中考几何题中的新定义型题集锦.docx
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中考几何题中的新定义型题集锦
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在近年的中考试题中,涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题,为了便于同学们了解掌握这方面的信息,现从近年的中考试题中精选数例,供同学们参考与借鉴。
一、定义一种新的几何体
例1(2001年泰州市)我们把相似形的概念推广到空间:
如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体,如图1,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体。
(1)下列几何体中,一定属于相似体的是()
A.两个球体B.两个圆锥体
C.两个圆柱体D.两个长方体
(2)请猜想出相似体的主要性质:
①相似体的一切对应线段(或弧长)的比等于_______;
②相似体表面积的比等于_______;
③相似体体积的比等于_______。
(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一个人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m,体重为18kg,到了初三,
我们称
是这个五边形的一条中对线,如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分。
求证:
五边形的每条边都有一条对角线和它平行。
例4(2007年连云港市)如图4
(1),点C将线段AB分成两部分,如果AC:
AB=BC:
AC,那么称点C为线段AB的黄金分割点。
某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:
直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为
、
,如果
,那么称直线l为该图形的黄金分割线。
(1)研究小组猜想:
在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点,如图4
(2),则直线CD是△ABC的黄金分割线。
你认为对吗?
为什么?
(2)请你说明:
三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组在进一步探究中发现:
过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连结EF,如图4(3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线。
请你说明理由。
(4)如图4(4),点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线,请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边的黄金分割点。
四、定义一种新的点
例5(2006年安徽省实验区)如图6,凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=
,且∠BPC=∠CPD=
,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。
(1)在图8的正方形ABCD内画一个半等角点,且满足
。
(2)在图9的四边形ABCD中画一个半等角点,保留画图痕迹(不需写出画法)。
(3)若四边形ABCD有两个半等角点
、
(如图7),证明线段
上任意一点也是它的半等角点。
例6(2007年宁波市)四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两端点的距离相等,则称这个点为这个四边形的准等距点,如图10
(1),点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点,PD=PB,PA
PC,则点P为四边形ABCD的准等距点。
(1)如图10
(2),画出菱形ABCD的一个准等距点;
(2)如图10(3),作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(3)如图10(4),在四边形ABCD中,P是AC上的点,
PC,延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF,求证:
点P是四边形ABCD的准等距点;
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数,不必证明)。
五、定义一种新的三角形
例7(2005年天津市)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示。
(I)如图11,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠B=
,求证;
;
(II)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”,本题第(I)问中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,如图12,关系式
是否仍然成立?
并证明你的结论;
(III)试求出一个倍角三角形的三条边长,使这三条边长恰好为三个连续的正整数。
六、定义一种新的矩形
例8(2005年资阳市)阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:
三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图13所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”,显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个。
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”。
(2)如图14,若△ABC为直角三角形,且∠C=
,在图14中,画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图15中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形,并加以证明。
七、定义一种新的四边形
例9(2006年北京市)我们给出如下定义:
若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形。
请解答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2)探究:
当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为
时,这对
角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论。
例10(2007年北京市课标卷)我们知道:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地,我们定义:
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称。
(2)如图18,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于点O,若∠A=
,∠DCB=∠EBC=∠A/2。
请写出图中一个与∠A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
(3)在△ABC中,如果∠A是不等于
的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且∠DCB=∠EBC=∠A/2,探究:
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论。
八、定义一种新的相似形
例11(2005年嘉兴市)某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去。
例如,可以定义:
“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质:
弧长比等于半径比,面积比等于半径比的平方……
请你协助他们探索这个问题。
(1)写出判定扇形相似的一种方法:
若________,则两个扇形相似;
(2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半径为a,弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为_________;
(3)图20是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为
,AB长为
,现要做一个和它形状相同,面积是它一半的纸扇(如图21),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径。
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