轴对称图形习题与详细解答.docx
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轴对称图形习题与详细解答
2016年08月23日的初中数学组卷
一.解答题(共30小题)
1.(2016•宁夏)在等边△ABC中,点D,E分别在边BC、AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.
2.(2016•江西)
(1)解方程组:
.
(2)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE.求证:
DE∥BC.
3.(2016•十堰)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.
(1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.
4.(2016•海淀区校级模拟)如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠1=∠2,EF∥BC交AC于点F.试说明AE=CF.
5.(2016•漳州模拟)数学课上,老师要求学生证明命题:
“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”,以下是小华解答的部分内容(缺少图形和证明过程).请你把缺少内容补充完整.
已知:
点P在∠AOB的角平分线OC上,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,求证:
PD=PE.
6.(2016•历下区一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90゜,BE平分∠ABC,交AC于E,DE垂直平分AB于D,
求证:
BE+DE=AC.
7.(2016•萧山区二模)已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=CF,求证:
AD是BC的中垂线.
8.(2016•怀柔区一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证:
∠CAB=∠AED.
9.(2016•长春二模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC的度数.
10.(2016•东城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠BAC=40°,请你选择图中现有的一个角并求出它的度数(要求:
不添加新的线段,所有给出的条件至少使用一次).
11.(2016•怀柔区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC点的中线,E是AC的中点,连接AC,DF⊥AB于F.求证:
∠BDF=∠ADE.
12.(2016•西城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=
.
求证:
AB平分∠EAD.
13.(2016•门头沟区一模)如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,延长BC到E,使得CE=CD.
求证:
BD=DE.
14.(2016•吉林校级二模)如图,等边三角形ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,点F在BC延长线上,且CF=
,求四边形DEFB的面积.
15.(2016•门头沟区二模)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AE为BC边上的中线.求证:
△ABE是等边三角形.
16.(2016•泗水县一模)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处.
(1)求证:
B′E=BF;
(2)若AE=3,AB=4,求BF的长.
17.(2016•北京一模)如图1,四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.请探究“筝形”的性质和判定方法.小聪根据学习四边形的经验,对“筝形”的判定和性质进行了探究.
下面是小聪的探究过程,请补充完整:
(1)如图2,连接筝形ABCD的对角线AC,BD交于点O,通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等,请写出筝形的其他性质(一条即可):
,这条性质可用符号表示为:
;
(2)从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究,写出筝形的一个判定方法(定义除外),并证明你的结论.
18.(2016•拱墅区二模)如图,已知等腰直角△ABC,∠A=90°.
(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若将
(1)中的△ABD沿BD折叠,则点A正好落在BC边上的A1处,当AB=1时,求△A1DC的面积.
19.(2016春•吉州区期末)如图,在△ABC中,DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15cm,求AB的长;
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
20.(2016春•金堂县期末)如图,已知:
AB∥CD,∠BAE=∠DCF,AC,EF相交于点M,有AM=CM.
(1)求证:
AE∥CF;
(2)若AM平分∠FAE,求证:
FE垂直平分AC.
21.(2016春•滕州市期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点E,且AC=15cm,△BCE的周长等于25cm.
(1)求BC的长;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC.求证:
BC=BE.
22.(2016春•淅川县期末)如图,已知:
在△ABC中,∠C=∠ABC,BE⊥AC,△BDE是正三角形.求∠C的度数.
23.(2016春•罗湖区期末)上午8时,一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行,12时到达B处.测得∠NAC=32°,∠ABC=116°.求从B处到灯塔C的距离?
24.(2016春•埇桥区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,若∠A=40°.
(1)求∠NMB的度数;
(2)如果将
(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,再求∠NMB的度数;
(3)你发现∠A与∠NMB有什么关系,试证明之.
25.(2016春•高平市期末)已知a、b满足方程组
(1)求a,b的值;
(2)若a、b是一个等腰三角形的两边长,求这个等腰三角形的周长.
26.(2016春•张家港市期末)若关于x、y的二元一次方程组
的解都为正数.
