中考数学二次函数性质综合题.docx
- 文档编号:10074752
- 上传时间:2023-02-08
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:85.10KB
中考数学二次函数性质综合题.docx
《中考数学二次函数性质综合题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二次函数性质综合题.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中考数学二次函数性质综合题
第二部分题型研究
题型二 二次函数性质综合题
类型二 二次项系数不确定型
针对演练
1.(2013杭州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A、B(点A、B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A、C在一次函数y2=
x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若抛物线在-2≤x≤3的区间上的最小值为-3,求m的值;
(3)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,且该抛物线在
-2<x<-1这一段位于直线l的上方,在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.
第2题图
3.已知二次函数y=kx2+(3k+2)x+2k+2.
(1)若二次函数图象经过直线y=x-1与x轴的交点,求此时抛物线的解析式;
(2)点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数图象上的两个点,若满足x1+x2=-3,试比较y1和y2的大小关系.
4.(2012杭州)在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
考向 2) 函数类型不确定型(杭州:
2015.20,2014.23,2012.18)
针对演练
1.(2012杭州)当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?
请写出你的判断,并说明理由,若有,请求出最大值.
2.(2015杭州)设函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](k是常数).
(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象;
(2)根据图象,写出你发现的一条结论;
(3)将函数y2的图象向左平移4个单位,再向下平移2个单位,得到函数y3的图象,求函数y3的最小值.
第2题图
3.(2011杭州)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数).
(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,画出这两个特殊函数的图象;
(2)根据所画图象,猜想出:
对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明;
(3)对任意负实数k,当x<m时,y随着x的增大而增大,试求出m的一个值.
4.已知函数y=(k-1)x2+x-k+2(k为常数).
(1)求证:
不论k为何值,该函数的图象与x轴总有交点;
(2)当k为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点;
(3)试问该函数是否存在最小值-3?
若存在,求出此时的k值;若不存在,请说明理由.
5.已知关于x的函数y=kx2+(2k-1)x-2(k为常数).
(1)试说明:
无论k取什么值,此函数图象一定经过(-2,0);
(2)在x>0时,若要使y随x的增大而减小,求k的取值范围;
(3)若该函数图象为抛物线,将其向上平移2个单位后,平移前后图象、对称轴和y轴围成的图形面积为4,求此时k的值.
6.关于x的函数y=2kx2+(1-k)x-1-k(k是实数),探索发现了以下四条结论:
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;
②当k=-3时,函数图象的顶点坐标是(
,
);
③当k>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于
;
④当k≠0时,函数图象总经过两个定点.
请你判断四条结论的真假,并说明理由.
答案
1.解:
∵点C在一次函数y2=
x+n的图象上,线段OC长为8,∴n=±8,
①当n=8时,一次函数为y2=
x+8,当y=0时,x=-6,求得点A的坐标为A(-6,0),
∵抛物线y1=ax2+bx+c
(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且线段AB长为16,
∴这时抛物线开口向下,B(10,0);
如解图①所示,抛物线的对称轴是x=2,
由图象可知:
当y1随着x的增大而减小时,自变量x的取值范围是x≥2;
第1题解图①
②当n=-8时,一次函数为y2=
x-8,当y=0时,x=6,求得点A的坐标为(6,0),
∵抛物线y1=ax2+
bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且线段AB长为16,
∴这时抛物线开口向上,B(-10,0),
如解图②所示,抛物线的对称轴是x=
-2,由图象可知:
当y1随着x的增大而减小时,自变量x的取值范围是x≤-2;
第1题解图②
综合以上两种情况可得:
当y1随着x的增大而减小时,自变量x的取值范围是x≥2或x≤-2.
2.解:
(1)当x=0时,y=-2,
∴A(0,-2),
∵抛物线的对称轴为直线x=-
=1,
∴B(1,0);
(2)易知抛物线y=mx2-2mx-2的对称轴为x=1,
当m>0时,抛物线开口向上,
∵-2≤x≤3,∴y最小值在x=1处取得,y最小值=-m-2,
∴-m-2=-3,∴m=1,
当m<0时,抛物线开口向下,
y最小值在x=-2处
取得,即8m-2=-3,∴m=-
.
故m的
值为1或-
.
(3)易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′(2,-2),
则直线l经过A′、B,
设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
∴直线l的解析式为y=-2x+2;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线在2<x<3这一段与在-1<x<0这一段关于对称轴对称,
则抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,在-1<x<0这一段位于直线
l的下方,
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1,
当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4,
∴抛物线过点(-1,4),
当x=-1时,m+2m-2=4,
解得m=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.
3.解:
(1)∵直线y=x-1与x轴的交点为(1,0),y=kx2+(3k+2)x+2k+
2经过点(1,0),
∴0=k+3k+2+2k+2,
∴6k+4=0,即k=-
.
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
.
(2)∵点A(x1,y1),B(x2,y2)是二次函数图象上两个点,
∴y1=kx
+(3k+2)x1+2k+2,y2=kx
+(3k+2)x2+2k+2,
两式相减,得y1-y2=[kx
+(3k+2)x1+2k+2]-[kx
+(3k+2)x2+2k+2]
=k(x1+x2)(x1-x2)+(3k+2)(x1-x2)
=-3k(x1-x2)+(3k+2)(x1-x2)
=2(x1-x2),
当x1>x2时,y1>y2;
当x1=x2时,y1=y2;
当x1<x2时,y1<y2;
4.解:
(1)∵点A(1,k)在反比例函数图象上,
∴设反比例函数为y=
,
∵k=-2,∴y=-
;
(2)要使得反比例函数是y随着x的增大而增大,
∴k<0.
