高等代数第7章习题参考包括答案docx.docx
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第七章线性变换
1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
1)
在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量;
2)
在线性空间V中,A其中V是一固定的向量;
3)
在P中,;
A
4)
在P中,A;
5)
在P[]中,A;
6)
在P[]中,A其中P是一固定的数;
7)
把复数域上看作复数域上的线性空间,
。
A
8)
在P中,AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.
解1)
当
0时,是;当
0时,不是。
2)当
0时,是;当
0时,不是。
3)不是.例如当
(1,0,0),
k2时,kA(
)
(2,0,0),A(k)(4,0,0),
A(k
)
kA(
)。
4)是.因取(x1,x2,x3),
(y1,y2,y3),有
A(
)=A(x1
y1,x2
y2,x3
y3)
=
(2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3
y3,x1y1)
=
(2x1
x2,x2
x3,x1)(2y1
y2,y2y3,y1)
=A
+A
,
A(k
)
A(kx1,kx2,kx3)
(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)
(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)
=kA(),
故A是P上的线性变换。
5)是.因任取
f(x)
P[x],g(x)
P[x],并令
u(x)
f(x)
g(x)则
A(f(x)
g(x))=Au(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)+A(g(x)),
再令v(x)
kf(x)则A(kf(x))
A(v(x))
v(x1)kf(x
1)
kA(f(x)),
故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)
P[x],g(x)
P[x]则.
A(f(x)
g(x))=f(x0)
g(x0)
A(f(x))
A(g(x)),
A
kf(x0)
kA(f(x))。
(kf(x))
7)不是,例如取
a=1,k=I,则A(ka)=-i,k(
Aa)=i,
A(ka)kA(a)。
8)是,因任取二矩阵X,Y
P
nn,则
A
Y)
B(XY)C
BXC
BYC
A
A
Y
,
(X
X+
A(kX)=B(kX)
k(BXC)
kAX,故A是Pnn上的线性变换。
2.在几何空间中
取直角坐标系
oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转
90度的变
换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90
度的变换,证明:
A4
=B4=C4=E,AB
BA,A2B2=B2
A2,并检验(AB)
2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z),则有
1)因为
a=(x,-z,y),
2
a=(x,-y,-z)
,
A
3a=(x,z,-y),
A
4a=(x,y,z)
,
A
A
a=(z,y,-x),
2
a=(-x,y,-z)
,
B
3a=(-z,y,x),
B
4a=(x,y,z)
,
B
B
Ca=(-y,x,z),
C2
a=(-x,-y,z)
,C3a=(y,-x,z),
C4a=(x,y,z)
,
所以A4=B4=C4=E。
2)因为AB(a)=
A(z,y,-x)=(z,x,y)
,BA(a)=
B(x,-z,y)=(y,-z,-x)
,
所以AB
BA。
3)因为A2B2(a)=
A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)
,B2
A2
(a)=
B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)
,
所以A2B2=B2A2。
3)因为(AB)
2
(a)=(
AB)(
AB(a))_=
AB(z,x,y)=(y,z,x)
,A2B2(a)=(-x,-y,z)
,
所以(AB)
2
A2B2。
3.在
P[x]
中,Af(x)
f
'
(x),
Bf(x)
xf(x),证明:
AB-BA=E。
证任取f(x)P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)xf;(x)-xf'(x)=f(x)
所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:
AkB-BAk=kAk1(k>1)。
证
采用数学归纳法。
当k=2时
A
2
2
2
2
B-BA=(A
B-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。
归纳假设k
m时结论成立,即
AmB-BAm=mAm1。
则当k
m1时,有
Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=
(m
1)Am。
即k
m1时结论成立.故对一切k
1结论成立。
5.证明:
可逆变换是双射。
证设A是可逆变换,它的逆变换为A1。
若a
b
,则必有
a
b,不然设
b,两边左乘A
1,有a=b,这与条件矛盾。
A
A
Aa=A
其次,对任一向量
b,必有a使Aa=b,事实上,令A1
b=a即可。
因此,A是一个双射。
6.设1,
2,
n是线性空间
V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当
且仅当A
1,A2,
A
n线性无关。
证因A(
1,
2,
n)=(A1,A
2,
A
n)=(
1,
2,,n)A,
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆,而矩阵
A可逆的充要条件是
A
1,A
2,
An线性无
关,故A可逆的充要条件是
A
1,A
2
A
n线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵
:
1)
第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),
2=(0,1,0),
3=(0,0,1)
下的矩阵;
2)
[o;
1,
2]是平面上一直角坐标系
A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的
垂直投影,B是平面上的向量对
2
的垂直投影,求
A,B,AB在基1,2
下的矩阵;
3)
在空间P[x]n中,设变换A为
f(x)
f(x
1)
f(x),
试求A在基
i=x(x
1)
(x
i
1)1
(I=1,2,
n-1)
下的矩阵A;
i!
