因式分解导学案.docx
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因式分解导学案.docx
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因式分解导学案
集体备课导学案
主备人
备课时间
授课时间
课题
第二章分解因式1.分解因式
讨论及修
改意见
教学目标:
(1)使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.
(2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系,并能运用这种关系寻求因式分解的方法.
重点:
了解因式分解的意义,理解因式分解的概念
难点:
分解因式与整式乘法的区别与联系
教学过程与方法设计:
第一环节看谁算得快
活动内容:
用简便方法计算:
(1)
=
(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67=
(3)992–1=.
第二环节看谁想得快
活动内容:
993–99能被哪些数整除?
你是怎么得出来的?
第三环节看谁算得准
活动内容:
计算下列式子:
(1)3x(x-1)=;
(2)m(a+b+c)=;
(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=;
(5)a(a+1)(a-1)=.
根据上面的算式填空:
(1)ma+mb+mc=(3x2-3x=;
(3)m2-16=;(4)a3-a=;
(5)y2-6y+9=.
第四环节学生讨论活动内容:
比较以下两种运算的联系与区别:
(1)a(a+1)(a-1)=a3-a
(2)a3-a=a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗?
除此之外,你还能找到类似的例子吗?
结论:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
辨一辨:
下列变形是因式分解吗?
为什么?
(1)a+b=b+a
(2)4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
(3)a(a–b)=a2–ab(4)a2–2ab+b2=(a–b)2
第五环节当堂训练活动内容:
1、看谁连得准
x2-y2.(x+1)2
9-25x2y(x-y)
x2+2x+1(3-5x)(3+5x)
xy-y2(x+y)(x-y)
2、下列哪些变形是因式分解,为什么?
(1)(a+3)(a-3)=a2-9
(2)a2-4=(a+2)(a-2)
(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1(4)2πR+2πr=2π(R+r)
第六环节拓展延伸活动内容
1、若分解因式
,则m的值是多少?
2、已知
,求
的值?
第七环节归纳小结
1、什么是分解因式?
分解因式时必须注意什么?
(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系;
(2)分解因式的结果要以积的形式表示;
(3)每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数;
4)必须分解到每个多项式不能再分解为止.
1、2、分解因式与整式乘法的区别与联系?
第八环节课外作业
1、课本第45页习题2.1第1,2,3题
2、
能被9.1整除吗?
为什么?
3、
能被32整除吗?
为什么?
4、思考题:
课本第45页习题2.1第4题(给学有余力的同学做)
课后反思:
集体备课导学案
主备人
备课时间
授课时间
课题
2.2提公因式法
(一)
讨论及修
改意见
教学目标:
(1)使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程,能确定多项式各项的公因式;
(2)会用提取公因式法进行因式分解.
重点:
难点:
教学过程与方法设计:
第一环节算一算、想一想
活动内容:
1、算一算:
2、想一想:
多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?
多项式x2+4x呢?
多项式mb2+nb–b呢?
第二环节议一议
活动内容:
多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么?
结论:
(1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数;
(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式
第三环节试一试
活动内容:
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式:
(1)ab+ac
(2)x2+4x(3)mb2+nb–b
第四环节做一做
活动内容:
将下列多项式进行分解因式:
(1)3x+6
(2)7x2–21x(3)8a3b2–12ab3c+ab
(4)–24x3–12x2+28x
学生归纳:
提取公因式的步骤:
(1)找公因式;
(2)提公因式.
易出现的问题:
(1)第(3)题中的最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;
(2)第(4)题提出“–”时,后面的因式不是每一项都变号.
矫正对策:
(1)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同;
(2)如果多项式的第一项带“–”,则先提取“–”号,然后提取其它公因式;
(3)将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘,其积是否与原式相等.
第五环节当堂训练
活动内容:
1、找出下列各多项式的公因式:
(1)4x+8y
(2)am+an(3)48mn–24m2n3(4)a2b–2ab2+ab
2、将下列多项式进行分解因式:
(1)8x–72
(2)a2b–5ab(3)4m3–8m2
(4)a2b–2ab2+ab (5)–48mn–24m2n3(6)–2x2y+4xy2–2xy
第六环节拓展延伸
1、小明分解因式
的解法如下:
=
请你思考这种做法正确吗?
若不正确,请正确分解因式?
2、把下列多项式分解因式:
(1)
(2)
第七环节归纳小结
1、什么是公因式?
2、用公因式法分解因式的步骤是什么?
第八环节课外作业
1、课本第49页习题2.2第1,2,3题.
2、利用因式分解简便计算:
(1)
(2)
课后反思:
集体备课导学案
主备人
备课时间
授课时间
课题
2.2提公因式法
(二)
讨论及
修改意见
教学目标:
(1)使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程.
(2)会用提取公因式法进行因式分解.
重点:
掌握用提取公因式法进行因式分解
难点:
正确地确定多项式的最大公因式
教学过程与方法设计:
第一环节练一练
活动内容:
把下列各式因式分解:
(1)am+an
(2)a2b–5ab
(3)m2n+mn2–mn(4)–2x2y+4xy2–2xy
注意事项:
切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤,最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,让学生真正理解是第一位的.
