高中数学三角函数图像和性质.docx
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高中数学三角函数图像和性质
高中数学
三角函数的图象和性质
知识点
一.正弦函数:
1.正弦函数的图象:
2.
定义域为
;值域为•
(1)
当且仅当
时,取得最大值1;
⑵
当且仅当
时,取得最小值1
3.单调性:
在闭区间上都是增函数,其值从1增大到1;
在闭区间上都是减函数,其值从1减小到1.
4.奇偶性:
.
5.周期性:
最小正周期是,周期是
6.对称性:
对称轴是,对称中心是.
二.余弦函数:
1.余弦函数的图象:
2.定义域为
值域为
(1)当且仅当
时,取得最大值1;
(2)当且仅当
时,取得最小值1.
3.单调性:
在闭区间
上都是增函数,其值从
1增加到1;
在闭区间
上都是减函数,其值从
1减小到1.
4.奇偶性:
5.周期性:
最小正周期是
,周期是
三.正切函数:
1正切函数的图象
1y
丿
丿
3
2
广
/
°7
r
rK,
(1)将正切函数ytanx在区间(亍'上的图象向左、右扩展,就可以得到正切函ytanx,(xR,x-k,kZ)的图象,我们把它叫做正切曲线.正切曲线是由被互相平行的直线x
(kZ)所隔开的无数多支曲线组成的.这些平行直线x=(kZ)叫做正切曲线各支的
⑵结合正切曲线的特征,类比正弦、余弦函数的“五点法”作图,也可用三点两线作图法作出正切函数
ytanx在一个单调区间(一,)上的简图.其中,三点为(一,1)、0,0、(一,1),两线为x=、x=
224422
图时,注意图象不能与直线相交.
2.定义域为;值域为.
3.单调性:
在区间内,函数单调递增.
4.奇偶性:
由诱导公式tan(x)tanx,可得正切函数具备.
5.周期性:
最小正周期是;周期是
6.对称性:
对称轴是,对称中心是.
题型一正弦,余弦函数的图象和性质
【例1】求函数y=g+sinx的定义域
【例2】函数y=cosx+1的对称中心是
函数y=2sin(4x+^)的对称轴方程为
3
【过关练习】
1•求函数y3sinx2的值域以及取得最值时x的值
2.判断函数y=xsin(x)的奇偶性
3.求函数y1sinx的单调区间
课后练习
【补救练习】
【巩固练习】
1.求函数y12sinx的值域
2.判断函数y=xcosx的奇偶性
【拔高练习】
1.函数y2cos(2x-)1的对称轴是,对称中心为
题型二正切函数的图象和性质
【例1】函数y=tanx(—-x-且x0)的值域是()
A.[—1,1]
B.[1,0)U0,1
C.(—,1]
D.[1,)
【例2】不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小:
tan167与tan173。
【过关练习】
1.用正切函数图象解不等式tanx3
2.求函数ytan3x-的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性、对称中心
课后练习
【补救练习】
1.函数y=tarx在印P?
u?
P3p吐的值域是
r4,_2fI2,4?
【巩固练习】
2.比较tan1,tan2,tan3的大小
【拔高练习】
1•在0,2内,使tanx1成立的x的取值范围为
2.求函数ytanx的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性、对称中心
4
函数y=Asin(wx+j)+k的图象与性质
知识点
正弦函数、余弦函数的图象:
厂
.--
Jrr
+1
X1
-2-
2-
K
_S|1
ZTl
1
-2ri
*2a
/m
二.三角函数的图象变换:
【途径一】先平移变换再周期变换(伸缩变换)
倍w0,即可得到ysinwx的图象.
【途径—】先周期变换(伸缩变换)再平移变换
位,即可得到ysinwx的图象•
三.函数y二Asin(wx+j)+k的图象与性质:
函数yAsinwx
BA0,w0
最大值是
最小值是
周期是
频率是
,相位是
初相是
;其图象的对
称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心
题型一用五点法画三角函数的图象
【例1】用“五点法”画出函数y=1sinx在[0,2]上的简图
上的简图
【例2】用“五点法”画出函数y2sin2x1在
3
【过关练习】
1.用“五点法”画出函数y=sin2x在[0,2p]上的简图
课后练习
【补救练习】
1.用“五点法”画出函数
1
y=-cosx1在[0,2]上的简图
2
【巩固练习】
1.用“五点法”画出函数
y=cos?
2x+:
多在[0,2p]上的简图
【拔高练习】
1.用“五点法”画出函数
y2cos2x—
6
13
1在12’12
上的简图
题型二函数y二Asin(wx+j)+k的图象与性质
【例1】将函数f(x)sinx图象上所有的点向右移动
§个单位长度,
再将所得各点的横坐标缩短到原来的
2倍
(纵坐标不变)
,所得图象的函数解析式为(
).
A.ysin』x
2
3)
B
.ysin(-x
2
C.ysin(2x
3)
D
.ysin(2x
6)
)•
【例2】为了得到函数ysin2x-的图象,只需把函数ysin2x的图象(
2.已知函数yAsin(x),在冋一周期内,
当x-
9
时函数取得最大值2,当x时函数取得最小值2
则该函数的解析式为().
A.y2sin(3x)
6
B
.y2sin(3x
x
c.y2sin(3§)
D
x
.y2sin(-
3
6)
2
3.已知函数f(x)sin(2x);
3
(1)求函数的周期;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)求函数的对称轴;
(4)求函数的对称中心;
⑸求函数在亍,n上的最值.
课后练习
【补救练习】
1.将函数ysinx的图象向右平移2个单位长度,
再向上平移1个单位长度,
所得的图象对应的函数解析式
A.y1sinx
C.y1cosx
B.y
D.y
1sinx
1cosx
【巩固练习】
x
1.为了得到函数y2sin--
36
xR的图象,只需把函数
x
y2sin-,xR的图象(
3
).
A向左平移訂单位长度
B.向右平移-个单位长度
C.向左平移-个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.函数yAsinwx
xR,A0,w0,
2
-的部分图象如图所示,求函数fx的解析式.
【拔高练习】
1.已知函数f(x)Asin(x)k(A>0,>0,|<-),在同一个周期内的最高点是(2,2),最低点为(8,4)
求f(x)的解析式.
1
2.已知函数fx2sin—x-23
(1)求函数的周期;
(2)求函数的单调减区间;
(3)求函数的对称轴;
(4)求函数的对称中心;
(5)求函数在-^,―上的最大值和最小值
1
2.求函数y1+2cosx的单调区间
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