相似三角形的判定同步练习.docx
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相似三角形的判定同步练习.docx
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相似三角形的判定同步练习
《相似三角形的判定》同步练习
一、基础
1.下列命题中,正确的个数是()
①所有的正三角形都相似②所有的直角三角形都相似③所有的等腰三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似
A.1B.2C.3D.4
2.如图27-2-1-1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,则图中相似三角形有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
图27-2-1-1图27-2-1-2图27-2-1-3
3.一个三角形的三边长分别为8cm,6cm,12cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3cm,则其余两边长为______________.
二、强化(10分钟训练)
1.如图27-2-1-2,已知△ADE∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是()
A.
B.
C.
D.
2.如图27-2-1-3,锐角△ABC的高BD,CE交于O点,则图中与△BOE相似的三角形的个数是()A.1B.2C.3D.4
3.如图27-2-1-4,过梯形ABCD对角线AC,BD的交点O作EF∥AD,分别交两腰AB,DC于E,F两点,则图中的相似三角形共有()
A.7对B.6对C.5对D.4对
图27-2-1-4图27-2-1-5
4.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是()
A.∠A=∠C′B.∠A=∠A′C.
D.
5.如图27-2-1-5所示,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m,长臂端点升高
()
mB.6.6mC.8mD.10.5m
6.如图27-2-1-6,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E,连结BD.
(1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形;
(2)请选择其中的一对相似三角形加以证明.
图27-2-1-6
三、巩固(30分钟训练)
1.下列说法正确的个数是()
①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似
A.1B.2C.3D.4
2.如图27-2-1-7,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为_______________.
3.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
4.如图27-2-1-8,正方形ABCD内接于等腰三角形PQR,则PA∶PQ等于()
A.1∶
B.1∶2C.1∶3D.2∶3
图27-2-1-7图27-2-1-8图27-2-1-9
5.如图27-2-1-9,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7m宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7m,窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高度为BC=______.
6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图27-2-1-10所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内.
请问图中
(1)共有多少个三角形?
把它们一一写出来.
(2)有相似(不包括全等)三角形吗?
若有,请把它们一一写出来.
图27-2-1-10
7.如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=
BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE于点P,Q,R.
(1)求BF的长;
(2)求BR的长;(3)求BQ的长;(4)求PQ的长.
图27-2-1-11
8.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.
图27-2-1-12
9.比例规是一种画图工具,如图27-2-1-13,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段l的两个端点上,这时CD=
AB,为什么?
图27-2-1-13
10.小明正在攀登一个如图27-2-1-14所示的攀登架,DE和BC是两根互相平行的固定架,DE=10m,BC=18m,小明从底部固定点B开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
图27-2-1-14
11.如图27-2-1-15,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60cm,CD=40cm,BD=140cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?
请说明理由.
图27-2-1-15
参考答案
一、课前预习(5分钟训练)
1.下列命题中,正确的个数是()
①所有的正三角形都相似②所有的直角三角形都相似③所有的等腰三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似
A.1B.2C.3D.4
解析:
两个直角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定成比例,等腰三角形的对应角不一定相等,所以②③不正确,①符合AA,④符合SAS.
答案:
B
2.如图27-2-1-1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,则图中相似三角形有()
图27-2-1-1
A.1对B.2对C.3对D.4对
解析:
根据AA判定法有三对相似.
答案:
C
3.一个三角形的三边长分别为8cm,6cm,12cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3cm,则其余两边长为______________.
解析:
可求得两个三角形对应边的相似比为2,所以另外两边为4,6.
答案:
4cm,6cm
二、课中强化(10分钟训练)
1.如图27-2-1-2,已知△ADE∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是()
图27-2-1-2
A.
B.
C.
D.
解析:
找准对应边是关键.
答案:
A
2.如图27-2-1-3,锐角△ABC的高BD,CE交于O点,则图中与△BOE相似的三角形的个数是()
图27-2-1-3
A.1B.2C.3D.4
解析:
△ADB∽△AEC∽△OEB∽△ODC.
答案:
C
3.如图27-2-1-4,过梯形ABCD对角线AC,BD的交点O作EF∥AD,分别交两腰AB,DC于E,F两点,则图中的相似三角形共有()
图27-2-1-4
A.7对B.6对C.5对D.4对
解析:
△ADB∽△EOB,△ABC∽△AEO,△ADC∽△OFC,△DBC∽△DOF,△AOD∽△CDB.
