函数的单调性与最值教学讲义.docx
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函数的单调性与最值教学讲义
函数的单调性与最值教学讲义
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1 当x1 图象 描述 自左向右看图象是__上升的__ 自左向右看图象是__下降的__ 2.单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是__增函数或减函数__,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,__区间D__叫做函数y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (1)对于任意x∈I,都有__f(x)≥M__; (2)存在x0∈I,使得__f(x0)=M__ 结论 M为最大值 M为最小值 1.复合函数的单调性 函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f[φ(x)]的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相同,则y=f[φ(x)]单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,则y=f[φ(x)]单调递减. 2.单调性定义的等价形式 设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2. (1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或 >0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数. (2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或 <0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数. 3.函数单调性的常用结论 (1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反. (4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y= 的单调性相同. 1.(教材改编)函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则( B ) A.m> B.m< C.m>- D.m<- [解析] 使y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m< . 2.(教材改编)已知f(x)=-2x2+x,x∈[-1,3],则其单调递减区间为 [ ,3] ;f(x)min=__-15__. 3.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在增区间为__[-1,1]和[5,7]__. 4.(2018·衡水中学调研卷)若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m的值为( B ) A.-3 B.-2 C.-1 D.1 [解析] ∵f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为单调增函数,又f(x)在[3,+∞)上的最小值为1,∴f(3)=1,即3+m=1,∴,m=-2.故选B. 5.(2018·河南中原名校质考)函数y=log (-x2+x+6)的单调增区间为( A ) A.( ,3) B.(-2, ) C.(-2,3) D.( ,+∞) [解析] 由-x2+x+6>0得-2 函数由y=log u,u=-x2+x+6(-2 u是减函数 由u=-x2+x+6(-2 知其减区间为( ,3),故所求函数的增区间为( ,3),故选A. 6.已知函数f(x)= 是R上的减函数,则实数a的取值范围是 (-∞, ] . [解析] 由题意得: ∴a≤ . 7.函数y=f(x)是定义在[-1,3]上的减函数,且f(a+1) ,1) . [解析] 由题意得: ,解得- ≤a<1. 考点1 函数单调性的判断与证明——自主练透 例1 (1)判断函数f(x)=2x+2-x在区间(0,+∞)上的单调性. (2)已知a>0,函数f(x)=x+ (x>0),证明: 函数f(x)在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数. [解析] (1)解法一: 设0 f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x2-2x1)( -1). ∵0 ∴2x1+x2>1,故 -1<0. ∴f(x1)-f(x2)<0.由单调函数的定义知函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数. 解法二: 对f(x)=2x+2-x求导,得 f′(x)=2xln2-2-xln2=2-xln2(22x-1), 当x∈(0,+∞)时,有2-x>0,22x-1>0,此时f′(x)>0. ∴函数f(x)=2x+2-x在区间(0,+∞)上为增函数. (2)证明: 设x1,x2是任意两个正数,且x1 )-(x2+ )= (x1x2-a). 当0 时,0 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在(0, ]上是减函数; 当 ≤x1 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 所以函数f(x)在[ ,+∞)上是增函数. [答案] (1)增函数,证明略 (2)略 考点2 求函数的单调区间——师生共研 例2 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=-x2+2|x|+3; (2)f(x)=log (-x2+4x+5); (3)f(x)=x-lnx. [分析] (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解; (2)复合函数求解; (3)导数法. [解析] (1)解法一: (图象法) ∵f(x)= 其图象如图所示,所以函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1];单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). 解法二: (化为分段函数求解)f(x)= = y=-(x-1)2+4(x≥0)图象开口向下,对称轴为x=1,∴增区间为(0,1),减区间为(1,+∞); y=-(x+1)2+4(x<0)图象开口向下,对称轴为x=-1,∴增区间为(-∞,-1),减区间为(-1,0); ∴f(x)的增区间为(0,1)、(-∞,-1),减区间为(1,+∞)、(-1,0). 解法三: (复合函数法)函数由y=-u2+2u+3(u≥0)和u=|x|复合而成,y=-u2+2u+3(u≥0)的对称轴为u=1,由|x|=1得x=±1. x (-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞) u (1,+∞) (0,1) (0,1) (1,+∞) u=|x| ↘ ↘ ↗ ↗ y=-u2+2u+3 ↘ ↗ ↗ ↘ f(x) ↗ ↘ ↗ ↘ ∴f(x)在增区间为(-∞,-1),(0,1),减区间为(-1,0),(1,+∞). (2)由-x2+4x+5>0得-1 u. ∵x∈(-1,2],u为增函数;x∈(2,5)时,u为减函数. 又y=log u在(0,+∞)上为减函数,据复合函数“同增异减”的性质知f(x)的单调递增区间为(2,5);单调递减区间为(-1,2]. (3)由题意,得x>0.y′=1- = . x (0,1) 1 (1,+∞) y′ - 0 + y ↘ 极小值 ↗ 由上表可知,函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). [引申1] (1)本例 (1)f(x)=|-x2+2x+3|的增区间为__(-1,1)和(3,+∞)__. (2)本例 (1)f(x)=|-x2+2|x|+3|的减区间为__(-∞,-3)和(-1,0)和(1,3)__. [解析] (1)作出f(x)=|-x2+2x+3|的图象,由图可知所示增区间为(-1,1)和(3,+∞). 作出f(x)=|-x2+2|x|+3|的图象,由图可知所求减区间为(-∞,-3)和(-1,0)和(1,3). [引申2]本例 (2)f(x)=loga(-x2+4x+5)(a>1)的增区间为__(-1,2]__. 名师点拨 ☞ 求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数,再求单调区间. (2)定义法: 先求定义域,再利用单调性定义求解. (3)图象法: 如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直接写出它的单调区间. (4)导数法: 利用导数取值的正负确定函数的单调区间. (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是: ①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”. 注意: (1)求函数单调区间,定义域优先. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接. 〔变式训练2〕 (1)已知函数f(x)= ,则该函数的单调递增区间为( B ) A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) (2)函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( A ) A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) (3)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是__(-∞,2]__. [解析] (1)设t(x)=x2-2x-3,由t(x)≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t(x)=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t(x)在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).故选B. (2)f(x)=|x-2|x= 由f(x)的图象可知,f(x)的单调减区间为[1,2].选A. (3)由已知得a-1>0,∴a>1,∴g(x)=a|x-2|减区间为g=|x-2|减区间,(-∞,2],故填(-∞,2]. 考点3 函数单调性的应用——多维探究 角度1 利用函数的单调性求最值 例3 (2019·厦门质检)函数f(x)=( )x-log2(x+2)在区间[-1,1]上有最大值为__3__. [解析] ∵y=( )x和y=-log2(x+2)都是[-1,1]上的减函数,∴y=( )x-log2(x+2)是在区间[-1,1]上的减函数,∴最大值为f(-1)=3. 角度2 利用函数的单调性比较大小 例4 (文) , , (其中e为自然常数)的大小关系是( A ) A. < < B. < < C. < < D. < < (理) , , (其中e为自然常数)的大小关系是( A ) A. < < B. < < C. < < D. < < [思考] 如何利用函数的单调性比较大小? [解析] (文)构
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- 函数 调性 教学 讲义
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