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初一三角形教材
第四章:
三角形
第1节认识三角形
一.三角形的定义:
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的几何图形叫作三角形.
如右图,线段AB、BC、CA是三角形的边,点A、B、C是三角形的顶点,∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角,叫做三角形的角,简称三角形的角,记作“△ABC”.
2.三角形的分类:
1.三角形按边分类
2.三角形按角分类
3.面积公式
1.
.
2.
.
3.
4.三角形的性质
(一).三角形的、外角和
1.定理:
三角形角和等于
.
2.推论:
直角三角形的两锐角互余.
3.定理:
三角形外角和等于
.
4.定理:
三角形的外角等于与其不相邻的两个角之和.
5.推论:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角.
(二).三角形的三边关系
1.三角形的任意两边之和大于第三边.
2.三角形的任意两边之差小于第三边.
3.
<
(
为三角形周长).
(三).三角形中的重要线段
1.高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线(简称三角形的高).
2.中线:
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线.
3.角平分线:
三角形一个角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的平分线.
注:
三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都相交于一点,分别叫三条角的心、重心、垂心.
(4).三角形具有稳定性
(5).整数边三角形:
边长都是整数的三角形称为整数边三角形.
五、典型题分类分析
例1.如图,图中有几个三角形?
请分别表示出来,∠AEC、∠ADC分别是哪些角的角?
以BD为边的三角形有哪些?
分析:
从A点开始计:
△ABC、△ABD、△ADC、△AEC、△AEO、△AOC,以B点:
△BEC,以C点:
△COD.
AB
CD
O
例2.如图,AB∥CD,AD,BC,相交于点O,∠A=35°,∠COD=140°,求∠C的度数.
分析:
在△COD中,已知∠COD=104°,
只要设法求得∠D的度数,利用三角形
的角和为180°,即可求出∠C的度数.
例3.判断满足下列条件的△ABC是锐角三角形,直角三角形,还是钝角三角形?
(1)∠A=30°,∠B=∠C;
(2)∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3.
分析:
根据条件,利用三角形角和等于180°,求出各角
例4.下列各组中,三条线段的长度能否构成三角形?
(1)3、5、9
(2)5、6、11(3)5、6、9
分析:
用较短的两条线段之和与最长线段作比较
例5.如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线,BE、DE分别是哪两个三角形的中线?
AG是哪些三角形的高?
分析:
因为∠BAD=∠CAD,所以AD是
△ABC的角平分线,AF是△ABE的角平
分线。
有AE=CE,知BE是△ABC的中线,
DE是△ADC的中线。
AG⊥BC,则AG是
△ABC,△ADG,△ACG,△ACD的高.
5.课堂练习
A类
1、三角形是( )
A、连接任意三点组成的图形.
B、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形.
C、由三条线段组成的图形.
D、以上说法均不对.
2、试通过画图来判定,下列说确的是( )
A、一个直角三角形一定不是等腰三角形.B、一个等腰三角形一定不是锐角三角形.
C、一个钝角三角形一定不是等腰三角形.D、一个等边三角形一定不是钝角三角形.
3、如图所示,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则( )
A、△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形.
B、△ABC将变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形.
C、△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,接着又由锐角三角形变为钝角三角形.
D、△ABC先由钝角三角形变为直角三角形,再变为锐角三角形,接着又变为直角三角形,然后再次变为钝角三角形.
4、三角形按边可分为( )
A、等腰三角形,直角三角形,锐角三角形.B、直角三角形,不等边三角形.
C、等腰三角形,不等边三角形.D、等腰三角形,等边三角形.
5、下列说法中正确的是( )
A、三角形的角中至少有两个锐角.B、三角形的角中至少有两个钝角.
C、三角形的角中至少有一个直角.D、三角形的角中至少有一个钝角.
6、已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是( )
A、锐角三角形B、钝角三角形
C、直角三角形D、锐角三角形或钝角三角形
7、将一副直角三角板如图所示放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )
A、45°B、60°C、75°D、85°
8、如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )
A、∠2=∠4+∠7B、∠3=∠1+∠6
C、∠1+∠4+∠6=180°D、∠2+∠3+∠5=360°
9、若△ABC中,2(∠A+∠C)=3∠B,则∠B的外角度数为何( )
A、36B、72C、108D、144
10、若钝角三角形ABC中,∠A=27°,则下列何者不可能是∠B的度数?
( )
A、37B、57C、77D、97
B类
11、三角形的一个外角等于与它相邻的角,则这个三角形( )
A、是直角三角形B、是钝角三角形
C、是锐角三角形D、不能确定属于哪一类三角形
12、在△ABC中,∠A=2∠B=75°,则∠C等于( )
A、30°B、67.5°C、105°D、135°
13、已知△ABC的三个角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A,则此三角形( )
A、一定有一个角为45°B、一定有一个角为60°
C、一定是直角三角形D、一定是钝角三角形
14、一个三角形的三个角中( )
A、至少有一个钝角B、至少有一个直角
C、至多有一个锐角D、至少有两个锐角
15、锐角三角形中,∠A>∠B>∠C,则下列结论中错误的是( )
A、∠A>60°B、∠B>45°
C、∠C<60°D、∠B+∠C<90°
16、如图,AD,BE都是△ABC的高,则与∠CBE一定相等的角是( )
A、∠ABEB、∠BADC、∠DACD、∠C
17、如图,在三角形纸片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠(折痕为DE),使点C落在△ABC的C′处,若∠AEC′=20°,则∠BDC′的度数是( )
A、30°B、40°C、50°D、60°
18、若三角形的一个角等于另外两个角之差,则这个三角形是( )
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定
19、如图,图1中共有3个三角形,图2中共有6个三角形,图3中共有10个三角形,…,以此类推,则图6中共有多少个三角形?
