江苏省扬州市高三数学下学期开学考试试题.docx
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江苏省扬州市高三数学下学期开学考试试题
江苏省扬州中学2018届高三数学下学期开学考试(2月)试题
一.填空题:
本大題共14小败,每小題5分,共70分.不需要写出解答过程。
1.复数的共轭复数是________.
2.设全集,则图中阴影部分表示的区间是________.
3.运行如图所示的伪代码,其结果为________.
S←1
ForIFrom1To7Step2
S←S+I
EndFor
PrintS
4.若命题“,”是假命题,则实数的取值范围是.
5.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为:
甲组:
88、89、90;
乙组:
87、88、92,如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.
6.矩形中,沿,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体外接球的体积为.
7.设满足,则的最大值为.
8.已知为等差数列,为其前项和,公差为,若,则的值为________.
9.已知函数,当时恒有,则关于的不等式的解集为________.
10.在平面直角坐标系中,过点的直线与圆相切于点,与圆相交于点,且,则正数的值为.
11.若函数在上单调递增,则实数的取值范围为______________________.
12.函数,若关于的方程至少有两个不相等的实数根,则实数的取值范围为_____________.
13.在平面直角坐标系中,已知点在椭圆上,点满足,且,则线段在轴上的投影长度的最大值为.
14.在中,若当面积取最大值时,则.
二.解答题:
本大题共6小题,共计90分
15.(本小题满分14分)已知的内角所对的边分别为,已知.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为,求.
16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,已知平面平面.
(1)若,求证:
;
(2)若过点作直线平面,求证:
平面.
17.(本小题满分14分)如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图),水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形,南北向渠宽为4m,东西向渠宽m(从拐角处,即图中A,B处开始).假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差).
(1)在水平面内,过点A的一条直线与水渠的内壁交于P,Q两点,且与水渠的一边的夹角为θ,将线段PQ的长度l表示为θ的函数;
(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计),竹竿始终浮于水平面内,且不发生形变,问:
这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)?
请说明理由.
18.(本小题满分16分)如图,点A(1,)为椭圆+=1上一定点,过点A引两直线与椭圆分别交于B,C两点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线AB,AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形.
①求直线BC的斜率;
②求△ABC的面积的最大值,并求出此时直线BC的方程.
19.(本小题满分16分)函数f(x)=1+lnx-,其中k为常数.
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若k=5,求证:
f(x)有且仅有两个零点;
(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
20.(本小题满分16分)已知有穷数列,对任意的正整数,都有成立.
(1)若是等差数列,且首项和公差相等,求证:
是等比数列;
(2)若是等差数列,且是等比数列,求证:
.
附加题
1.已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=,属于特征值1的一个特征向量α2=.求矩阵A,并求出A的逆矩阵.
2.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知圆ρ=4sin被射线θ=θ0所截得的弦长为2,求θ0的值.
3.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0
(1)求p的值;
(2)设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望E().
4.在数列{an}中,an=cos(n∈N*)
(1)试将an+1表示为an的函数关系式;
(2)若数列{bn}满足bn=1-(n∈N*),猜想an与bn的大小关系,并证明你的结论.
参考答案
1. +I2. (-∞,-1)∪(2,+∞)3.164.5.6.
7.28. 9.10.411. [1,+∞)12. ∪(1,+∞)
13.1014.
15.
(1)由已知,
结合正弦定理得,
所以,
即,即,因为,所以.…………7分
(2)由,得,即,
又,得,
所以,又.………………14分
16.证明:
(1)因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面.因为平面,所以.又因为平面所以平面又因为平面所以.…………7分
(2)在平面内过作,垂足为,因为平面平面,
又因为平面平面,平面,所以平面,
又因为平面,所以,又平面,平面所以平面………………14分
17.解
(1)由题意,PA=,QA=,
所以l=PA+QA=+………………6分
(2)设f(θ)=+,θ∈.
由f′(θ)=-+=,
令f′(θ)=0,得tanθ0=.………………10分
且当θ∈(0,θ0),f′(θ)<0;当θ∈,f′(θ)>0,所以f(θ)在(0,θ0)上单调递减,在上单调递增,
所以当θ=θ0时,f(θ)取得极小值,即为最小值.
当tanθ0=时,sinθ0=,cosθ0=,所以f(θ)的最小值为3,
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3m.因为3>7,所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.
答:
竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.………………14分
18.解
(1)把点A(1,)代入+=1得n=6,故椭圆方程为+=1.…………2分
(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直.
