数学物理方法答案第四版.docx
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数学物理方法答案第四版
数学物理方法答案第四版
【篇一:
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【篇二:
《高等数学》第四册(数学物理方法】
txt>1.计算
i)?
i
(1)?
i?
i?
?
2i;
1?
2i2?
i(1?
2i)(3?
4i)(2?
i)i?
5?
10i2i?
12
?
?
?
?
?
?
?
;?
2?
.
3?
4i5i(3?
4i)(3?
4i)?
59?
1655
5551
(3).?
?
?
i;
(1?
i)(2?
i)(3?
i)(1?
3i)(3?
i)?
10i2(4).(1?
i)4?
[(1?
i)2]2?
(?
2i)2?
?
4;
?
(a?
bi)?
12
12
124
)]
12
?
?
?
isin?
)]?
(a?
b)(cos
2
?
?
isin);22
?
3.
设
解:
z1?
z1
z2?
i;试用三角形式表示z1z2及z2。
z1?
cos
?
4
?
isin
?
4
;z2?
1?
?
(cos?
isin);266
1?
?
?
?
15?
5?
z1z2?
[cos(?
)?
isin(?
)]?
(cos?
isin);
2464621212z1?
?
?
?
?
?
?
2[cos(?
)?
isin(?
)]?
2(cos?
isin);z246461212
11.设z1,z2,z3三点适合条件z1?
z2?
z3?
0及z1?
z2?
z3?
1;试证明z1,z2,z3是一个内接于单位圆z=1的正三角形的顶点。
证明:
z1?
z2?
z3?
0;?
z1?
?
z2?
z3;z2?
?
z3?
z1;z3?
?
z1?
z2;
?
z1?
z2?
z2?
z3?
z3?
z1;?
z1,z2,z3所组成的三角形为正三角形。
?
z1?
z2?
z3?
1?
z1,z2,z3为以z为圆心,1为半径的圆上的三点。
即z1,z2,z3是内接于单位圆的正三角形。
.
17.证明:
三角形内角和等于
证明:
有复数的性质得:
。
z?
zz?
zz2?
z1
;?
?
arg32;?
?
arg13;3
?
?
?
?
?
?
?
arg(?
1)?
2k?
;
?
k?
0;?
?
?
?
?
?
?
?
;
?
?
arg
第一章复数和复变函数
(2)
44z?
a?
0?
a?
0?
。
7.试解方程
?
z?
?
?
?
?
1?
a?
0?
44
解:
由题意z?
?
a,所以有?
a?
;
?
?
2k?
i?
z?
zi?
?
e4(k?
0,1,2,3)?
?
?
cos?
?
isin?
?
e
?
a?
;所以a;
4
4
z1?
ae4;z2?
ae
i
?
i
3?
4
;z3?
ae
i
5?
4
;z4?
ae
i
7?
4
.
12.下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么?
它是不是区域?
(1).z?
z1?
z?
z2(z1?
z2)
解:
此图形表示一条直线,它不是区域。
(2).z?
z?
4;
8x?
16;x?
2;此图形为x?
2的区域。
(3).
z?
1?
1;z?
1
2222
z?
?
z?
;(x?
1)?
y?
(x?
1)?
y;?
2x?
2x;x?
0;此图形为x0的区域。
(4).0?
arg(z?
1)?
?
4
且2?
re(z)?
3;
[0,]
[2,3]4的部分。
解:
此图形表示区间辐角在
?
(5).z?
1且imz?
0;
解:
z?
1表示半径为1的圆的外上半部分及边界,它是区域。
(6).y1?
imz?
y2;
解:
它表示虚部大于y1小于等于y2的一个带形区域。
(7).z?
2且z?
3?
1;
解:
此图形表示两圆的外部。
(8).z?
i13i1?
且z?
?
;2222
11311x2?
(y?
)2?
x2?
(y?
)2?
22,22,它表示两相切圆半径为2的外部区域。
解:
(9).imz?
1且z?
2;
解:
此图形表示半径为2的圆的内部,且imz?
1的部分,它是区域。
(10).z?
2且0?
argz?
?
4)
;
?
?
?
?
?
解:
此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在?
4?
的部分,它是区域。
第二章分析函数
(1)
f?
z?
在区域d上分析,并满足下列的条件,证明f?
z?
必为常数.
f?
?
z?
?
0?
z?
d?
?
u?
v?
u?
v?
?
?
fz?
x。
证明:
因为?
?
在区域上分析,所以?
x?
y?
y
4.若函数
令
f?
z?
?
u?
x,y?
?
iv?
x,y?
,即
f?
?
z?
?
?
u?
v
?
i?
0?
x?
y。
?
u?
v?
u?
v?
?
0?
?
?
0
?
x由复数相等的定义得:
?
x?
y,?
y。
所以,u?
x,y?
?
c1(常数),v?
x,y?
?
c2(常数),即f?
z?