而对于二次函数y=kx2+kx-k,其对称轴为x=-
,
要使二次函数满足上述条件,在k<0的情况下,
则x必须在对称轴的左边,
即x<-
时,才能使得y随着x的增大而增大;
综上所述,则k<0,且x<-
时,反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大;
(3)由
(2)可得Q(-
,-
k);
第4题解图
∵A点与B点关于原点对称,
∴原点O平分AB.
又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半,
∴OQ=OA=OB.
作AD⊥OC,QC⊥OC,OQ=
=
.
而OA=
=
,
∴
=
,
则k=
或k=-
.
考向2 函数类型不确定型
针对演练
1.解:
k只有取-1时,才有最大值,
当k=1,函数为y=-4x+4,是一次函数,一次函数无最值,
当k=2,函数为y=x2-4x+3,为二次函数,而此函数开口向上,则无最大值;
当k=-1,函数为y=-2x2-4x+6,为二次函数,此函数开口向下,有最大值,变形为y=-2(x+1)2+8,则当x=-1时,ymax=8.
2.解:
(1)当k=0时,y=-(x-1)(x+3)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
则此函数为二次函数,它的图象与x轴交于点(1,0)、(-3,0),与y轴的交点为(0,3),顶点为(-1,4),
利用描点法所画函数的图
象如解图:
第2题解图
(2)①图象都经过点(1,0)和点(-1,4);
②图象总交x轴于点(1,0);
③k取0和2时的函数图象关于点(0,2)中心对称;(答案不唯一,写出一条即可)
(3)k=2时,函数y2=(x-1)2,
此函数图象的顶点坐标为(1,0),向左平移4个单位,再向下平移2个单位,
得到函数y3图象的顶点坐标为(-3,-2),则y3=(x+3)2-2,
∴当x=-3时,函数的最小值等于-2.
3.解:
(1)如两个函数为y=x+1,y=x2+3x+1,
画出函数图象如解图,
第3题解图
(2)不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(-2,-1),且与x轴至少有
1个交点.
证明如下:
由y=kx
2+(2k+1)x+1,得k(x2+2x)+(x-y+1)=0.
当x2+2x=0且x-y+1=0,即x=0,y=1或x=-2,y=-1时,上式对任意实数k都成立,所以函数的图象必过定点(0,1),(-2,-1).
又因为当k=0时,函数y=x+1的图象与x轴有一个交点;
当k≠0时,∵Δ=(2k+1)2-4k=4k2+1>0,所以函数图象与x轴有两个交点.
所以函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴至少有1个交点.
(3)只要写出m≤-1的数都可以.
∵k<0,
∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴x=-
的左侧时,y随x的增大而增大.
4.
(1)证明:
若k=1时,函数为一次函数,与x轴有交点,
若k≠1时,函数为二次函数y=(k-1)x2+x-k+2
Δ=1-4(k-1)(2-k)=(2k-3)2≥0,
∴不论k为何值,该函数的图象与x轴总有交点;
(2)解:
∵函数y=(k-1)
x2+x-k+2过原点,
∴-k+2=0,
∴k=2,
∴y=x2+x,
令y=x2+x=0,
解得x=0或x=-1,
∴函数图象与x轴的另一个交点为(-1,0);
(3)解:
①k-1=0即k=1时,函数y=x+1为一次函数,无最小值.
②当k-1>0即k>1时函数有最小值,且最小值在函数顶点处取得.即
=-3,
解得k=3±
,均符合题意.
故此时k的值为3±
.
5.解:
(1)将x=-2代入,得y=k(-2)2+(2k-1)·(-2)-2=0,
故不论k取何值,此函数图象一定经过点(-2,0).
(2)①若k=0,此函数为一次函数y=-x-2,
当x>0时,y随x的
增大而减小,
∴k=0符合题意.
②若k≠0,此函数为二次函数,而图象一定经过(-2,0)、(0,-2),
∴要使当x>0时,y随x的增大而减小,开口向下,需满足k<0即可.
综上,k的取值范围是k≤0.
(3)由题意可知2×|
|=4.
解得k=-
或k=
.
故此时k的值为-
或
.
第5题解图
6.解:
①假命题;
理由:
当k=0时,y=x-1为一次函数,
与坐标轴只有两个交点;
②真命题;
理由:
当k=-3时,y=-6x2+4x+2=-6(x-
)2+
,
∴顶点坐标是(
,
);
③真命题;
理由:
当k>0时,令y=0得:
Δ=(1-k)2-4×2k(-1-k)=(3k+1)2,
∴x=
,
∴x1=1,x2=-
-
,
∵|x1-x2|=
+
>
,
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于
;
④真命题;
理由:
当k≠0时,y=2kx2+(1-k)x-1-k=(2x2-x-1)k+x-1,
当2x2-x-1=0时,y的值与k无关,
此时x1=1,x2=-
;
当x1=1时,y1=0
;
当x2=-
时,y2=-
,
∴函数图象总经过两个定点(1,0),(-
,-
).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 二次 函数 性质 综合