第二环节想一想
活动内容:
因式分解:
a(x–3)+2b(x–3)
活动目的:
引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式.
由于题中很显明地表明,多项式中的两项都存在着(x–3),通过观察,学生较容易找到公因式是(x–3),并能顺利地进行因式分解.
第三环节做一做
活动内容:
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号,使等式成立:
(1)2–a=(a–2)
(2)y–x=(x–y)
(3)b+a=(a+b)(4)(b–a)2=(a–b)2
(5)–m–n=(m+n)(6)–s2+t2=(s2–t2)
活动目的:
培养学生的观察能力,为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备.
注意事项:
(1)首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系;
(2)当前后两个多项式的底数相等时,则只要在第二个式子前添上“+”;
(3)当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时,如果指数是奇数,则在第二个式子前添上“–”;如果指数是偶数,则在第二个式子前添上“+”.
第四环节试一试
活动内容:
将下列各式因式分解:
(1)a(x–y)+b(y–x)
(2)3(m–n)3–6(n–m)2
活动目的:
进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤.
(1)观察多项式中括号内不同符号的多项式部分,并把它们转换成符号相同的多项式;
(2)再把相同的多项式作为公因式提取出来.
第五环节当堂训练
活动内容:
1、填一填:
(1)3+a=(a+3)
(2)1–x=(x–1)
(3)(m–n)2=(n–m)2(4)–m2+2n2=(m2–2n2)
2、把下列各式因式分解:
(1)x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x–y)–(x–y)
(3)6(p+q)2–12(q+p)(4)a(m–2)+b(2–m)(5)2(y–x)2+3(x–y)(6)mn(m–n)–m(n–m)2
第六环节拓展延伸
1、分解因式:
2、先分解因式,再求值:
其中a=1,b=-1.x=0
第七环节归纳小结:
学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程,对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解,更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系,了解类比等数学思想方法.
第八环节布置作业1、课本第52页习题2.3第1,2题.
2、
能否被45整除。
3、计算:
的值
思考题:
课本第53页习题2.3第3题(给学有余力的同学做).
教学反思:
集体备课导学案
主备人
备课时间
授课时间
课题
2.3运用公式法
(一)
讨论及修改意见
教学目标:
(1)使学生了解运用公式法分解因式的意义;
(2)会用平方差公式进行因式分解;
(3)使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.
重点:
掌握公式法中的平方差公式进行分解因式
难点:
正确运用提公因式、平方差公式法分解因式,分解要彻底。
教学过程与方法设计:
第一环节练一练活动内容:
填空:
根据上面式子填空:
(1)9m2–4n2=;
(2)16x2–y2=;
(3)x2–9=;(4)1–4x2=.
第二环节想一想
活动内容:
观察上述第二组式子的左边有什么共同特征?
把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征?
结论:
a2–b2=(a+b)(a–b)
活动目的:
引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识,通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征.
注意事项:
学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快,但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难,必须在老师的指导下才能完成
第三环节做一做活动内容:
把下列各式因式分解:
(1)25–16x2
(2)9a2–
注意事项:
学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难,有的学生由于受解方程的影响,习惯首先去分母,再因式分解,这是很多学生经常犯的一个错误.
第四环节议一议
活动内容:
将下列各式因式分解:
(1)9(x–y)2–(x+y)2
(2)2x3–8x
注意事项:
在教师的引导下,学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.
第五环节当堂训练活动内容:
21、判断正误:
(1)x2+y2=(x+y)(x–y)()
(2)–x2+y2=–(x+y)(x–y)()
(3)x2–y2=(x+y)(x–y)()
(4)–x2–y2=–(x+y)(x–y)()
2、把下列各式因式分解:
(1)4–m2
(2)9m2–4n2
(3)a2b2-m2(4)(m-a)2-(n+b)2(5)–16x4+81y4(6)3x3y–12xy
3、如图,在一块边长为a的正方形纸片的四角,各剪去一个边长为b的正方形.用a与b表示剩余部分的面积,并求当a=3.6,b=0.8时的面积.
第六环节拓展延伸1、运用公式法分解因式:
(1)
(2)
2、已知x+y=7,x-y=5试求
的值
第七环节归纳小结让学生认识到了以下事实:
1、有公因式(包括负号)则先提取公因式;
2、整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系;
3、平方差公式中的a与b既可以是单项式,又可以是多项式;
第八环节布置作业1、课本第56页习题2.4第1、2、3题
2、分解因式:
(1)
(2)
3、已知x+y+z=0试求
的值
教学反思:
集体备课导学案
主备人
备课时间
授课时间
课题
2.3运用公式法
(二)
讨论及修改意见
教学目标:
(1)使学生了解运用公式法分解因式的意义;
(2)会用完全平方公式进行因式分解;
(3)使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.