(1)求a的取值范围;
(2)化简|a+1|﹣|a﹣1|;
(3)若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长,且这个等腰三角形的周长为9,求a的值.
27.(2016春•吉林期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,E是边AB的中点,连接DE,若AD=12,BC=10,求DE的长.
28.(2016春•安岳县期末)等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分,求等腰三角形的底边和腰长.
29.(2016春•西藏校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F.
(1)求证:
点O在AB的垂直平分线上;
(2)若∠CAD=20°,求∠BOF的度数.
30.(2016春•鄄城县期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.
求证:
△BDE是等腰三角形.
2016年08月23日的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2016•宁夏)在等边△ABC中,点D,E分别在边BC、AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.
【分析】先证明△DEC是等边三角形,再在RT△DEC中求出EF即可解决问题.
【解答】解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,
∴△EDC是等边三角形,
∴DE=DC=2,
在RT△DEC中,∵∠DEC=90°,DE=2,
∴DF=2DE=4,
∴EF=
=
=2
.
【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半,勾股定理等知识,解题的关键是利用特殊三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.(2016•江西)
(1)解方程组:
.
(2)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE.求证:
DE∥BC.
【分析】
(1)根据方程组的解法解答即可;
(2)由翻折可知∠AED=∠CED=90°,再利用平行线的判定证明即可.
【解答】解:
(1)
,
①﹣②得:
y=1,
把y=1代入①可得:
x=3,
所以方程组的解为
;
(2)∵将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE.
∴∠AED=∠CED=90°,
∴∠AED=∠ACB=90°,
∴DE∥BC.
【点评】本题考查的是图形的翻折变换,涉及到平行线的判定,熟知折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键.
3.(2016•十堰)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.
(1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.
【分析】
(1)由四边形ABCD是矩形,根据折叠的性质,易证得△EFG是等腰三角形,即可得GF=EC,又由GF∥EC,即可得四边形CEGF为平行四边形,根据邻边相等的平行四边形是菱形,即可得四边形BGEF为菱形;
(2)如图1,当G与A重合时,CE取最大值,由折叠的性质得CD=DG,∠CDE=∠GDE=45°,推出四边形CEGD是矩形,根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3;如图2,当F与D重合时,CE取最小值,由折叠的性质得AE=CE,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠GFE=∠FEC,
∵图形翻折后点G与点C重合,EF为折线,
∴∠GEF=∠FEC,
∴∠GFE=∠FEG,
∴GF=GE,
∵图形翻折后BC与GE完全重合,
∴BE=EC,
∴GF=EC,
∴四边形CEGF为平行四边形,
∴四边形CEGF为菱形;
(2)由
(1)得四边形CEGD是菱形,
∴CE=CD=AB=3;
如图2,当G与A重合时,CE取最大值,
由折叠的性质得AE=CE,
∵∠B=90°,
∴AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9﹣CE)2,
∴CE=5,
∴线段CE的取值范围3≤CE≤5.
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题,菱形的判定,线段的最值问题,矩形的性质,勾股定理,正确的作出图形是解题的关键.
4.(2016•海淀区校级模拟)如图,已知∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠1=∠2,EF∥BC交AC于点F.试说明AE=CF.
【分析】作EH⊥AB于H,作FG⊥BC于G,根据角平分线的性质可得EH=ED,再证ED=FG,则EH=FG,通过证明△AEH≌△CFG即可.
【解答】解:
作EH⊥AB于H,作FG⊥BC于G,
∵∠1=∠2,AD⊥BC,
∴EH=ED(角平分线的性质)
∵EF∥BC,AD⊥BC,FG⊥BC,
∴四边形EFGD是矩形,
∴ED=FG,
∴EH=FG,
∵∠BAD+∠CAD=90°,∠C+∠CAD=90°,
∴∠BAD=∠C,
又∵∠AHE=∠FGC=90°,
∴△AEH≌△CFG(AAS)
∴AE=CF.
【点评】本题考查了角平分线的性质;综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点.