因此其斜率必存在,设两腰的斜率分别为k1,k2,
由
消去y,得(3+k)x2+2k1(-k1)x+(-k1)2-6=0,
∴点B的横坐标为x=1-(x=1为点A的横坐标),
∴点B的纵坐标为y=-,
即B.………………6分
同理可得点C的坐标为C.
∵k1+k2=0,∴直线BC的斜率为kBC=.………………8分
②设B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC的方程为y=x+m,代入方程+=1得6x2+2mx+m2-6=0,
∴x1+x2=-m,x1x2=,
∴BC=·|x1-x2|=2·=,
又点A到直线BC的距离为d=,
∴S△ABC=BC·d==,
∴当m2=6,即m=或m=-时,△ABC面积取得最大值.
此时,直线BC的方程为y=x±.………………16分
19.
(1)解 当k=0时,f(x)=1+lnx.
因为f′(x)=,从而f′
(1)=1.
又f
(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-1=x-1,
即x-y=0.………………2分
(2)证明 当k=5时,f(x)=lnx+-4.
因为f′(x)=,从而当x∈(0,10)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(10,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=10时,f(x)有极小值.
因为f(10)=ln10-3<0,f
(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)之间有一个零点.
因为f(e4)=4+-4>0,所以f(x)在(10,e4)之间有一个零点.
从而f(x)有两个不同的零点.………………8分
(3)解 方法一 由题意知,1+lnx->0在(2,+∞)上恒成立,
即k<在(2,+∞)上恒成立.
令h(x)=,则h′(x)=.
设ν(x)=x-2lnx-4,则ν′(x)=.
当x∈(2,+∞)时,ν′(x)>0,所以ν(x)在(2,+∞)上为增函数.
因为ν(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,ν(9)=5-2ln9>0,
所以存在x0∈(8,9),ν(x0)=0,即x0-2lnx0-4=0.
当x∈(2,x0)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
所以当x=x0时,h(x)的最小值为
h(x0)=.
因为lnx0=,所以h(x0)=∈(4,4.5).
故所求的整数k的最大值为4.………………8分
方法二 由题意知,1+lnx->0在(2,+∞)上恒成立.
f(x)=1+lnx-,f′(x)=.
①当2k≤2,即k≤1时,f′(x)>0在(2,+∞)上恒成立,
所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.
而f
(2)=1+ln2>0成立,所以满足要求.
②当2k>2,即k>1时,
当x∈(2,2k)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2k,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=2k时,f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.
从而f(x)>0在(2,+∞)上恒成立等价于2+ln2k-k>0.
令g(k)=2+ln2k-k,则g′(k)=<0,从而g(k)在(1,+∞)为减函数.
因为g(4)=ln8-2>0,g(5)=ln10-3<0,
所以使2+ln2k-k>0成立的最大正整数k=4.
综合①②,知所求的整数k的最大值为4.
20.证明:
(1)依题意,,且,………………2分
因为,①
所以(),②
①②得,(),③………………4分
所以(),④
③④得,(),即(),………………6分
①中,令得,,即,所以,所以,,
从而,即证是等比数列;………………8分
(2)因为是等比数列,不妨设公比为,
因为,①
所以(),②
①②得,(),
即(),………………13分
因为是等差数列,所以,此时()且对也适合,
所以.………………16分
附加题参考答案
1.解:
由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1=可得,=6,
即c+d=6;
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2=,可得=,
即3c-2d=-2,解得即A=………………6分
A的逆矩阵是………………10分
2.解 圆ρ=4sin的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4,
射线θ=θ0的直角坐标方程可以设为y=kx(x≥0,k>0).………………6分
圆心(1,)到直线y=kx的距离d=.
根据题意,得2=2,解得k=.
即tanθ0=,又θ0∈,所以θ0=.………………10分
3.解:
(1)设事件:
“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:
“前两次投篮均不中”,
依题意,,解得;答:
(3分)
(2)依题意,的所有可能值为0,1,2,3,
且,,
,故,
的概率分布表为:
0
1
2
3
………………8分
E()(次).
答:
E()………………10分
4.解
(1)an=cos=cos
=22-1,
∴an=2a-1,………………2分
∴an+1=±,又n∈N*,n+1≥2,an+1>0,
∴an+1=.………………3分
(2)当n=1时,a1=-,b1=1-2=-1,∴a1>b1,
当n=2时,a2=,b2=1-=,∴a2=b2,
当n=3时,a3=,b3=1-=,∴a3<b3,
猜想:
当n≥3时,an<bn,下面用数学归纳法证明.………………5分
①当n=3时,由上知,a3<b3,结论成立.
②假设当n=k,k≥3,n∈N*时,ak<bk成立,
即ak<1-,
则当n=k+1时,a
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