七年级下一元一次不等式组的典型应用题归纳.docx
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七年级下一元一次不等式组的典型应用题归纳
(归纳)七年级下数学一元一次不等式(组)的典型应用题
一.列不等式解应用题
类型一
例1.小华家距离学校2.4千米.某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时,发现离到校时间只有12分钟了.如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少?
解:
设,依题意得:
练习一:
1.某城市平均每天产生垃圾700吨,由甲、乙两个垃圾厂处理.如果甲厂每小时可处理垃圾55吨,需花费550元;乙厂每小时处理45吨,需花费495元.如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元,问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?
2.某汽车厂改进生产工艺后,每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆,那么15天的产量就超过了原来20天的产量,求原来每天最多能生产多少辆汽车?
类型二
例2.某单位要印刷一批宣传资料,在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下,甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件,甲印刷厂提出:
凡印刷数量超过2000份的,超过部分的印刷费可按9折收费;乙印刷厂提出:
凡印刷数量超过3000份的,超过部分印刷费可按8折收费.
(1).若该单位要印刷2400份宣传资料,则甲印刷厂的费用是______,乙印刷厂的费用是______.
(2).根据印刷数量大小,请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?
练习二:
1.国庆期间两名家长计划带几个孩子去旅游,他们联系了两家旅行社,报价均为每人500元,经协商甲旅行社的优惠条件是:
两名家长全额收费,孩子均按7折收费;乙旅行社的条件是:
家长和孩子均按8折收费。
假设两名家长带领x名孩子去旅游,他们应选择哪家旅行社?
类型三
例3.某种商品进价为150元,出售时标价为225元,由于销售情况不好,商品准备降价出售,但要保证利润不低于10%,那么商店最多降价多少元出售商品?
练习三:
1、某商店购进一批衬衫,甲顾客以7折的优惠价格买了20件,而乙顾客以8折的优惠价格买了5件,结果商店都获利200元,那么这批衬衫的进价元,售价元。
二.列不等式(组)解应用题
例1、今秋,某市白玉村水果喜获丰收,果农王灿收获枇杷20吨,桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.
(1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地?
有几种方案?
(2)若甲种货车每辆要付运输费300元,乙种货车每辆要付运输费240元,则果农王灿应选择哪种方案,使运输费最少?
最少运费是多少?
解:
(1)设安排甲种货车x辆
,则
安排乙种货车(8-x)辆,依题意,得
4x+2(8-x)≥20,且x+2(8-x)≥12,解此不等式组,得x≥2,且x≤4,
即2≤x≤4.
因为x是正整数,所以x可取的值为2,3,4.因此安排甲、乙两种货车有三种方案:
甲种货车
乙种货车
方案一
2辆
6辆
方案二
3辆
5辆
方案三
4辆
4辆
(2)方案一所需运费300×2+240×6=2040(元);方案二所需运费300×3+240×5=2100(元);方案三所需运费300×4+240×4=2160(元).所以王灿应选择方案一运费最少,最少运费是2040元.
练习一:
1、某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划用这些原料生产A、B两种产品共50kg.已知生产一件A种产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg;生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料
10kg,
(1)设生产x件A种产品,写出x应满足的不等式组?
(2)有哪几种符合题意的生产方案?
请你帮助设计.
例2、宁启铁路泰州火车站有某公司待运的甲种货物1580吨,乙种货物1050吨,现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京。
已知A、B两种型号的车厢每节配载甲、
乙两种货物的装载能力和每节车厢的运费见下表:
A型(单位:
节)
B型(单位:
节
)
甲(单位:
吨)
35
25
乙(单位:
吨)
15
35
运费(单位:
万元/节)
0.5
0.8
(1)按此要求安排A、B两种货厢的节数,共有几种方案
?
(6分)
(2)哪种方案的运费最少,最少运费是多少?
(4分)
练习二:
2、某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?
请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明
(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
例3、某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价的售价如下表(:
获利=售价-进价)
甲
乙
进价(元/件)
15
35
售价(元/件)
20
45
(1)若商店计划销售完这批商品后,能获得1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
(2)若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元,请问有哪几种购货方案?
