基本不等式知识梳理.docx
- 文档编号:10085286
- 上传时间:2023-02-08
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:69.06KB
基本不等式知识梳理.docx
《基本不等式知识梳理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《基本不等式知识梳理.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
基本不等式知识梳理
基本不
式知识梳理(总9页)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1
■CAL■本页仅作为文档封面’使用请直接删除
基本不等式
【考纲要求】
1•了解基本不等式—的证明过程,理解基本不等式的儿何意义,并掌握定理中
2
的不等号“事”取等号的条件是:
当且仅当这两个数相等;
2.会用基本不等式x/^<—解决最大(小)值问题.
2
3.会应用基本不等式求某些函数的最值:
能够解决一些简单的实际问题
【知识网络】
基本不等式
【考点梳理】
考点一:
重要不等式及几何意义
1.重要不等式:
如果«,/7eR,那么a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取等号.
2.基本不等式:
如果Gb是正数,那么—(当且仅当a=b时取等号.
2
要点诠释:
a2+b2>2ab和口n他两者的异同:
2
(1)成立的条件是不同的:
前者只要求都是实数,而后者要求""都是正数:
(2)取等号的条件在形式上是相同的,都是'‘当且仅当a=h时取等号”。
2.2匕匕
(3)a2+b2>2ab可以变形为:
ab ab<(^^)2・ 222 3.如图,A3是圆的直径,点C是4B上的一点,AC=afBC=h,过点C作DC丄A3交圆于点 D连接ADBD 易证RlWCD〜Rt4CB、那么CD2=CA・CB,即CD=J^・ 这个圆的半径为匚V,它大于或等于CD,即—其中当且仅当点C与圆心重合,即22 a=b时,等号成立. 要点诠释: 1•在数学中.我们称凹■为么"的算术平均数,称亦为“小的几何平均数.因此基本2 不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把凹看作是正数a"的等差中项,亦看作是正数“,b的等比中项,那么基本 2 不等式可以叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二: 基本不等式的证明 2 1.几何面积法 如图,在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为“、b,那么正方形的边长为J/+F°这样,4个直角三角形的而积的和是lab,正方形ABCD的而积为a2+b\由于4个直角三角形的面积小于正方形的而积,所以: a2+b2>2abo当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a2+b2=2abo 得到结论: 如果",bwR+,那么a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取等号“=”) 特别的,如果a>0,b>Of我们用血、丽分别代替"、b,可得: 如果a>0,方>0,则"+〃二2亦,(当且仅当a=b时取等号"=")• 通常我们把上式写作: 如果。 >0,—,(当且仅当a=b时取等号“=”) 2 2•代数法 Ia2+b2-2ab=(a-b)2>0, 当“HbH寸,(“一b)2>0; 当a=b时,(a—b)2=0. 所以(a2+b2)>2abf(当且仅当a=b时取等号“=”)・特别的,如果6/>0,方>0,我们用奶、亦分别代替“、b,可得: 如果a>0.方>0,则a+b>2^,(当且仅当a=b时取等号“=")・ 通常我们把上式写作: 如果a>0,/7>0,V^<—,(当且仅当a=b时取等号“/)・2 要点三、用基本不等式4^b<—求最大(小)值 2 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件: 一正二定三取等、, 1一正: 函数的解析式中,各项均为正数; 2二定;函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; 3三取等: 函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。 