匀速圆周运动例题.docx
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匀速圆周运动例题
匀速圆周运动——例题1
【例题1】做匀速圆周运动的物体,下列物理量中不变的是( B、C )
A.速度B.速率C.角速度D.加速度
【例题2】关于匀速圆周运动,下列说法正确的是(C )
A.匀速圆周运动是匀速运动
B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C.物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动
D.做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态
【例题3】关于向心力的说法正确的是( B、C )
A.物体由于作圆周运动而产生一个向心力
B.向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小
C.做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力
D.做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力
【例题4】如图所示,小物体A与圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起作匀速圆周运动,则A的受力情况是( B )
A.重力、支持力
B.重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C.重力、向心力
D.重力、支持力、向心力、摩擦力
【例题5】(00天津)在高速公路的拐弯处,路面造得外高内低,即当车向右拐弯时,司机左侧的路面比右侧的要高一些,路面与水平面间的夹角为
。
设拐弯路段是半径为
的圆弧,要使车速为
时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,
应等于(B)
A、
B、
C、
D、
【例题6】(07山东-24).如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动,圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块。
当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。
以知AB段斜面倾角为53°,BC段斜面倾角为37°,滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ=0.5,A点离B点所在水平面的高度h=1.2m。
滑块在运动过程中始终未脱离轨道,不计在过渡圆管处和B点的机械能损失,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,取g=10m/s2,sin37°=0.6;cos37°=0.8
(1)若圆盘半径R=0.2m,当圆盘的角速度多大时,滑块从圆盘上滑落?
(2)若取圆盘所在平面为零势能面,求滑块到达B点时的机械能。
(3)从滑块到达B点时起,经0.6s正好通过C点,求BC之间的距离。
★解析:
⑴μmg=mω2R,ω=5rad/s
⑵滑块在A点时的速度vA=ωR=1m/s,A到B过程用动能定理:
mgh-μmgcos53°·h/sin53°=
在B点时的机械能EB=
-mgh=-4J,此时B的速度为4m/s
⑶滑块在B点时的速度:
vB=4m/s。
滑块上运动时加速度大小a1=g(sin37°+μcos37°)=10m/s2
返回时的加速度大小:
a2=g(sin37°-μcos37°)=2m/s2,
因此BC间的距离:
sBC=
=0.76m,
就是说上滑后又下滑,但加速度是不一样的。
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【例题7】 如图5-26所示,O1为皮带传动装置的主动轮的轴心,轮的半径为r1;O2为从动轮的轴心,轮的半径为r2;r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径.已知r2=1.5r1,r3=2r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点,那么质点A、B、C的线速度之比是_________,角速度之比是_________,向心加速度之比是__________,周期之比是_________.
[思路点拨] 本题涉及了匀速圆周运动的所有基本公式:
v=ωR,
之间关系的两种不同形式,并应正确理解其含义.
[解题过程] 由于A、B轮由不打滑的皮带相连,故vA=vB.
所以ωB=ωC.
所以有 ωA∶ωB∶ωC=3∶2∶2,vA∶vB∶vC=3∶3∶4.
故 aA∶aB∶aC=9∶6∶8.
[小结] 物体做匀速圆周运动时,线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定牵连关系.“认为线速度一定与半径成正比”是不对的,其实只有在角速度不变的情况下才成立.同样泛泛地讲:
向心加速度与半径成正比还是成反比,也是不对的,必须讲清其物理条件是角速度不变还是线速度不变.对此初学者务必注意.
【例题8】 如图5-27所示,一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞
C、D四个位置受力情况.
[思路点拨] 该题应首先从A、B、C、D四点的位置、状态及所需向心力情况入手,再根据牛顿运动定律分析各点受力情况.分析的难点在于B点和D点.
[解题过程] 以飞行员为研究对象.在A点受力情况如图5-28(A)所示,其中FN表示座椅对飞行员的支持力.依牛顿运动定律
力不足以提供所需向心力,飞行员有离心趋势,故由椅子提供向下的压力P,如图5-28(B)所示.
在C点(此时飞行员头向下,椅子在其上方)受力情况如图5-28(C)所示,其中T表示安全带对飞行员向上拉力.并有
在D点,情况与B点相近,飞行员重力不足以提供所需向心力,有离心趋势.故将由安全带提供向下的压力Q,如图5-28(D)所示.
[小结]
(1)物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态.它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供,由受力分析入手,正确使用动力学求解,是分析这类问题的主要方法.
(2)“离心”与“向心”现象的出现,是由于提供的合外力与某状态下所需的向心力之间出现矛盾,当“供”大于“需”时,将出现“向心”.例
“供”小于“需”时,物体将远离圆心被甩出,例如甩干机就是这个道理.
