流体力学第3章流体运动学.docx
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流体力学第3章流体运动学
第3章流体运动学
选择题:
.2
drv
【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于:
(a)dt2;(b)t;(c)(v)v;
v
(V)v
(d)to
dvv
a——v
解:
用欧拉法表示的流体质点的加速度为dttv(d)
【3.2】恒定流是:
(a)流动随时间按一定规律变化;(b)各空间点上的运动要素不随时间变化;(c)各过流断面的速度分布相同;(d)迁移加速度为零。
解:
恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动,在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动•
(b)
【3.3】一元流动限于:
(a)流线是直线;(b)速度分布按直线变化;(c)运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数;(d)运动参数不随时间变化的流动。
解:
一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。
(c)
【3.4】均匀流是:
(a)当地加速度为零;(b)迁移加速度为零;(c)向心加速度为零;(d)合加速度为零。
解:
按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度(亦称迁移加速度)这两部分组成,若变位加速度等于零,称为均匀流动
(b)
【3.5】无旋运动限于:
(a)流线是直线的流动;(b)迹线是直线的流动;(c)微团无旋转的流动;(d)恒定流动。
解:
无旋运动也称势流,是指流体微团作无旋转的流动,或旋度等于零的流动。
(d)
【3.6]变直径管,直径di320mm,d2160mm,流速Vi1.5m/s。
V2为:
(a)
3m/s;(b)4m/s;(c)6m/s;(d)9m/s。
V|—d;V2—d;
解:
按连续性方程,44,故
VV虫1.53206m/s
d2160
【3.7】平面流动具有流函数的条件是:
(a)理想流体;(b)无旋流动;(c)具有流速势;(d)满足连续性。
解:
平面流动只要满足连续方程,则流函数是存在的。
(d)
【3.8】恒定流动中,流体质点的加速度:
(a)等于零;(b)等于常数;(c)随时间变化而变化;(d)与时间无关。
解:
所谓恒定流动(定常流动)是用欧拉法来描述的,指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化,但要注意的是这并不表示流体质点无加速度。
(d)
【3.9】在流动中,流线和迹线重合:
(a)无旋;(b)有旋;(c)恒定;
(d)非恒定。
解:
对于恒定流动,流线和迹线在形式上是重合的。
(c)
【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比,多了一项运动:
(a)平移;(b)
旋转;(c)变形;(d)加速。
解:
流体微团的运动由以下三种运动:
平移、旋转、变形迭加而成。
而刚体是不变形的物体。
(c)
【3.11】一维流动的连续性方程VA=C成立的必要条件是:
(a)理想流体;(b)粘性流体;(c)可压缩流体;(d)不可压缩流体。
解:
一维流动的连续方程VAC成立的条件是不可压缩流体,倘若是可
压缩流体,则连续方程为VAC
【3.12】流线与流线,在通常情况下:
(a)能相交,也能相切;(b)仅能相交,但不能相切;(c)仅能相切,但不能相交;(d)既不能相交,也不能相切。
解:
流线和流线在通常情况下是不能相交的,除非相交点该处的速度为零(称为驻点),但通常情况下两条流线可以相切。
(c)
[3.13】欧拉法描述流体质点的运动:
(a)直接;(b)间接;(c)不能;
(d)只在恒定时能。
解:
欧拉法也称空间点法,它是占据某一个空间点去观察经过这一空间点上的流体质点的物理量,因而是间接的。
而拉格朗日法(质点法)是直接跟随质点运动观察它的物理量(b)
【3.14】非恒定流动中,流线与迹线:
(a)一定重合;(b)一定不重合;(c)特殊情况下可能重合;(d)一定正交。
解:
对于恒定流动,流线和迹线在形式上一定重合,但对于非恒定流动,在某些特殊情况下也可能重合,举一个简单例子,如果流体质点作直线运动,尽管是非恒定的,但流线和迹线可能是重合。
(c)
【3.15】一维流动中,“截面积大处速度小,截面积小处速度大”成立的必要条件是:
(a)理想流体;(b)粘性流体;(c)可压缩流体;(d)不可压缩流体。
解:
这道题的解释同3.11题一样的。
(d)
【3.16】速度势函数存在于流动中:
(a)不可压缩流体;(b)平面连续;
(c)所有无旋;(d)任意平面。