要点四、几个常见的不等式 1)a2+b2>2ab当且仅当gb时取“=”号。 2)—(sbe/r),当且仅当gb时取号。 2 3)-+->2@・b>0);特别地: a+->2(«>0); baa 4) >\[cib> lab a+b 5) 【典型例题】 类型一: 基本不尊式4^b<—的理解 2 例1.«>0,b沁给出下列推导,其中正确的有(填序号). (1)a+b+ 的最小值为2血; (2)(a+b)(-+-)的最小值为4; ab (3)«+—! —的最小值为一2・ a+4 【解析】⑴: (2) 时取等号). (1)Td〉。 ,/? >0>Aa+b+—^=>2y[ab+—^=>2yf2(当且仅当a=b= \JabJab (2)•••g>0,b>0,・・・@+b)(丄+丄)22何•丄=4(当且仅当a=b时取等号).aby/ab (3)a>0^Aa+—! —=a+4+—! —-4>2(a+4)-—! —-4=-2, a+4a+4\a+4 (当且仅当a+4=—! —即“+4=h“=—3时取等号) a+4 V«>0,与“3矛盾,•••上式不能取等号,即g+丄>_2 a+4 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条件: 一正二泄三取等,缺一不可.举一反三: 【变式1】给出下面四个推导过程: 1Tab已疋,・・・¥+? 二2^|^=2; 2*/x,ye/? ",Algx+lgy>2jlgx・lgy; 4 3TawR,aH0,—+a> ④Tx,ye/? 其中正确的推导为( A.①②B.②③ ^<0,•••—+==—[(——)+(—丄)]<-2(—)(--)=-2• yxyxyyx ) C・③④D・①④ 【解析】①・・・山1心疋,••上丄丘疋,符合基本不等式的条件,故①推导正确. ab ②虽然x9yeR\但当xe(0,1)或yu(O.l)时,Igx,lgy是负数,.••②的推导是错误的. ③llUeR、不符合基本不等式的条件, =4是错误的. 4由xyvO,得二上均为负数,但在推导过程中,将整体-提出负号后, xyyx (--)+(--)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确•选D.y% 【变式2】下列命题正确的是() A.函数y=x+-的最小值为2. B•函"話的最小值为2 C•函数y=2-3x--(x>0)最大值为2-4忑D•函数y=2-3x--(x>0)的最小值xx 为2 【答案】c 【解析】A选项中,•••XHO,・・・当x>0,时由基本不等式x+i>2; x 当x<0时x+丄<-2..\选项A错误. x B选项中,•・・〉,=斗二=工+2+1=77石+-4=的最小值为2 (当且仅当>/? 72=1时,成立) 但是V? Z2>2,/.这是不可能的.・•・选项B错误. C选项中,Vx>0,Ay=2-3x--=2-(3x+-)<2-4x/3,故选项C正确。 XX 类型二: 利用基本不等式廡5畔求最值 2 a(a-b)= 当且仅当 ah=—ab ] a(a-b) 即―屁¥时取等号. 例2.设“>方>0, 则tr+——+ aba(a-h) 的最小值是 A.1 B・2C. 3D.4 【解析】 ,11 -1-亠 ——/jA4-/lh亠14-. 1 aba(a-b) CfLit/Ilie/ii■ ab a(a-b) —z/fz/—h\+' +(///? +1\ a(a-b) 1\LIL71J ab >4 【答案】D 举一反三: 9 【变式1】若x x •(--)=2^=12 x 【解析】因为x -/«=-(4x+-)=(-4x)+(--)> XX 93 (当且仅当一4兀=一一即兀=一二时,取等号) x2 30 故当只=-二时J(x)=4x+匕取得最大值—12. 2x 【变式2】已知x<0,求/(x)=20+4x+—的最大值. x 【解析】Tx<0,—x>0, 4IJ-4 A(-x)+—>2J(-x)•——=2x2=4(当且仅当一x=—>即x=-2时,等号成立) -xV-x-x 44 A/(x)=20-4[(-.r)+—]<20-4x4=4(当且仅当一x=——,即x=-2时,等号成 -x-x 立) 故当%=-2时,/(x)的最大值为4. 14 例3•已知a>0,b>0,a+b=2,则y=-+—的最小值是 ab 79 A・一B•4C.—D・5 22 【解析】 答案选c 举一反三: 【变式1】若x>0”>0,且? +§=1,求;Q,的最小值. xy 【解析】・.