【例题9】 如图5-29所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转,盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B.现将A和B分别置于距轴r和2r处,并用不可伸长的轻绳相连.已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是fm.试分析转速ω从零逐渐增大,两球对轴保持相对静止过程中,A、B受力情况如何变化?
[思路点拨] 当转动角速度ω增大到某值时,A和B将发生离心现象,向B一侧甩出,此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧.而刚开始转动时,A所受摩擦力应指向圆心(轴),而且绳上没有张力.显然整个过程中A、B受力发生了明显变化,而且这种变化又与几个特定角速度值有关.找出这几个特定角速度是分析的关键.
[解题过程] 由于ω从零开始逐渐增大,当ω较小时,A和B只靠自身静摩擦力提供向心力.
A球:
mω2r=fA;B球:
mω22r=fB.
随ω增大,静摩擦力不断增大,直至ω=ω1时将有fB=fm.即
力T将出现.
A球:
mω2r=fA+T;B球:
mω22r=fm+T.
由B球可知:
当角速度由ω增至ω′时,绳上张力将增加ΔT,ΔT=m·2r(ω′2-ω2).对于A球应有
m·r(ω′2-ω2)=ΔfA+ΔT=ΔfA+m·2r(ω′2-ω2).
可见ΔfA<0,即随ω的增大,A球所受摩擦力将不断减小,直至
当角速度从ω2继续增加时,A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧,并随ω的增大而增大,直至fA=fm为止.设此时角速度为ω3,并有
从ω3若角速度继续增加,A和B将一起向B一侧甩出.
[小结]
(1)本题很好地反映了在匀速圆周运动的角速度ω动态变化的过程中,由于所需向心力的变化对所提供的摩擦力及绳上拉力的制约作用,并最终达到供与需之间的和谐.
(2)教学实践表明:
同学们基本都能正确指出,“AB系统将最终向B一侧甩出”这一物理现象.但是对于中间动态变化过程是怎样的?
为什么是这样的?
却很少有人讲清楚.对于一个题目物理过程的挖掘,要深刻、要细致,只有这样才能使自己跳出题海.
匀速圆周运动——例题2
【例1】如图所示的传动装置中,A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB.当皮带不打滑时,三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少?
【分析】皮带不打滑,表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等,也就是说,用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等.根据这个特点,结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.
【解】由于皮带不打滑,因此,B、C两轮边缘线速度大小相等,设vB=vC=v.由v=ωR得两轮角速度大小的关系
ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1.
因A、B两轮同轴转动,角速度相等,即ωA=ωB,所以A、B、C三轮角速度之比
ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1.
因A轮边缘的线速度vA=ωARA=2ωBRB=2vB,
所以A、B、C三轮边缘线速度之比vA∶vB∶vC=2∶1∶1.
根据向心加速度公式a=ω2R,所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1.
【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动.在圆盘上放置一木块,当圆盘匀速转动时,木块随圆盘一起运动(见图),那么()
A.木块受到圆盘对它的摩擦力,方向背离圆盘中心
B.木块受到圆盘对它的摩擦力,方向指向圆盘中心
C.因为木块随圆盘一起运动,所以木块受到圆盘对它的摩擦力,方向与木块的运动方向相同
D.因为摩擦力总是阻碍物体运动,所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反
E.因为二者是相对静止的,圆盘与木块之间无摩擦力
【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动,时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度,因此,它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力.
以木块为研究对象进行受力分析:
在竖直方向受到重力和盘面的支持力,它处于力平衡状态.在盘面方向,可能受到的力只有来自盘面的摩擦力(静摩擦力),木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动.所以,这个摩擦力的方向必沿半径指向中心
【答】B.
【说明】常有些同学认为,静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反,木块随圆盘一起匀速转动时,时时有沿切线方向飞出的趋势,因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反,似乎应该选D.这是一种极普遍的错误认识,其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系.通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势,是指以地球为参照系而言的.而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反,应该是指相互接触的两个相关物体来说的,即是对盘面参照系.也就是说,对站在盘上跟盘一起转动的观察者,木块时刻有沿半径向外滑出的趋势,所以,木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心
【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体,它们跟台面间的摩擦因数相同.A的质量为2m,B、C各为m.A、B离转轴均为r,C为2r.则()
A.若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动,A、C的向心加速度比B大
B.若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动,B所受的静摩擦力最小
C.当转台转速增加时,C最先发生滑动
D.当转台转速继续增加时,A比B先滑动
【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时,它们的角速度都等于转台的角速度,设为ω.根据向心加速度的公式an=ω2r,已知rA=rB<rC,所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB<aC.
