同余练习.docx
- 文档编号:10079934
- 上传时间:2023-02-08
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:22.53KB
同余练习.docx
《同余练习.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《同余练习.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
同余练习
第8讲同余
(补充练习)
[练习1]从1依次写到99,可以组成一个多位数123456789101112……979899。
这个多位数除以11的余数是多少?
分析:
⑴能被11整除的数的特征是:
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差(大减小)能被11整除。
n是一个自然数,n的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差被11除余α,则自然数n被11除余α。
⑵奇数位上的数字和是:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)×9+1+3+5+7+9=430
偶数位上的数字和是:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10+8+6+4+2=470
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减的差(大减小)是:
470-430=40,40÷11的余数是7,所以多位数123456789101112……979899除以11的余数是7。
[练习2]若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为。
把题意用数学表达式表示:
2836÷χ=……□□
4582÷χ=……□□
5164÷χ=……□□
6522÷χ=……□□
2836,4582,5164,6522对于自然数χ同余,根据同余的基本性质,他们两两相减的差必是χ的倍数,χ是差的约数。
由于余数是两位数,除数比余数大,所以χ至少是两位数。
分析:
⑴5164-4582=582;6522-5164=1358。
(582,1358)=194。
194=2×97,
χ是194的约数,χ至少是两位数,χ可能是97或194。
⑵检验:
如果χ=194,2836÷194=14……120,余数不是两位数,与题意不符。
如果χ=97,2836÷97=29……23,余数是两位数,与题意相符。
⑶除数是97,余数是23。
除数+余数=97+23=120
答:
除数和余数的和为120。
[练习3]算式1×3×5×7×9×11×13×15×17×19×21×23×25×27×……×2007,计算结果的末两位数字是多少?
分析:
一个数的末两位,相当于除以100的余数。
而100=4×25。
⑴1×3×5×……×2007,这些因数都是奇数,且包含5、15、25、35……
所以乘积必然是5×5=25的倍数,而且乘积是奇数,因此乘积的末两位只能是25或者75。
⑵“积的余数等于余数的积”。
1、3、5、7、……、2007这1004个奇数除以4的余数依次是1、3、1、3、……
1×3×5×……×2007除以4的余数与1×3×1×3×1×3×……×1×3除以4的余数相同,1×3×1×3×1×3×……×1×3除以4又能分组处理,
(1×3×1×3)×(1×3×1×3)×……×(1×3×1×3)共1004÷4=251组,每组除以4都余1,无论多少个1相乘都得1,所以1×3×5×……×2007除以4的余数是1。
⑶检验25或者75这两个数,75除以4余3,只有25除以4余1。
所以原式计算结果的末两位数字是25。
[练习4]一个四位数是这个数的数字和的83倍,求这个四位数。
分析:
⑴设这个四位数为
,根据题意有
=(A+B+C+D)×83
-(A+B+C+D)=(A+B+C+D)×83-(A+B+C+D)
等号左边
-(A+B+C+D)=999A+99B+9C,很明显等号左边是9的倍数。
那么等号右边也必然是9的倍数。
等号右边:
(A+B+C+D)×83-(A+B+C+D)
=(A+B+C+D)×82
=(A+B+C+D)×81+(A+B+C+D)
=(A+B+C+D)×9×9+(A+B+C+D)
于是得出结论,(A+B+C+D)是9的倍数。
⑵
=(A+B+C+D)×83
A+B+C+D≥
=12
,A+B+C+D四个数字最大是36,又是9的倍数。
所以,A+B+C+D只可能等于18、27、36。
⑶当A+B+C+D=18时,18×83=1494,符合题意。
当A+B+C+D=27时,27×83=2241,不符合题意。
当A+B+C+D=36时,36×83=2988,不符合题意。
只有1494=(1+4+9+4)×83,只有1494符合题目要求,所以这个四位数是1494。
答:
一个四位数是这个数的数字和的83倍,这个四位数只能是1494。
第二部分:
补充练习
一、什么是“同余”?
整数a、b除以整数c,得到的余数相同,我们就说整数a、b对于模c同余。
记作:
a≡b(modc)
例如:
15÷4=3……3
23÷4=5……315和23对于除数4同余。
记作:
15≡23(mod4)可以理解为15和23除以4的余数相同。
二、“同余”的四个常用定理是什么?
同余定理
(一)如果a≡b(modm),则m︱(a-b)若两数同余,他们的差必是除数的倍数。
例如,73≡23(mod10)则10︱(73-23)73与23的差是10的倍数。
同余定理
(二)如果a≡b(modm),
c≡d(modm),
则a±c≡b±d(modm)两数和的余数等于余数的和。
例如,73≡3(mod10)两数差的余数等于余数的差。
84≡4(mod10)
73+84≡3+4≡7(mod10)
84-73≡4-3≡1(mod10)
同余定理(三)如果a≡b(除数m),
c≡d(除数m),
则a×c≡b×d(除数m)两数积的余数等于余数的积。
例如,73≡3(除数10)
84≡4(除数10)
73×84≡3×4≡2(除数10)
同余定理(四)如果a≡b(除数m)
则an≡bn(除数m)某数乘方的余数,等于余数的乘方。
例如,40≡1(mod13)
4031≡131≡1(mod13)
同余问题
1.有一个自然数,用它分别去除63、90、130都有余数,且3个余数的和是25,这三个余数中最大的一个是多少?