5.(2016•漳州模拟)数学课上,老师要求学生证明命题:
“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”,以下是小华解答的部分内容(缺少图形和证明过程).请你把缺少内容补充完整.
已知:
点P在∠AOB的角平分线OC上,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,求证:
PD=PE.
【分析】结合已知条件,根据全等三角形的判定定理,推出△POD≌△POE即可.
【解答】证明:
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠POD=∠POE,
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
在△POD与△POE中,
,
∴△POD≌△POE,
∴PD=PE.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质,解题的关键在于找到对应角相等、公共边.
6.(2016•历下区一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90゜,BE平分∠ABC,交AC于E,DE垂直平分AB于D,
求证:
BE+DE=AC.
【分析】根据角平分线性质得出CE=DE,根据线段垂直平分线性质得出AE=BE,代入AC=AE+CE求出即可.
【解答】证明:
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∵ED⊥AB,BE平分∠ABC,
∴CE=DE,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∵AC=AE+CE,
∴BE+DE=AC.
【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用,注意:
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
7.(2016•萧山区二模)已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=CF,求证:
AD是BC的中垂线.
【分析】由AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,根据角平分线的性质,可得DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,继而证得Rt△BED≌Rt△CFD,则可得∠B=∠C,证得AB=AC,然后由三线合一,证得AD是BC的中垂线.
【解答】证明:
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BED和Rt△CFD中,
,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴AD是BC的中垂线.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质.注意掌握三线合一性质的应用.
8.(2016•怀柔区一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证:
∠CAB=∠AED.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE,再由直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】证明:
∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∠ADE=90°,
∴∠EAB=∠B.
在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠B=90°.
在Rt△ADE中,
∵∠ADE=90°,
∴∠AED+∠EAB=90°,
∴∠CAB=∠AED.
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
9.(2016•长春二模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC的度数.
【分析】首先由AB=AC,利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数,然后由BD是∠ABC的平分线,利用角平分线的定义求出∠DBC的度数,再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数.
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=
=70°,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC=
∠ABC=35°,
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,角平分线的定义,三角形内角和定理等知识,解答本题的关键是正确识图,利用等腰三角形的性质:
等边对等角求出∠ABC与∠C的度数.
10.(2016•东城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠BAC=40°,请你选择图中现有的一个角并求出它的度数(要求:
不添加新的线段,所有给出的条件至少使用一次).
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°,由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°,根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°,于是得到结论.
【解答】解:
∠EAC=75°,
∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=∠ACB=70°,
∵BD平分∠ABC交AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD=35°,
∵AE∥BD,
∴∠E=∠EAB=35°,
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义.注意等边对等角定理的应用.
11.(2016•怀柔区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC点的中线,E是AC的中点,连接AC,DF⊥AB于F.求证:
∠BDF=∠ADE.
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°,根据等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE.根据余角的性质得到∠BAD=∠BDF,等量代换即可得到结论.
【解答】证明:
∵AB=AC,AD是△ABC点的中线,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°,
∵E是AC的中点,
∴DE=AE=EC,
∴∠CAD=∠ADE.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵DF⊥AB,
∴∠B+∠BDF=90°,
∴∠BAD=∠BDF,
∴∠BDF=∠CAD,
∴∠BDF=∠ADE,
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质,余角的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
12.(2016•西城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE⊥BE于点E,且BE=
.
求证:
AB平分∠EAD.
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=
BC,AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论..
【解答】证明:
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴BD=
BC,AD⊥BC,
∵BE=
BC,
∴BD=BE,
∵AE⊥BE,
∴AB平分∠EAD.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,角平分线的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
13.(2016•门头沟区一模)如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,延长BC到E,使得CE=CD.
求证:
BD=DE.
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°,再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED,根据等角对等边即可得到DB=DE.
【解答】证明:
∵△ABC是等边三角形,BD是中线,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∠DBC=30°(等腰三角形三线合一).
又∵CE=CD,
∴∠CDE=∠CED.
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,
∴∠CDE=∠CED=
∠BCD=30°.
∴∠DBC=∠DEC.