20、如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,那么这个三角形一定是三角形.
C类
21、现有四根木棒,长度分别为4cm,6cm,8cm,10cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
22、如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是( )
A、15B、16C、8D、7
23、小华在中问小明:
“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?
”小明提示说:
“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )
24、如图,在三角形纸片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠(折痕为DE),使点C落在△ABC的C′处,若∠AEC′=20°,则∠BDC′的度数是( )
A、30°B、40°C、50°D、60°
25、如图,△ABC中,∠A=60°,CD、CE是∠ACB的三等分线,BD、BE是∠ABC的三等分线,则图中∠BDC的度数为( )
A、90°B、100°C、120°D、135°
第2节全等三角形
1.全等图形
1.全等图形:
能够完全重合的两个图形叫作全等图形.
2.性质:
(1)全等图形的形状、大小相同.
(2)全等图形的对应边、对应角相等.
(3)全等图形的周长、面积相等.
3.图形的基本变换:
一个图形经过平移、翻转、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻转、旋转前后的图形全等.
2.全等三角形
1.全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
三.全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边、对应角相等.
2.全等三角形的周长、面积相等.
3.全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线分别相等.
四.全等三角形的判定
1.边边边公理:
三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
2.边角边公理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).
3.角边角公理:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
4.角角边定理:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
5.斜边、直角边定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
五.证明两个三角形全等的基本思路
六.典型题分类分析
例1.找出图中的全等图形(填序号):
.
分析:
运用观察法找出全等图形:
一是看形状是否相同;二是看大小是否相同。
例2.如图,△ABC≌△DEB,AB=DE,∠E=∠ABC,则∠C的对应角为,BD的对应边为.
分析:
在△ABC与△DEB中,因为AB=DE,可得∠C=∠EBC,又因为∠E=∠ABC,所以BD=AC.
例3.如图,已知△ABC≌△AED.
(1)找出图中相等的线段,相等的角.
(2)当∠B=27°时,∠E等于多少?
(3)BC与DE能平行吗?
说明理由
分析:
由△ABC≌△AED,∠CAB=∠DAE可知两
个三角形的对应定点,从而可找到对应边、对应角.
例4.如图,在△ABC和△DEB中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
分析:
根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.
例5.如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠CB.AD=CBC.BE=DFD.AD∥BC
分析:
先求出AF=CE,再根据全等三角形的判定定理判断即可.
七.课堂练习
A类
1、如图
(1)已知D,E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A的度数为()
A100°B90°C80°D70°
2、若三角形三边的长分别为2、3、x,则x的围为(),若x的值为整数,则x=()
3、已知等腰三角形ABC中,腰AB=8,底BC=5,则这个三角形的周长为()
4、等腰三角形的一边为6,一边为13,则其周长为()
5、如图
(2)AB∥CD,∠1=62°,FG平分∠EFD,则∠2=()
6、如图(3)点O是三角形ABC的两条角平分线的交点,若∠BOC=118°,则∠A的度数()
7、如图(4)△ABC≌△DEF,请根据图中的信息,写出x=()
8、在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则三角形ABC的形状是()
A等边三角形B锐角三角形
B直角三角形D钝角三角形
9、认识三角形后,贝贝很快就从下列线段中找出了能够组成三角形的一组()
A2cm4cm6cmB3cm5cm4cm
B7cm3cm3cmD9cm5cm3cm
10、可能会在△ABC的外部的线段()
A△ABC某边的中线B△ABC某边上的高
C△ABC某角的平分线D钝角三角形最长边上的高
B类
11、如图(5)已知△ABC≌△DEF,且AB=4,BC=5,AC=6,则DF的长度为()
A6B5C4D不能确定
12、如图(6),△AOC≌△BOD,那么下列结论错误的是()
AOA=ODBAC=BDC∠C=∠DD∠AOC=∠BOD
13、如图,已知△ACF和△DBE,∠F=∠E,AB=2cm,BC=5cm,求AD的长。
14、如图在△ABC中,AD是角平分线,∠B=70°,,∠C=40°,求∠ADC的度数
15、如图将一副三角板拼成如图的图形,过点C做CF平分∠DCE交DE于点F
(1)试说明:
CF∥AB
(2)求∠DFC的度数
C类
16、如图,ΔABC的两条高AD、BE相交于H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由。
(1)∠DBH=∠DAC;
(2)ΔBDH≌ΔADC。
17、已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠APE的大小。
18、如图,在矩形ABCD中,F是BC边上的一点,AF的延长线交DC的延长线于G,DE⊥AG于E,且DE=DC,根据上述条件,请你在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论。
19、已知:
如图所示,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,判断PM与PN的关系.
20、如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:
BD=2CE.
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