高中数学人教A选择性必修一第一章 141 第1课时 空间中点直线和平面的向量表示.docx
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高中数学人教A选择性必修一第一章141第1课时空间中点直线和平面的向量表示
§1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量,会求一个平面的法向量.
知识点一 空间中点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
知识点二 空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a,且过点A.如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使
=+ta,①
把=a代入①式得
=+t,②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
思考 直线的方向向量是不是唯一的?
答案 直线的方向向量不是唯一的,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最简的方向向量.
知识点三 空间中平面的向量表示式
1.平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.
2.平面的法向量
如图,若直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称a为平面α的法向量;过点A且以a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
思考 平面的法向量是不是唯一的?
答案 一个平面的法向量不是唯一的,一个平面的所有法向量共线.在应用时,可以根据需要进行选取.
1.若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.( √ )
2.平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量.( × )
3.直线的方向向量是唯一的.( × )
一、直线的方向向量
例1
(1)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于( )
A.0B.1C.D.3
答案 A
解析 ∵A(0,y,3)和B(-1,2,z),=(-1,2-y,z-3),
∵直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),故设=km.
∴-1=2k,2-y=-k,z-3=3k.
解得k=-,y=z=.
∴y-z=0.
(2)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为________,直线BC1的一个方向向量为________.
答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1)
解析 ∵DD1∥AA1,=(0,0,1),直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);
BC1∥AD1,=(0,1,1),故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
反思感悟 理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
跟踪训练1
(1)(多选)若M(1,0,-1),N(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )
A.(2,2,6)B.(1,1,3)
C.(3,1,1)D.(-3,0,1)
答案 AB
解析 ∵M,N在直线l上,∴=(1,1,3),
故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直线l的一个方向向量.
(2)从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则B点的坐标为( )
A.(18,17,-17)B.(-14,-19,17)
C.D.
答案 A
解析 设B点坐标为(x,y,z),则=λa(λ>0),即(x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),因为||=34,即=34,得λ=2,所以x=18,y=17,z=-17.
二、求平面的法向量
例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
解 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则D(0,,0),P(0,0,1),E,C(1,,0),
于是=.=(1,,0).
设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即所以
令y=-1,则x=z=.
所以平面ACE的一个法向量为n=(,-1,).
延伸探究
本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量?
解 如图所示,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),C(1,,0),所以=(1,,-1),即直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).
因为D(0,,0),所以=(0,,-1).
由即
所以令y=1,则z=.
所以平面PCD的一个法向量为(0,1,).
反思感悟 求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时,要选取平面内两不共线向量,如,;
(2)设平面的法向量为n=(x,y,z);
(3)联立方程组并求解;
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),试求出平面ABC的一个法向量.
解 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).
∵A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),
∴=(-2,1,3),=(1,-1,0).
则有即
解得令z=1,则x=y=3.
故平面ABC的一个法向量为n=(3,3,1).
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3)B.(1,3,2)
C.(2,1,3)D.(3,2,1)
答案 A
解析 因为=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量.
2.已知直线l1的方向向量a=(2,-3,5),直线l2的方向向量b=(-4,x,y),若a∥b,则x,y的值分别是( )
A.6和-10B.-6和10
C.-6和-10D.6和10
答案 A
解析 由题意得==,且x≠0,y≠0,所以x,y的值分别是6和-10.
3.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A.(0,-3,1)B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1)
答案 D
解析 求与n共线的一个向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
4.(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A.B.C.D.
答案 BC
5.已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是________________.
答案 x+2y-3z=0
解析 由题意得e⊥,则·e=(x,y,z)·(1,2,-3)=0,
故x+2y-3z=0.
1.知识清单:
(1)直线的方向向量.
(2)平面的法向量.
2.方法归纳:
待定系数法.
3.常见误区:
不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.
1.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是( )
A.-1B.1或-1
C.-3D.1
答案 A
解析 由题意得a∥b,所以解得x=-1.
2.已知平面α的一个法向量是(2,-1,-1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A.(4,2,-2)B.(2,0,4)
C.(2,-1,-5)D.(4,-2,-2)
答案 D
解析 ∵α∥β,∴β的法向量与α的法向量平行,
又∵(4,-2,-2)=2(2,-1,-1),故选D.
3.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是( )
A.⊥B.⊥
C.⊥D.⊥
答案 C
解析 ∵PA⊥平面ABCD,
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD,
∴BD⊥平面PAC,
∴PC⊥BD.
故选项B成立,选项A和D显然成立.故选C.
4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是( )
A.(1,1,-1)B.(1,-1,1)
C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)
答案 D
解析 =(-1,1,0),=(-1,0,1).
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有
取x=-1,则y=-1,z=-1.
故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).
5.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,下列结论正确的是( )
A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
答案 AC
解析 ∵=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,又AB∩AA1=A,
∴AD⊥平面ABB1A1,∴A正确;
∵=(-1,0,0),而(1,1,1)·=-1≠0,
∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量,∴B不正确;
∵=(0,1,-1),=(-1,0,1),(1,1,1)·=0,(1,1,1)·=0,B1C∩CD1=C,
∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量,∴C正确;
∵=(0,1,1),而·(0,1,1)=2≠0,
∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量,即D不正确.
6.已知平面ABC,且A(1,2,-1),B(2,0,-1),C(3,-2,1),则平面ABC的一个法向量为________.
答案 (2,1,0)(答案不唯一)
解析 =(1,-2,0),=(2,-4,2),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则
令y=1,得x=2,z=0,
故平面ABC的一个法向量为n=(2,1,0).
7.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π],若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为________.
答案 或
解析 由OP⊥OQ,得·=0,
即(2cosx+1)·cosx+(2cos2x+2)·(-1)=0.
∴cosx=0或cosx=.
∵x∈[0,π],
∴x=或x=.
8.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的是________.(填序号)
答案 ①②③
解析 ==(0,0,1),故①正确;==(0,1,1),故②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),故③正确;向量的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,∴④错.
9.已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).
(1)写出直线BC的一个方向向量;
(2)设平面α经过点A,且BC是α的法向量,M(x,y,z)是平面α内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.
解
(1)∵B(2,0,0),C(0,2,-2),
∴=(-2,2,-2),即(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量.
(2)由题意=(x-
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