并直接写出其中获利最大的购货方案。
解:
、
(1)设甲种商品进x件,乙y件,则
即购进甲100件,乙60件
(2)设该商店购进甲x件,乙(160-x)件,则15x+35(160-x)<4300
(20-15)x+(45-35)(160-x)>1260
解得65 方案一 甲: 66件乙: 94件 方案二甲: 67件 乙: 93件 获利最大的购货方案是方案一,即购进甲66件,乙94件时获利最大 练习三: 3、新郑绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了A、B两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表: 种植户 种植A类蔬菜面积 (单位: 亩) 种植B类蔬菜面积 (单位: 亩) 总收入 (单位: 元) 甲 3 1 12500 乙 2 3 16500 说明: 不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等. ⑴求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元? ⑵某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜,为了使总收入不低于63000元,且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有租地方案. 例4、某公司为了更好得节约能源,决定购买一批节省能源的10台新机器。 现有甲、乙两种型号的设备,其中每台的价格、工作量如下表。 经调查: 购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元. 甲型 乙型 价格(万元/台) 产量(吨/月) 240 180 (1)求a,b的值; (2)经预算: 该公司购买的节能设备的资金不超过110万元,请列式解答有几种购买方案可供选择; (3)在 (2)的条件下,若每月要求产量不低于2040吨,为了节约资金,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案. 解: (1)由题意可知: 答: a,b的值分别是12,10. (2)设购买A型设备x台,B型设备(10-x)台,则: 12x+10(10-x)≤110-∴x≤5,∵x取非负整数∴x=0,1,2,3,4,5,有6种购买方案 (3)由题意: 240x+180(10-x)≥2040-∴x≥4∴x为4或5.当x=4时,购买资金为: 12×4+10×6=108(万元) 当x=5时,购买资金为: 12×5+10×5=110(万元) 最省 钱的购买方案为,应选购A型设备4台,B型设备6台- 练习四: 4、为实现区域教育均衡发展,我市计划对某区A、B两类薄弱学校全部进行改造.根据预算,共需资金1575万元.改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元;改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元. (1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元? (2)若该区的A类学校不超过5所,则B类学校至少有多少所? (3)我市计划今年对该区A、B两类学校共6所进行改造,改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元;地方财政投入的改造资金不少于70万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案? (2)设该县有A、B两类学校分别为m所和n所. 则 ∵A类学校不超过5所 ∴ ∴ 即: B类学校至少有15所. (3)设今年改造A类学校x所,则改造B类学校为(6-x)所, 依题意得: 解之得 ∵x取整数 ∴x=1,2,3,4 即: 共有4种方案. 例5.(桂林)某校初三年级春游,现有36座和42座两种客车供选择租用,若只租用36座客车若干辆,则正好坐满;若只租用42座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超过30人;已知36座客车每辆租金400元,42座客车每辆租金440元. (1)该校初三年级共有多少人参加春游? (2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案. 【思路点拨】本题的关键语句是: “若只租用42座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超过30人”.理解这句话,有两层不等关系. (1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数. (2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30. 【答案与解析】 解: (1)设租36座的车x辆. 据题意得: ,解得: . 由题意x应取8,则春游人数为: 36×8=288(人). (2)方案①: 租3 6座车8辆的费用: 8×40 0=3200(元), 方案②: 租42座车7辆的费用: 7×440=3080(元), 方案③: 因为42×6+36×1=288,所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用: 6×440+1×400=3040(元).所以方案③: 租42座车6辆和36座车1辆最省钱. 练习五: 5….5.12四川地震后,怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作.