答案:
C
4.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是()
A.∠A=∠C′B.∠A=∠A′C.
D.
解析:
画出草图帮助分析,得D不满足SAS判定法.
答案:
D
5.如图27-2-1-5所示,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m,长臂端点升高
()
mB.6.6mC.8mD.10.5m
图27-2-1-5
解析:
作出如右示意图,由△AOB∽△EOD可求得答案.
答案:
C
6.如图27-2-1-6,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E,连结BD.
图27-2-1-6
(1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形;
(2)请选择其中的一对相似三角形加以证明.
分析:
利用同圆或等圆中同弧上所对的圆周角相等,找出等角得相似三角形,
如△ADB∽△ACE等.
解:
(1)△ADB∽△ACE∽△BDE.
(2)证:
△ADB∽△ACE.
∵∠DAB=∠DAC,
又∵∠D=∠C,∴△ADB∽△ACE.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.下列说法正确的个数是()
①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似
A.1B.2C.3D.4
解析:
一个等腰三角形的一个底角等于另一个等腰三角形的顶角.则这两个等腰三角形不相似,所以①错;所有等腰三角形的三个角不一定对应相等,所以③错,②④正确.
答案:
B
2.如图27-2-1-7,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为_______________.
图27-2-1-7
解析:
由△ABC∽△ACD,得AC2=AD·AB.
答案:
cm
3.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
解析:
如右图所示,有三条直线可满足要求.
答案:
C
4.如图27-2-1-8,正方形ABCD内接于等腰三角形PQR,则PA∶PQ等于()
A.1∶
B.1∶2C.1∶3D.2∶3
解:
∵△PAD∽△PQR,
∴
.
又∵QR=QB+BC+CR=3AD,
∴C正确.
答案:
C
5.如图27-2-1-9,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7m宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7m,窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高度为BC=______.
图27-2-1-9
解:
∵△BCD∽△ACE,
∴
.
又∵AC=1.8+BC,
∴BC=4.答案:
4m
6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图27-2-1-10所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内.
图27-2-1-10
请问图中
(1)共有多少个三角形?
把它们一一写出来.
(2)有相似(不包括全等)三角形吗?
若有,请把它们一一写出来.
解析:
(1)按边过滤找,不要重查或漏查;
(2)根据相似三角形的条件:
两角对应相等来找.
答案:
(1)7个,△ABD,△ABE,△ABC,△ADC,△ADE,△AEC,△AFG;
(2)有,△ADE∽△CDA,△BAE∽△ADE,△ABE∽△DCA.
7.如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=
BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE于点P,Q,R.
图27-2-1-11
(1)求BF的长;
(2)求BR的长;(3)求BQ的长;(4)求PQ的长.
解:
(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG,BC=1,AB=
∴BC=CE=EG=1,EF=FG=AB=
.
∴BG=3.
∴
∴
.
∵∠G=∠G,∴△BFG∽△FEG.
∴
.
∴
.∴BF=3.
(2)∵△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,
∴∠ACB=∠DEB=∠FGB=∠DCE=∠FEG.
∴AC∥DE∥FG,DC∥EF.
又∵BG=BF,∴BR=BE=2.
(3)∵DC∥EF,BC=CE,
∴BQ=
BF=1.5.
(4)∵AC∥DE,
∴BP=BC=1.
∴PQ=BQ-BP=0.5.
8.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.
图27-2-1-12
解析:
将原三角形的边长扩大
倍.
答案:
如图所示.
9.比例规是一种画图工具,如图27-2-1-13,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段l的两个端点上,这时CD=
AB,为什么?
图27-2-1-13
解:
已知BC与AD交于点O,OA=3OD,OB=3OC.求证:
CO=
AB.
证明:
∵OA=3OD,OB=3OC,
∴
.∴
.
又∵∠COD=∠BOA,
∴△COD∽△BOA.
∴
.
∴CD=
AB.
10.小明正在攀登一个如图27-2-1-14所示的攀登架,DE和BC是两根互相平行的固定架,DE=10m,BC=18m,小明从底部固定点B开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
图27-2-1-14
解:
∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE.
∴
.∴AD=10.
11.如图27-2-1-15,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60cm,CD=40cm,BD=140cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?
请说明理由.
图27-2-1-15
解:
当△ABP∽△PDC时,
得PB=120或PB=20;当△ABP∽△CDP时,
BP=85.
答:
当BP分别为120cm,20cm,85cm时,图中三角形相似.
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