?
c1?
ic2为常数。
5.证明函数在z平面上分析,并求出其导数。
(1)e(xcosy?
ysiny)?
ie(ycosy?
xsiny).
xx
fz?
ux,y?
ivx,y?
?
?
?
?
?
e(xcosy?
ysiny)?
ie(ycosy?
xsiny).证明:
设=
xx
ux,y?
e(xcosy?
ysiny)vx,y?
e(ycosy?
xsiny)?
?
?
?
则,
x
x
?
v?
uxx?
excosy?
ysinyex?
xcosyex?
e(xcosy?
ysiny)?
ecosy
?
x;?
y
?
u?
v?
?
ex(xsiny?
siny?
ycosy)?
ex(ycosy?
xsiny?
siny)?
y;?
x
?
u?
v?
u?
v
?
;?
?
?
x。
满足?
x?
y?
y
即函数在z平面上?
x,y?
可微且满足c?
r条件,故函数在z平面上分析。
f?
(z)?
22
8.由已知条件求分析函数f?
z?
?
u?
iv,u?
x?
y?
xy,f(i)?
?
1?
i。
?
u?
v
?
i?
ex(xcosy?
ysiny?
cosy)?
iex(ycosy?
xsiny?
siny)?
x?
x
解:
ux?
2x?
y,uy?
?
2y?
x,uxx?
2,uyy?
?
2。
所以uxx?
uyy?
0即u是平面上调和函数。
由于函数分析,根据c?
r条件得
y2
ux?
vy?
2x?
y,于是,v?
2xy?
2?
?
(x),其中?
(x)是x的待定函数,再由c—r条件的另一个方程得vx?
2y?
?
(x)=?
uy?
2y?
x,
x2y2x2
?
(x)?
?
?
cv?
2xy?
?
?
c
?
(x)?
?
x222所以,即。
于是
11v?
?
c?
1c?
22又因为f(i)?
?
1?
i,所以当x?
0,y?
1,时u?
1,得y2x21
f?
z?
?
x?
y?
xy?
i(2xy?
?
?
)
222。
所以
2
2
第二章分析函数
(2)
?
x?
y?
x?
y?
?
?
z?
x?
i)y?
u(?
?
u?
iv12.设?
是z的分析函数,证明?
u?
v,?
v。
?
u?
v?
u?
v?
?
?
x,y?
上处处可微,?
x,证明:
?
是z上的分析函数,所以,?
在?
即?
x?
y,?
y
?
u?
v?
y?
v?
u?
x?
x?
y?
?
?
x?
y?
v?
y?
x?
u所以,,所以?
u?
v,?
u?
v?
y?
v?
u?
x?
x?
y?
?
?
?
?
x?
x?
u,所以,?
v?
v同理,?
y?
y?
v
即得所证。
14.若z?
x?
iy,试证:
(1)sinz?
sinxchy?
icosxshy。
证:
sinz?
sin(x?
iy)?
sinxcosiy?
cosxsiniy
eiiy?
e?
i(iy)eiiy?
e?
iiy
sinx?
cosx
22i=ey?
e?
yei(iy)?
e?
y
sinx?
icosx
22=
?
sinxchy?
icosxshy
i?
lnz?
2。
18.解方程
i?
lnz?
lnz?
iargz?
0?
2,解:
?
z?
1,argz?
2,设z?
x?
iy即
?
argx?
iy?
?
?
?
1,2得x?
0,y?
1,即z?
i。
iii2?
i
(1?
i),3,i,e20.试求及ln(1?
i)。
解:
i?
e
iilni
?
e
i(?
2k?
)i
2
?
?
e
?
?
2k?
2
?
k?
0,?
1,?
2,?
?
?
?
(1?
i)?
e
iiln(1?
i)
?
e
i(?
2k?
)
4
?
?
isine4e2k?
,
k?
0,?
1,?
2,?
?
?
ln(1?
i)?
ln(1?
i)?
i2k?
?
lnik?
0,?
1,?
2,?
?
?
?
4
?
i2k?
?
i(
?
4
?
2k?
)
3i?
eiln3?
ei(ln3?
2k?
)?
cosln3?
isinln3e2?
i?
e2?
ei?
e2(cos1?
isin1)
sinzlim?
1z?
0z22,求证
sinzsin(x?
iy)lim?
limz?
?
x,y?
?
zx?
iy证:
z?
x?
iy(x,y,均为实数),所以
siniyeiy?
e?
iylim?
?
1iy?
?
iyiyz当x?
0则极限趋近于z轴,有
sinxlim?
1x?
?
y?
0x当时,则极限趋于z轴,有,
sinzlim?
1z?
?
z故。
第三章柯西定理柯西积分
(1)
1.计算积分
?
1?
i
(x?
y?
ix2)dz,
积分路径是直线段。
解:
令z=(1+i)dz,dz=(1+i)dt,则:
3
1i?
1t1+i1?
(i?
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22
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i)dz0033。
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0
12
2.计算积分路径是
(1)直线段,
(2)右半单位圆,(3)左半单位圆。
【篇三:
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《原子物理学》杨福家版部分答
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