①设所求的自然数为n。
63÷n=A……r1
90÷n=B……r2
130÷n=C……r3r1+r2+r3=25
②根据同余的第二个性质定理“和的余数等于余数的和”,(63+90+130)÷n的余数是25,63+90+130-25=258,258是n的倍数,n是258的约数。
258=2×3×43,258共有8个约数,但是
<n<63,258的约数中符合条件的只有一个43。
所以n=43。
③63÷43=1……20
90÷43=2……4
130÷43=3……120+4+1=25
三个余数中最大的一个是20。
2、甲、乙、丙三个数分别为603、939、393。
某数A除甲数所得的余数是A除乙数所余数的2倍,A除乙数所得的余数是A除丙数所的余数的2倍。
求A等于多少?
解:
⑴603÷A=B1……4r
939÷A=B2……2r
393÷A=B3……r把余数处理成相同,再相减
⑵603÷A=B1……4r
(939×2)÷A=B2×2……4r
(393×4)÷A=B3×4……4r
393×4=1572,939×2=1878,原题转化成“1572、1878、603除以A的余数相同,求A是多少”。
这三个数两两相减的差是1878-1572=306;1878-603=1275;1572-603=969。
A是306、1275、969的公约数。
(306、1275、969)=51=3×17A是51或17,不会是1和3。
经检验,A等于17。
603÷17=35……8
939÷17=55……4
393÷17=23……2答:
A等于17。
3、现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个,某幼儿园大班人数超过40人,每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是1:
3:
2,这个大班有多少名小朋友?
每人分得糖果多少粒?
饼干多少块?
桔子多少个?
254÷人数=m个……r
210÷人数=m个……3r
186÷人数=m个……2r
解:
设这个大班共有n名小朋友。
由于余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是1:
3:
2,所以剩下的糖果和桔子的数量和正好等于剩下的饼干的数量。
根据同余的性质定理
(一)254+186-210=230一定是n的倍数,n是230的约数。
同样,剩下的糖果数量的2倍正好等于剩下的桔子的数量,于是,254×2-186=322,322一定是n的倍数,n是322的约数。
n是230和322的公约数,而(230,322)=46,而已知条件告诉我们幼儿园大班人数超过40人,所以n=46。
糖果254÷46=5(个)……24(个)
饼干210÷46=3(个)……72(个)
桔子186÷46=3(个)……48(个)
24︰72︰48=1:
3:
2,共有46名儿童,每人分糖果5个,饼干3个,桔子3个。
4、(3130+3031)被13除所得的余数是多少?
解:
㈠31≡5(mod13)
3130≡530(mod13)
51
52
53
54
55
56
57
58
59
510
511
除以13的余数
5
12
8
1
5
12
8
1
5
12
8
30÷4=7……23130≡530≡52≡12(mod13)
所以3130≡12(mod13)
㈡30≡4(mod13)
3031≡431(mod13)
41
42
43
44
45
46
47
48
49
410
411
412
除以13的余数
4
3
12
9
10
1
4
3
12
9
10
1
4n除以13的余数是以6为一个循环周期,31÷6=5……1
3031≡431≡41≡4(mod13)
所以,3031≡4(mod13)
㈢3130+3031≡12+4≡3(mod13)
答:
(3130+3031)被13除所得的余数是3。
5、一个数去除70、103所得的余数为a、2a+2,求a的值。
解:
⑴用数学表达式表述题意
70÷n=A……a……①
103÷n=B……2a+2……②
⑵把①式转化为(70×2+2)÷n=2A……2a+270×2+2=142
142与103除以n的余数相同,根据同余的性质定理
(1),n能整除142与103的差。
142-103=39,n能整除39,n是39的约数。
⑶39的约数有1、3、13、39,经检验,n=13。
70÷13=5……5
103÷13=7……12(12=2×5+2)
所以,n=5
6、一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少?
解:
设这个大于10的自然数为n。
根据同余的性质定理
(二),两数和的余数等于余数的和。
用n去除90、164后所得的两个余数的和等于用n去除220所得的余数,而90+164=254。
254和220除以n所得的余数相同,于是254-220=34是n的倍数,n是34的约数。
34的约数有1、2、17、34,因为n是大于10的自然数,所以n只能是17或34。
当n=34时,90÷34=2……22;164÷34=4……28;220÷34=6……16
22+28≠16所以,n≠34
当n=17时,90÷17=5……5;164÷17=9……11;220÷17=12……16
5+11=16所以,n=17
答:
符合要求的自然数是17。
7、有一串数:
1,3,8,22,60,164,448,……其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个数起,每个数恰好是前两个数之和的2倍。
那么在这串数中,第2000个数除以9的余数是。
①找规律,根据递推关系把这串数除以9的余数列出来如下:
1,3,8,4,6,2,7,0,5,1,3,8,4,6,2,7,0,5,……,
每9个数为一个循环周期,
②2000÷9=222……2,第2000个数除以9的余数与第2个数除以9的余数是一样的,除以9的余数是3。
8、一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,这个数是多少?
解:
先把已知条件用数学表达式写出来,设所求的自然数为N。
N÷11=……8
N÷13=……10
这两个除法算式的余数与除数的差都是“3”,11-8=13-10=3。
把被除数N加上3之后除以11和13都能整除,也就是说(N+3)是11和13的公倍数。
[11,13]=143,143-3=140,140就是所求的数。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 练习
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)