A错.
三物体随转台一起转动时,由转台的静摩擦力提供向心力,即f=Fn=mω2r,所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
fA=mAω2rA=2mω2r,
fB=mBω2rB=mω2r,
fC=mcω2rc=mω2·2r=2mω2r.
即物体B所受静摩擦力最小.B正确.
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值,设相互间摩擦因数为μ,静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg.由fm=Fn,即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体,使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.
由于rC>rA=rB,所以当转台的转速逐渐增加时,物体C最先发生滑动.转速继续增加时,物体A、B将同时发生滑动.C正确,D错.
【答】B、C.
【例4】如图,光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B,相距L0=0.1m.长L=1m的柔软细线一端拴在A上,另一端拴住一个质量为500g的小球.小球的初始位置在AB连线上A的一侧.把细线拉直,给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度,使它做圆周运动.由于钉子B的存在,使细线逐步缠在A、B上.
若细线能承受的最大张力Tm=7N,则从开始运动到细线断裂历时多长?
【分析】小球转动时,由于细线逐步绕在A、B两钉上,小球的转动半径会逐渐变小,但小球转动的线速度大小保持不变.
【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动,因线速度不变,随着转动半径的减小,线中张力T不断增大,每转半圈的时间t不断减小.
令Tn=Tm=7N,得n=8,所以经历的时间为
【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究,用递推法则写出解答结果的通式(一般表达式)有很重要的意义.对本题,还应该熟练掌握数列求和方法.
如果题中的细线始终不会断裂,有兴趣的同学还可计算一下,从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上,共需多少时间?
【例5】如图(a)所示,在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥顶角为2θ,当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时,球压紧锥面.此时绳的张力是多少?
若要小球离开锥面,则小球的角速度至少为多少?
【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动,由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力,在竖直方向则合外力为零。
由此根据牛顿第二定律列方程,即可求得解答。
【解】对小球进行受力分析如图(b)所示,根据牛顿第二定律,向心方向上有
T·sinθ-N·cosθ=mω2r①
y方向上应有
N·sinθ+T·cosθ-G=0②
∵r=L·sinθ③
由①、②、③式可得
T=mgcosθ+mω2Lsinθ
当小球刚好离开锥面时N=0(临界条件)
则有Tsinθ=mω2r④
T·cosθ-G=0⑤
【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题,解题时,一般可以物体为坐标原点,建立xoy直角坐标,然后沿x轴和y轴两个方向,列出牛顿第二定律的方程,其中一个方程是向心力和向心加速度的关系,最后解联立方程即可。
【例6】杂技节目中的“水流星”表演,用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子,演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动,在最高点杯口朝下,但水不会流下,如下图所示,这是为什么?
【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动,需要提供一个向心力。
当水杯在最低点时,水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供,当水杯在最高点时,水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。
只要做圆周运动的速度足够快,所需向心力足够大,水杯在最高点时,水就不会流下来。
【解】以杯中之水为研究对象,进行受力分析,根据牛顿第二定律
【例7】如下图所示,自行车和人的总质量为M,在一水平地面运动.若自行车以速度v转过半径为R的弯道.
(1)求自行车的倾角应多大?
(2)自行车所受的地面的摩擦力多大?
【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知,当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向α角时,从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心O,合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力.
【解】
(1)由图可知,向心力F=Mgtgα,由牛顿第二定律有:
(2)由图可知,向心力F可看做合力Q在水平方向的分力,而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力,所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F,即
f=Mgtgα
【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线,拴一质量m=2kg的小球A,L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1,O2处,已知O1O2=5m如下图(g=10m·s-2)
(1)当竖直杆以的角速度ω匀速转动时,O2A线刚好伸直且不受拉力.求此时角速度ω1.
(2)当O1A线所受力为100N时,求此时的角速度ω2.
【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供,当小球的运动速度不同时,所受拉力就不同。
【解】
(1)当O2A线刚伸直而不受力时,受力如图所示。
则F1cosθ=mg①
F1sinθ=mRω12②
由几何知识知
∴R=2.4mθ=37°
代入式③ω1=1.77(rad/s)
(2)当O1A受力为100N时,由
(1)式
F1cosθ=100×0.8=80(N)>mg
由此知O2A受拉力F2。
则对A受力分析得
F1cosθ-F2sinθ-mg=0④
F1sinθ+F2cosθ=mRω22⑤
由式(4)(5)得
【说明】向心力是一种效果力,在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值.在这种题目中找好临界值是关键.
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