4)
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx,3=xeaxcosbx,
4=xeaxsinbx,
1=
1
x2eaxcosbx,
1=
1eax
x2sin
bx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性
2
2
空间,求微分变换
D在基
i(i=1,2,
6)下的矩阵;
5)
已知P3
中线性变换
A在基
1=(-1,1,1),
2=(1,0,-1),
3
=(0,1,1)
下的矩阵是
1
0
1
1
1
0,
求A在基
1=(1,0,0),
2=(0,1,0),
3=(0,0,1)
下的矩阵;
1
2
1
6)在P3中,A定义如下:
A
A
A
1
2
3
(5,0,3)
(0,1,6),
(5,1,9)
其中
1
2
3
(1,0,2)
(0,1,1),
(3,1,0)
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在1,2,3下的矩阵。
解1)A1=(2,0,1)=21+3,A2=(-1,1,0)=-1+2,A3=(0,1,0)=2,
2
1
0
故在基
1,
2,
3下的矩阵为
0
1
1
。
1
0
0
2)取
1=(1,0),2=(0,1),则A
1=1
1+
1
2,A2=
1
1+
1
2,
2
2
2
2
1
1
故A在基
1,
2下的矩阵为A=
2
2
。
1
1
2
2
又因为B
1=0,B2=
2,所以B在基
0
0
1,2
下的矩阵为B=
1
0
,另外,(AB)2=A(B2)
1
1+
1
2,
=A2=
2
2
0
1
所以AB在基
2
1,
2下的矩阵为AB=
。
0
1
2
3)因为
0
1,
1
x,
2
x(x1),
n1
x(x1)
[x(n2)]
,
2!
(n
1)!
所以A0
1
1
0
,
A1
(x
1)
x
0,
LLLL
A
(x1)x
[x(n3)]
x(x1)
[x(n2)]
n1
1)!
(n
1)!
(n
x(x1)[x(n3)]
={(x1)[x(n2)]}
=n2,
01
01
所以A在基0,1,,n1下的矩阵为A=。
1
0
4)因为D1=a1-b2,
D2=b1-a2,6,
D3=1+a3-b4,
D4=2+b3+a4,
D5=3+a5-b6,
D6=4+b5+a6,
a
b
1
0
0
0
b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
1
0
所以D在给定基下的矩阵为D=
0
b
a
0
0。
0
1
0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
b
a
1
1
0
5)因为(
1,
2,
3
)=(
1,
2,3)
1
0
1
,所以
1
1
1
1
1
1
(1,2,3)=(
1,
2,
3)
0
1
1
=(
1,
2,
3)X,
1
0
1
故A在基
1,
2,
3下的矩阵为
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
B=X1AX=
1
0
1
1
1
0
0
1
1
=
2
2
0。
1
1
1
1
2
1
1
0
1
3
0
2
1
0
3
6)因为(
1,
2,
3
)=(
1,
2,3)
0
1
1
,
2
1
0
1
0
3
所以A(
1,
2,
A
2
,
3)
0
1
1
3)=(1
2
1
0
5
0
5
但已知A(
1,2,
3)=(
1,2,3)
0
1
1
,
3
6
9
5
0
5
1
0
3
故(
2,3)=(
1,
2,3)0
1
1
0
1
1
1
A1
3
6
9
2
1
0
1
3
3
5
0
5
7
7
7
=(1,2,3)0
1
1
2
6
1
7
7
7
3
6
9
2
1
1
7
7
7
5
20
20
7
7
7
=(
1,
2,3)
4
5
2。
7
7
7
27
18
24
7
7
7
1
0
3
7)因为(
1,
2,3)=(
1,
2,
3)
0
1
1
1,
2
1
0
1
0
3
5
0
5
所以(
1,
2,
3)=(
1,
2,
3)
0
1
1
1
0
1
1
A
2
1
0
3
6
9
2
3
5
=(1,
2,
3)
10
1
。
1
1
0
8.在P22
中定义线性变换A1
a
b
(X)=
d
c
X,A2
a
b
2(X)=
a
b
a
b
(X)=X
A
c
X
c
c
d
d
d
求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,
A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,
a
0
b
0
故A1在基E11,E12,E21,E
下的矩阵为A1
0
a
0
b
22
=
0
d
。
c
0
0
c
0
d
又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,
a
c
0
0
故A2在基E11,E12,E
21,E22下的矩阵为A2
b
d
0
0
=
0
a
。
0
c
0
0
b
d
又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22,
A3E12=acE11+adE12+c2E21+cdE22,
A
3
E
21
=abE
+b
2E
+adE
21
+bdE
22
,
11
12
A
3
E
22
=bcE
+bdE
12
+cdE
21
+d2E
22
,
11
a2
ac
ab
bc
故A3在基E11,E
12,E
21,E
ab
ad
b2
bd
22
下的矩阵为A3
c2
ad
。
ac
cd
bc
cd
bd
d2
9.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为
a11a12a13
A=a21a22a23,
a31a32a33
1)求A在基3,2,1下的矩阵;
2)求A在基1,k2,3下的矩阵,其中且;
3)求A在基12
2,3下的矩阵。
解1)因A3=a333+a232
a131,
A2=a323
a222
a121,
A1=a313
a212
a111,
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