拟派30名医护人员,携带20件行李(药品、 器械),租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,日夜兼程赶赴灾区.经了解,甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李,乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李. (1)设租用甲种汽车x辆,请你设计所有可能的租车方案; (2)若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元,请你选择最省钱的租车方案. 参考答案 练习一: 1、 (1) (2)由 (1)得30≤x≤32,共三种: 生产30件A种产品,生产20件B种产品; 生产31件A种产品,生产19件B种产品;生产32件A种产品,生产18件B种产品. 提示: 根据题意列出不等式组,由整数解确定方案. 4一元一次不等式的应用.. 方案型;图表型.分析: (1)设该厂生产A型挖掘机x台,则生产B型挖掘机100﹣x台,由题意可得: 22400≤200x+240(100﹣x)≤22500,求解即得; (2)计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案. 练习二: 2、解: (1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得 …1分 …2分解这个不等式组,得18≤x≤20. 由于x只能取整数,∴x的取值 是18,19,20. …3分 当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10. 故有三种组建方案: 方案一,中型图书角18个,小型图书角12个; 方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.…6分 (2)方案一的费用是: 860×18+570×12=22320(元);方案二的费用是: 860×19+570×11=22610(元); 方案三的费用是: 860×20+570×10=22900(元).故方案一费用最低,最低费用是22320元. 练习三: 3、解: (1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元,y元. 由题意得: 解得: 答: A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元,3500元. (2)设用来种植A类蔬菜的面积a亩,则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩. 类别 种植面积 单位: (亩) A 11 12 13 14 B 9 8 7 6 由题意得: 解得: 10<a≤14. ∵a取整数为: 11,12,13,14.∴租种方案如上表 练习四: 4、解: (1)设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资 金分别为a万元和b万元.依题意得: 解之得 答: 改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元. (2)设该县有A、B两类学校分别为m所和n所. 则 ∵A类学校不超过5所 ∴ ∴ 即: B类学校至少有15所. (3)设今年改造A类学校x所,则改造B类学校为(6-x)所, 依题意得: 解之得 ∵x取整数 ∴x=1,2,3,4 即: 共有4种方案. 练习五: 解: (1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车 ,则: ,解得: ,∵ 应为整数,∴ 或8, 课后练习 1.若干名学生,若干间宿舍,若每间住4人将有20人无法安排住处;若每间住8人,则有一间宿舍的人不空也不满.问学生有多少人? 宿舍有几间? 2、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿,已知该班女生少于35人,若每个房间住5人,则剩下5人没处住;若每个房间住8人,则空一间房,并且还有一间房也不满。 有多少间宿舍,多少名女生? 3、某地区果农收获草莓30吨,枇杷13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往省城,已知甲种货车可装草莓4吨和枇杷1吨,乙种货车可装草莓、枇杷各2吨. (1)该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案请您帮助设计出来; (2)若甲种货车每辆要付运输费2000元,乙种货车每辆要付运输费1300元,则该果农应选择哪种运输方案才能使运费最少,最少运费是多少元? 4.2008年5月12日,汶川发生了里氏8.0级地震,给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极捐款,其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表: 老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上,但他知道下面三条信息: 信息一: 这三个班的捐款总金额是7700元; 信息二: 二班的捐款金额比三班的捐款金额多300元; 信息三: 一班学生平均每人捐款的金额大于48元,小于51元. 请根据以上信息,帮助老师解决: (1)二班与三班的捐款金额各是多少元? (2)一班的学生人数是多少? 5.在“5·12大地震”灾民安置工作中,某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务.某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A,B两种型号的板房共400间,在搭建过程中,按实际需要调运这两种板材.