和△ACB中,∵AD=AB,∠ODA=∠ABC,DO=BC,∴△AOD≌△ACB(SAS),∴∠CAB=∠OAD,∵B、O在一条直线上,∴C,A,D也在一条直线上,
∴AC=AO=500m,则CD=AC=AD=800m,∴C点坐标为:
(400,800).故答案为:
(400,800).
考点:
1.勾股定理的应用;2.坐标确定位置;3.全等三角形的应用.26.(2019南通)如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC=度.
【答案】52.
考点:
等腰三角形的性质.27.(2019苏州)如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为.
【答案】27.【解析】
试题分析:
∵点A、D关于点F对称,∴点F是AD的中点.∵CD⊥AB,FG∥CD,∴FG
1
是△ACD的中位线,AC=18,BC=12,∴CG=2AC=9.∵点E是AB的中点,∴GE是△1
ABC的中位线,∵CE=CB=12,∴GE=2BC=6,∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27.故
答案为:
27.
考点:
1.三角形中位线定理;2.等腰三角形的性质;3.轴对称的性质.28.(2019西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是.【答案】110°或70°.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.分类讨论.29.(2019南宁)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是.
【答案】45°.
【解析】
试题分析:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵等边三角形ADE,∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°.∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°,AB=AE,∠AEB=∠ABE=(180°﹣∠BAE)÷2=15°,∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°,故答案为:
45°.考点:
1.正方形的性质;2.等边三角形的性质.30.(2019攀枝花)如图,在边长为2的等边△ABC中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BE+DE的最小值为.
考点:
1.轴对称-最短路线问题;2.等边三角形的性质;3.最值问题;4.综合题.31.(2019昆明)如图,△ABC是等边三角形,高AD、BE相交于点H,
BC=BE上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则△ABH与△GEF重叠(阴影)部分的面积为.
.
考点:
1.等边三角形的判定与性质;2.三角形的重心;3.三角形中位线定理;4.综合题;5.压轴题.32.(2019淄博)如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度.
【答案】120,150.【解析】
试题分析:
∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°,在△ABD与△ACD中,∵AB=AC,∠ABD=∠ACD,BD=CD,∴△ABD≌△ACD(SAS),∴∠BAD=∠CAD=30°,∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°;180°﹣30°﹣30°=120°,故答案为:
120,150.
考点:
1.等腰直角三角形;2.等腰三角形的性质;3.等边三角形的性质;4.综合题.33.(2019黄冈)在△ABC中,AB=13cm,AC=20cm,BC边上的高为12cm,则△ABC的面积为__________cm.【答案】126或66.
2
考点:
1.勾股定理;2.分类讨论;3.综合题.34.(2019庆阳)在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕,则丝带的最短长度为cm.(结果保留π)
【答案】
【解析】
试题分析:
如图所示,∵无弹性的丝带从A至C,绕了1.5圈,∴展开后AB=1.5×2π=3πcm,
cm.故答案为
:
BC=3cm,由勾股定理得:
AC===
考点:
1.平面展开-最短路径问题;2.最值问题.
35.(2019朝阳)如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:
AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1
=1.41
=1.73).
【答案】2.9.
考点:
勾股定理的应用.36.(2019辽阳)如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,点E为AB的中点,AD=6,DE=5,则线段BD的长等于.
【答案】8.【解析】
试题分析:
∵BD⊥AC于D,点E为AB的中点,∴AB=2DE=2×5=10,∴在Rt△ABD中,
.故答案为:
8.
考点:
1.直角三角形斜边上的中线;2.勾股定理.37.(2019柳州)如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的长;
(2)在△ABC中,求BC边上高的长.
【答案】
(1)3;
(2)6.
考点:
1.勾股定理;2.三角形中位线定理.38.(2019柳州)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.
(1)从运动开始,当t取何值时,PQ∥CD?
(2)从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?
110
【答案】
(1)4;
(2)t=6或13.
考点:
1.平行四边形的判定与性质;2.勾股定理的逆定理;3.直角梯形;4.动点型;5.分类讨论;6.综合题.
【2019年题组】1.(2019²江苏省盐城市)若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】D.【解析】
试题分析:
因为等腰三角形的两个底角相等,又因为顶角是40°,所以其底角为
180︒-40︒
2=70°.故选D.
考点:
等腰三角形的性质.
2.(2019²桂林)下列命题中,是真命题的是()A.等腰三角形都相似B.等边三角形都相似C.锐角三角形都相似D.直角三角形都相似【答案】B.【解析】试题分析:
根据相似三角形的判定,只有等边三角形的内角都相等,为60°,从而都相似.故选B.
考点:
1.命题和定理;2.相似三角形的判定;3.等边三角形的性质.3.(2019湖南省湘西州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,AB=2,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD的长为()
1
A.4
【答案】C.
1
B.2
C.1D.2
考点:
等腰直角三角形.
4.(2019贵州安顺市)已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b
(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三角形的周长为()
A.7或8B.6或1OC.6或7D.7或10【答案】A.【解析】
试题分析:
∵|2a﹣3b+5|+(2a+3b﹣13)2=0,
⎧2a-3b+5=0⎨
2a+3b-13=0,∴⎩
⎧a=2⎨
b=3,解得⎩
当a为底时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为8;当b为底时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为7;
综上所述此等腰三角形的周长为7或8.故选A.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.非负数的性质:
偶次方;3.非负数的性质:
算术平方根;4.解二元一次方程组;5.三角形三边关系.
5.(2019张家界)如图,在Rt∆ABC中,∠ACB=60︒,DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点,若BD=2,则AC的长是()
A.4
BC.8
D.【答案】B.
考点:
1.线段垂直平分线的性质;2.含30度角的直角三角形;3.勾股定理.6.(2019吉林)如图,△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上.若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为()
A.【答案】D
B.2
C.
D.
考点:
1、等腰直角三角形;2、等腰三角形的判定与性质.
7.(2019吉林)如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为.
【答案】(﹣1,2)【解析】
试题分析:
∵直线y=2x+4与y轴交于B点,∴y=0时,2x+4=0,解得x=﹣2,∴B(0,4).
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,∴C在线段OB的垂直平分线上,∴C点纵坐标为2.
将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=﹣1.
故C′的坐标为(﹣1,2).
考点:
1、一次函数图象上点的坐标特征;2、等边三角形的性质.8.(2019毕节)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B′处,则BE的长为.
3
【答案】2.
考点:
1.折叠的性质;2.勾股定理;3.方程思想的应用
☞考点归纳
归纳1:
等腰三角形
基础知识归纳:
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论:
定理:
等腰三角形的两个底角相等(简称:
等边对等角)
推论1:
等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:
等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论:
定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:
等角对等边)。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
基本方法归纳:
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
b③等腰三角形的三边关系:
设腰长为a,底边长为b,则2
④等腰三角形的三角关系:
设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°—2∠B,
180︒-∠A
2∠B=∠C=
注意问题归纳:
等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题,并证明角相
等的问题。
【例1】已知等腰△ABC的两边长分别为2和3,则等腰△ABC的周长为()A.7B.8C.6或8D.7或8【答案】D.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.三角形三边关系.归纳2:
等边三角形基础知识归纳:
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质:
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.基本方法归纳:
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等;到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的
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- 专题 复习 等腰 三角形 直角三角形
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