・x>O,y>O, 28[2 ~8 Al=-+->2-xyVx —= 2Q1 (当且仅当一=—=—即x=4,y=16时,等号成立) xy2 /.>64(当且仅当x=4,>-=16时,等号成立) 故当X=4,y=16时,小的最小值为64. 1O 【变式2】lL知x>0,y>0,且一+—=1,求x+y的最小值。 =10+丄+兰 兀y 【解析】・・・丄+? =1, 19 /.x+y=(x+y)-―+―y) =6 Vx>0,y>0,: .-+—>2 xy (当且仅当-=—,即y=3x时,取等号) 又一—=1»/.x=4,y=12 xy : •当x=4,y=12时,x+y取最小值16。 类型三: 基本不等式应用 1125 例4.设工y=求证: (x+-)(y+—)>— xy4 【证明】<=x+-\ 1 y+一V ,夕725(、八 <=对y■+2+y■一丁勺‘+1X025 =疋于+(1_2与)_亍与+1»0 33 u/2一二2no '4' <=(xy-8)^xy-l>0u.・xy<=.心一8)(勺'一寸卜° 成立 举一反三: 【变式1】已知。 >3,求证: 二i—+a》7 a-3 【解析】上一+。 =丄+(0-3)+322』上-・(“-3)+3=2>/7+3=7“一3。 一3Ya-3 4 (当且仅当——=。 一3即a=5,等号成立)・ 。 一3 【例5】(2015春东城区期末)已知a>0,〃>0,c>0,且d+b+c=l・ ⑵求证: 【解析】⑴由题意可得a=b=c=^带入计•算可得=8 (2)山题意和基本不等式可得“+/? >2y/ab>0,a+c>2y/ac>0,h+c>2>/bc>0 a+h+c=\ 八0)\c)\aAb八c b+ca+ca+b2\[bc2y/ac2\[ab =>=8 abcabc 举一反三: 【变式】(2015石家庄一模)已知函数/(龙)=Jx+l|+|x_3|_〃? 的定义域为R. ⑴求实数m的取值范围. ⑵若m的最大值为m当正数a、b满足」一+—=n时,求7a+4b的最小值. 3a+ba+2b 【解析】 (1)因为函数的定义域为R, 卜+1|+卜_3|-加二0恒成立 设函数g(x)=|x+l卜卜一3|则m不大于g(x)的最小值 l-(x-3)|=4即g(x)的最小值为4,/.m<4 21 ⑵由⑴知n=4・・・一^+=4 3a+bci+2b 1z、(2 : .la+4〃=才(6a+2Z? +"+… 2(3“+2/%2(“+2〃)]、1匕22 一厂J v|x+l|+|x-3|>x+ 1 3a+2ba+2b 3a+2ba+2b =-5+ 当且仅当a+2b=3°+b时,即h=勿时取等号. /.la+4b的最小值为- 4 类型四: 基本不等式在实际问题中的应用 例6.某农场有废弃的猪圈,留有一而旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈,平而图为矩 +—: a+21j3a+h丿 a+2b3a+b) 形,面积为112m2,预计 (1)修复1加旧墙的费用是建造1加新墙费用的25%, (2)拆去加旧墙用以 改造建成1川新墙的费用是建1加新墙的50%,(3)为安装圈门,要在围墙的适当处留出1加的空缺。 试问: 这里建造猪圈的帀墙应怎样利用旧墙.才能使所需的总费用最小 【解析】显然,使旧墙全部得到利用,并把圈门留在新墙处为好。 设修复成新墙的旧墙为劝7,则拆改成新墙的旧墙为(12-X)加, 112224 于是还需要建造新墙的长为2—+Gv-l)-(12-x)=2x+—-13. XX 设建造1〃? 新墙需用“元,建造圉墙的总造价为y元, 则y=・25%+(12—x)g・50%+(2x+——一13)° x =«(—+—-7)>乂28逅一7) 4x (当且仅当—=—即x=8血时,等号成立) 4x 故拆除改造旧墙约为12-8a/2米时,总造价最小. 举一反三: 【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元.并规定不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次•某班有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少学生,每次的包车费为40元•要使每个学生游8次,每人最少交多少钱 【解析】设购买x张游泳卡,活动开支为y元, 则),=兰空・40+240宀3840・(当且仅当x=8时取“=”) x 此时每人最少交80元.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 基本 不等式 知识 梳理