重点:
掌握公式法中的完全平方公式进行因式分解
难点:
灵活运用公式法与提公因式法分解因式,正确判断因式分解的彻底性
教学过程与方法设计:
第一环节做一做活动内容:
填空:
(1)(a+b)(a-b)=;
(2)(a+b)2=;
(3)(a–b)2=;
根据上面式子填空:
(1)a2–b2=;
(2)a2–2ab+b2=;
(3)a2+2ab+b2=;
结论:
形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式.
第二环节辨一辨
活动内容:
观察下列哪些式子是完全平方式?
如果是,请将它们进行因式分解.
(1)x2–4y2
(2)x2+4xy–4y2
(3)4m2–6mn+9n2(4)m2+6mn+9n2
第三环节试一试活动内容:
把下列各式因式分解:
(1)x2–4x+4
(2)9a2+6ab+b2
(3)m2–
(4)
注意事项:
学生对第(3)小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难,有的学生由于受解方程的影响,习惯首先去分母,再因式分解,这是很多学生经常犯的一个错误.
第四环节想一想活动内容:
将下列各式因式分解:
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)–x2–4y2+4xy
注意事项:
在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成:
(1)有公因式,先提公因式;
(2)再用公式法进行因式分解.
第五环节当堂训练活动内容:
1、判断正误:
(1)x2+y2=(x+y)2()
(2)x2–y2=(x–y)2()
(3)x2–2xy–y2=(x–y)2()
(4)–x2–2xy–y2=–(x+y)2()
2、下列多项式中,哪些是完全平方式?
请把是完全平方式的多项式分解因式:
(1)x2–x+
(2)9a2b2–3ab+1
(3)
(4)
3、把下列各式因式分解:
(1)m2–12mn+36n2
(2)16a4+24a2b2+9b4
(3)–2xy–x2–y2(4)4–12(x–y)+9(x–y)2
第六环节拓展延伸
1、若
是完全平方式,求k的值
2、分解因式:
(1)
(2)
3、利用因式分解简便计算:
(1)
(2)
第七环节归纳小结1、分解因式的公式是什么?
它有什么特征?
在运用时应如何把握?
2、把一个多项式进行分解因式的一般思路是怎样?
3、运用平方差与完全平方公式时你怎样做到不混淆?
4、你用什么方法检验你所分解因式的彻底问题?
第八环节布置作业1课本第60页习题2.5第1、2、3题;
2、若
则
的值是多少?
3、若
,求
的值
4、若
,求
的值
5、思考题:
习题2.5第4题(给学有余力的同学做)
教学反思:
集体备课导学案
主备人
备课时间
授课时间
课题
第二章分解因式》回顾与思考
讨论及修改意见
教学目标:
(1)使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法;
(2)提高学生因式分解的基本运算技能;
(3)能熟练使用几种因式分解方法的综合运用
重点:
掌握提公因式法、公式法分解因式
难点:
灵活运用公式法分解因式
教学过程与方法设计:
第一环节回顾
活动内容:
1、你学过哪些因式分解的方法?
举一个例子说明其中用到了哪些方法?
2、你认为分解因式与整式的乘法之间有什么关系?
第二环节辨析题
活动内容:
下列哪些式子的变形是因式分解?
1、x2–4y2=(x+2y)(x–2y)2、x(3x+2y)=3x2+2xy
3、4m2–6mn+9n2=2m(2m–3n)+9n24、m2+6mn+9n2=(m+3n)2
第三环节做一做
活动内容:
把下列各式因式分解:
(1)x2+14x+49
(2)7x2–63(3)y2–9(x+y)2(4)(x+y)2–14(x+y)+49(5)16–(2a+3b)2(6)
(7)a4–8a2b2+16b4(8)(a2+4)2–16a2
第四环节试一试
活动内容:
1、在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:
如对于多项式x4–y4,因式分解的结果是(x–y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是(x–y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式4x3–xy2,取x=10,y=10时,上述方法产生的密码可以
是.
2、如图,在一个半径为R的圆形钢板上,冲去半径为r的四个小圆.
(1)用代数式表示剩余部分的面积;
(2)用简便方法计算:
当R=7.5,r=1.25时,剩余部分的面积.
第五环节想一想
活动内容:
计算:
1、32004–320032、(–2)101+(–2)100
3、已知x+y=1,求
的值.
第六环节开放题
活动内容:
请你出一道含因式分解知识的习题给你的同伴解答
第七环节当堂训练活动内容:
1、把下列各式因式分解:
(1)x3y2–4x
(2)a3–2a2b+ab2
(3)a3+2a2+a(4)(x–y)2–4(x+y)2
2、填空:
(1)若一个正方形的面积是9x2+12xy+4y2,则这个正方形的边长是;
(2)当k=时,100x2–kxy+49y2是一个完全平方式;
(3)计算:
20062–2×6×2006+36=;
3、利用因式分解计算:
(1)
(2)
(3)
第八环节布置作业1、课本第61页复习题第2题;
2、第62页第3题,第4题;3、第62页第9题.
4、思考题:
课本第63页联系拓广第13、14题(给学有余力的同学做)
5、已知a、b、c为三角形ABC的三边,且满足
,试判断三角形ABC的形状?
教学反思:
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- 因式分解 导学案