已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示: 板房型号 甲种板材 乙种板材 安置人数 A型板房 54m2 26m2 5 B型板房 78m2 41m2 8 问: 这400间板房最多能安置多少灾民? 答案 6、某工程机械厂根据市场需求,计划生产A、B两型号的大型挖掘机共100台,该厂所筹生产资金不少于22400万元,但不超过22500万元,且所筹集的资金全部用于生产此两型号挖掘机,所生产的此两型号挖掘机可全部售出,此两型号挖掘机的生产成本和售价如下表: (1)该厂对这两型号挖掘机有哪几种生产方案? (2)该厂如何生产才能获得最大利润? 7、某地区果农收获草莓30吨,枇杷13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往省城,已知甲种货车可装草莓4吨和枇杷1吨,乙种货车可装草莓、枇杷各2吨. (1)该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案请您帮助设计出来; (2)若甲种货车每辆要付运输费2000元,乙种货车每辆要付运输费1300元,则该果农应选择哪种运输方案才能使运费最少,最少运费是多少元? 8、某校师生积极为汶川地震灾区捐款捐物,在得知灾区急需帐篷后,立刻到当地的一家帐篷厂采购,帐篷有两种规格,可供3人居住的小帐篷,价格每顶160元;可供10人居住的大帐篷,价格每顶400元.学校花去捐款96000元采购这两种帐篷,正好可供2300人居住.学校准备租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将所购帐篷紧急运往灾区,已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷,乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷. 3. (1)设应安排x辆甲种货车,那么应安排(10-x)辆乙种货车运送这批水果,由题意得: x+2(10-x)≥30 4x+2(10-x)≥13…………2 解得5≤x≤7,又因为x是整数,所以x=5或6或7…2分 方案: 方案一: 安排甲种货车5辆,乙种货车5辆; 方案二: 安排甲种货车6辆,乙种货车4辆; 方案三: 安排甲种货车7辆,乙种货车3辆.……1分 2)在方案一中果农应付运输费: 5×2000+5×1300=16500(元) 在方案二中果农应付运输费: 6×2000+4×1300=17200(元) 在方案三中果农应付运输费: 7×2000+3×1300=17900(元)…………3分 答: 选择方案一,甲、乙两种货车各安排5辆运输这批水果时,总运费最少,最少运费是16500元 6. (1)设该厂生产A型挖掘机x台,则生产B型挖掘机100﹣x台,由题意可得: 22400≤200x+240(100﹣x)≤22500,求解即得; (2)计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案. 解: (1)设该厂生产A型挖掘机x台,则生产B型挖掘机(100﹣x)台, 由“该厂所筹生产资金不少于22400万元,但不超过22500万元”和表中生产成本可得: 22400≤200x+240(100﹣x)≤22500,37.5≤x≤40, ∵x为整数,∴x取值为38、39、40.故有三种生产方案. 即: 第一种方案: 生产A型挖掘机38台,生产B型挖掘机62台; 第二种方案: 生产A型挖掘机39台,生产B型挖掘机61台; 第三种方案: 生产A型挖掘机40台,生产B型挖掘机60台. (2)三种方案获得的利润分别为: 第一种方案: 38×(250﹣200)+62×(300﹣240)=5620; 第二种方案: 39×(250﹣200)+61×(300﹣240)=5610; 第三种方案: 40×(250﹣200)+60×(300﹣240)=5600. 故生产A型挖掘机38台,生产B型挖掘机62台的方案获得利润最大. 7、1)设应安排x辆甲种货车,那么应安排(10-x)辆乙种货车运送这批水果,……1分 由题意得: x+2(10-x)≥304x+2(10-x)≥13…2分 解得5≤x≤7,又因为x是整数,所以x=5或6或7…2分 方案: 方案一: 安排甲种货车5辆,乙种货车5辆; 方案二: 安排甲种货车6辆,乙种货车4辆; 方案三: 安排甲种货车7辆,乙种货车3辆.…1分 2)在方案一中果农应付运输费: 5×2000+5×1300=16500(元) 在方案二中果农应付运输费: 6×2000+4×1300=17200(元) 在方案三中果农应付运输费: 7×2000+3×1300=17900(元)…………3分 答: 选择方案一,甲、乙两种货车各安排5辆运输这批水果时,总运费最少,最少运费是16500元.……1分 8、解: (1)设该校采购了x顶小帐篷,y顶大帐篷 ……1分 根据题意得 ……3分解这个方程组得 ……4分 答: 该校采购了100顶3人小帐篷,200顶10人住的大帐篷.…5分 9、某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对4道门进行了测试: 当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可以通过800名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%.安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问: 建造的这4道门是否符合安全规定? 请说明理由.
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