∴DB=DE(等角对等边).
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用;利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键.
14.(2016•吉林校级二模)如图,等边三角形ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,点F在BC延长线上,且CF=
,求四边形DEFB的面积.
【分析】由三角形的中位线定理得到DE=CF,DE∥CF,证得四边形DEFC是平行四边形,即可证得S△ECF=S△DEC=S△ADE,即可证得S四边形DEFB=S△ABC,求得△ABC的面积即可.
【解答】解:
∵点D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE=
BC,DE∥BF,
∵CF=
,
∴DE=CF,DE∥CF,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴S△ECF=S△DEC=S△ADE,
∵△ABC是等边三角形,D是AB的中点,
∴CD⊥AB,AD=BD=1,BC=2,
∴DC=
=
∴S四边形DEFB=S△ABC=
×2×
=
.
【点评】本题考查了三角形中位线定理,平行四边形的判定和性质,勾股定理的应用,证得S△ECF=S△DEC=S△ADE是本题的关键.
15.(2016•门头沟区二模)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AE为BC边上的中线.求证:
△ABE是等边三角形.
【分析】根据直角三角形的性质得出AE=BE=CE=AB,即可得出答案.
【解答】证明:
∵∠BAC=90°,∠C=30°,
∴AB=
BC,
∵AE为BC边上的中线,
∴AE=BE=CE,
∴AB=AE=BE,
∴△ABE是等边三角形.
【点评】本题考查了等边三角形的性质,掌握等边三角形的判定:
三边都相等的三角形是等边三角形.
16.(2016•泗水县一模)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处.
(1)求证:
B′E=BF;
(2)若AE=3,AB=4,求BF的长.
【分析】
(1)根据折叠的性质以及平行线的性质可以证明∠B'FE=∠B'EF,根据等角对等边证明B'E=B'F,然后根据折叠的性质可证得;
(2)直角△A'B'E中利用勾股定理求得B'E的长,然后根据
(1)的结论即可求解.
【解答】
(1)证明:
∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠B'EF=∠EFB,
又∵∠B'FE=∠EFB,
∴∠B'FE=∠B'EF,
∴B'E=B'F,
又∵BF=B'F,
∴B'E=BF;
(2)解:
∵直角△A'B'E中,A'B'=AB=4,
∴B'E=
=
=5,
∴BF=N'E=5.
【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理,在折叠的过程中认识到相等的角和相等的边是关键.
17.(2016•北京一模)如图1,四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.请探究“筝形”的性质和判定方法.小聪根据学习四边形的经验,对“筝形”的判定和性质进行了探究.
下面是小聪的探究过程,请补充完整:
(1)如图2,连接筝形ABCD的对角线AC,BD交于点O,通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等,请写出筝形的其他性质(一条即可):
对角线互相垂直 ,这条性质可用符号表示为:
已知四边形ABCD是筝形,则AC⊥BD. ;
(2)从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究,写出筝形的一个判定方法(定义除外),并证明你的结论.
【分析】
(1)根据筝形的定义可以证明△BAC≌△DAC,依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系;
(2)利用△BAC≌△DAC,根据边、角、对角线的性质证得.
【解答】解:
(1)筝形的性质:
两组邻边分别相等;
对角线互相垂直,即已知四边形ABCD是筝形,则AC⊥BD;
有一条对角线被另一条平分;
有一条对角线平分对角;
是轴对称图形.(写出一条即可);
故答案是:
对角线互相垂直;已知四边形ABCD是筝形,则AC⊥BD;
(2)筝形的判定方法:
有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形.
已知:
四边形ABCD中,AC是一条对角线,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA.
求证:
四边形ABCD是筝形.
证明:
在△BAC和△DAC中,
,
∴△BAC≌△DAC,
∴AB=AD,BC=CD,即四边形ABCD是筝形.
其他正确的判定方法:
有一条对角线垂直平分令一条对角线的四边形是筝形;
有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形.
【点评】本题考查了图形的对称以及全等三角形的判定,
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- 轴对称 图形 习题 详细 解答