解:
速度势函数(速度势)存在的条件是势流(无旋流动)(c)
【3.17】流体作无旋运动的特征是:
(a)所有流线都是直线;(b)所有迹线都是直线;(c)任意流体元的角变形为零;(d)任意一点的涡量都为零。
解:
流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。
(d)
【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是:
(a)两维不可压缩连续运
动;(b)两维不可压缩连续且无旋运动;(c)三维不可压缩连续运动;
(d)三维不可压缩连续运动。
解:
流函数存在条件是不可压缩流体平面流动,而速度势存在条件是无旋流动,即流动是平面势流。
(b)
计算题
【3.19】设流体质点的轨迹方程为
xC1ett1
yC2ett1
ZC3
其中C1、C2、C3为常数。
试求
(1)t=0时位于xa,yb,zc处的流体质点的轨迹方程;
(2)求任意流体质点的速度;(3)用Euler法表示上面流动的速度场;(4)用Euler法直接求加速度场和用Lagrange法求得质点的加速
度后再换算成Euler
法的加速度场,
0xay
两者结果是否相同。
b,zC代入轨迹方程,得
解:
(1)
以t
a
G1
b
q1
c
c3
c1
a1
c2
b1
故得
c3
c
当t0时位于(a,b,c)流体质点的轨迹方程为
(a)
(b)
x(a1)ett1y(b1)ett1zc
—cd1
t
(2)求任意质点的速度
(3)若用Euler法表示该速度场
由(a)式解出a,b,c;
1
afxt11
e
1
bryt11
e
cz
即
(a)式对t求导并将(
c)式代入得
v
_y
t
(b1
)et1
yt
z
0
w
t
(4)用
Euler
■法求加速度场
u
u
u
u
ax
u
v
w
t
x
y
z
1
(xt)
xt
1
v
v
v
v
ay
t
ux
vy
wz
1
(yt
2)
yt1
w
w
w
w
az
u
v
w
t
x
y
z
(a
1
u
t
2
0
xt
1)et
由(a)式Lagrange法求加速度场为
(d)
2
ax
x
t2
(a
1)et
2
1)et
ay
yt2
(b
2
z
az
t2
0
将(c)式代入
(e)
式
得
ax
xt
1
ay
yt
1
az
0
两种结果完全相同
】已知流场中的速度分布为
u
yzt
v
xzt
w
xy
[3.20
(1)试问此流动是否恒定。
(2)求流体质点在通过场中(1,1加速度。
解:
(1)由于速度场与时间t有关,该流动为非恒定流动。
1)点时的
ax
z(xz
t)
y(xy)
ay
az
y(yz
z(yz
t)
1,y1,z
t)x(xy)
x(xzt)
1代入上式,得
ax3t
ay1t
az2
[3.21】一流动的速度场为
22
v(x1)ti(y2)tjt=1时通过(2,1
解:
迹线微分方程为
dx
dx
dt
dy
dt
(x
1)t2
dy
dt
以上两式积分得
ln(x1)
1t
3
Ci
ln(y
2)
h3
3
C2
两式相减得
Inc
x1In
y
c(y
2)
将x2,y
1代入得
故过(2,1)点的轨迹方程为流线的微分方程为
dx
dx
2
(x1)t
dy
2
(y2)t
消去t,两边积分得
In(x1)ln(y2)Inc
或者x1c(y2)
以x2,y1代入得积分常数c1
故在t1,通过(2,1)点的流线方程为
xy1
[3.22】已知流动的速度分布为
uay(y2x2)
vax(y2x2)
其中a为常数。
(1)试求流线方程,并绘制流线图;
(2)判断流动是否有旋,
若无旋,则求速度势并绘制等势线。
解:
对于二维流动的流线微分方程为
dxdy
u
v
dx
dy
即
ay(y2
x2)
ax(y2
x2)
消去
a(y2
x2)
得xdx
ydy
积分
得
1212
xyc
22
22
或者
xyc
若c取一系列不同的数值,可得到流线族一双曲线族,它们的渐近线为yx如图
有关流线的指向,可由流速分布来确定。
uay(y2x2)
22
vax(yx)
对于y0,当|y||x|时,u0
当1y1|x|时,uo
对于yo,当|y|x|时,uo
当1y1|x|时,uo
据此可画出流线的方向
判别流动是否有旋,只要判别rotv是否为零,
222222
a(yx)2axa(yx)2ay
22
2ax2ay0
所以流动是有旋的,不存在速度势。
【3.23】一二维流动的速度分布为
uAxBy
vCxDy
其中A、B、C、D为常数。
(1)A、B、C、D间呈何种关系时流动才无
旋;
(2)求此时流动的速度势。
解:
(1)该流动要成为实际流动时,须满足divv0,
Uvc
0
即xy
或者ad0,得a
D
该流动无旋时,须满足rotv
0,
vUc
0
即xy
或者CB0,得CB
uAx
By
(2)满足以上条件时,速度分布为
vBx
Ay
uAxBy
积分得
1Ax2Bxyf(y)
2
——Bx
f(y)vBx
Ay
由于y
故f(y)
Ay
f(y)
2Ay2
122
A(xy)
Bxy
因此速度势
2
[3.24】设有粘性流体经过一平板的表面。
已知平板近旁的速度分布为
vv0sin-
2a(Vo,a为常数,y为至平板的距离)
试求平板上的变形速率及应力。
解:
流体微团单位长度沿X方向的直线变形速率为
xx
Vosin(g)
(为X轴方向)
xx
同理沿y方向直线变形速率为
v
yy
yy0
沿z方向直线变形速度为
zz
在xOy平面上的角变形速率
U)yy0
V
2a
在yOz平面上的角变形速率
在zOx平面上的角变形速率
uW)0
x
牛顿流体的本构关系为
(即变形和应力之间关系)
Pxx
Pyy
Pzz
xy
yx
U)
y
xz
zx
(丄
z
W)
x
zy
yz
故在平板上,
Pxx
Pyy
PzzP
zx
yz
xy
y
Vo°。
临)2a
v0
2a
[3.25】设不可压缩流体运动的
3个速度分量为
ax
ay
2az
const,ycons
t两曲面的
2
其中a为常数。
试证明这一流动的流线为丫z
交线。
解:
由流线的微分方程
dxdydz
dx
dydz
得
ax
ay2az
dx
dx
a
ax
ay
dy
dz
b
即
ay
2az
积分(
a)得
x
C1
y
积分(
b)得
2
yzC2
x
2
—
即证明了流线为曲面yz常数与曲面y常数的交线。
时的流
[3.26】已知平面流动的速度场为v(4y6x)ti(6y9x)tj。
求t=1
习题3.26图
4区间穿过x轴的4条流线图形。
解:
流线的微分方程为
dxdy
uv
1时的流线为
dxdy
4y6x6y9x
dxdy
或者2(2y3x)3(2y3x)
即3dx2dy
积分得3x2yc为流线方程
c3,6,9,12时可画出1
x4穿过x轴的4条流线
试求速度在x方向的分量u。
解:
此平面流动必须满足divv0对于二维流动即
U
x
v
y
0
以v
y22x2y代入
u
2y
20
x
u
2y
2
故
x
故
u
2xy
2x
f(yt)
uumax
【3.28】求两平行板间,流体的单宽流量。
已知速度分布为
式中y=0为中心线,yb为平板所在位置,Umax为常数。
//////A
1
*/〃〃/〃/〃〃/
Ib
气
umax\
b
O
:
)〉
习题328图
解:
如图,由UUmax[1(b)],平板间的速度分布为抛物线分布。
通过dy截面的体积流量dQ为
dQUdyUmax[1
2]dy
2u^b-bU
maxmax
33
w
v
0
0
0
y
z
u
w
0
0
0
z
x
v
u
a
(
a)2a
x
y
rotv
2ak
流动为有旋流动。
所以
c1
w
v
1
&yzC
—)
-(0
0)
2
y
z
2
。
1
u
w
1
&xz(-
)
-(0
0)
2
z
x
2
所以流动无角变形。
角变形
0
0
wv
00
0
u1
y)尹a)0
同理
2xy2y。
试确定流动:
2
[3.30】已知平面流动的速度分布ux2x4y,v
(1)是否满足连续性方程;
(2)是否有旋;(3)如存在速度势和流函数,求出和。
解:
(1)由divv是否为零
U—2x22x20
xy
故满足连续性方程
(2)由二维流动的rotv
得Xy
故流动有旋
2y(4)0
(3)此流场为不可压缩流动的有旋二维流动,存在流函数而速度势不存在
2
——ux2x4yy
22
积分得Xy2xy2yf(x)
——v2xy2y
x
故2xy2yf(x)2xy2y
f(x)0f(x)C
22
因此xy2xy2y(常数可以作为零)
Inr
当
Vr
r
v
r
vr
r
Q
2r
Qd
2d
因此
f(r)
——v0r
故f(r)C
Q
得2
yarctan
(2)当2x时
excoshy1
将直角坐标表达式化为极坐标形式
2
vr
r
0
v
r
2r
vr
0
r
因此
f(r)
df
v
r
dr
2r
f(r)
Inr
故
2
lnr
得
2
[3.32】有一平面流场,设流体不可压缩,x方向的速度分量为u
(1)
(1)已知边界条件为y°,V0,求v(x,y);
(2)
(2)求这个平面流动的流函数。
解:
(1)由不可压缩流体应满足divv°
uVx」
ecoshy即xy
exsinhy
—uexcoshy1
(2)y
exsinhyyf(x)
—v
x
即
得
exsinhy
exsinhyf(x)exsinhy
f(x)0f(x)C
exsinhyy
22
[3.33】已知平面势流的速度势y(y3x),求流函数以及通过(0,0)及(1,2)
两点连线的体积流量。
解:
由于
——6xyy
2
3xyf(x)
由于y
x
22
3yf(x)3y
3x2
2
f(x)3xf(x)
3x
故流函数为
3xy
Q
(1,2)
(0,0)
2
3x
3y23x2
11(取绝对值)
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