北京中考数学29题新定义综合练习doc.docx
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北京中考数学29题新定义综合练习doc
寒假作业之新定义
1.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)(x≥0)的每一个整数点,给出如下定义:
如果P'(x,y)也是整数点,则称点P'为点P的“整根点”.
例如:
点(25,36)的“整根点”为点(5,6).
(1)点A(4,8),B(0,16),C(25,-9)的整根点是否存在,若存在请写出整根点的
坐标;
(2)如果点M对应的整根点M'的坐标为(2,3),则点M的坐标;
(3)在坐标系内有一开口朝下的二次函数yax24x(a≠0),如果在第一象限内的二次函
数图像内部(不在图像上),若存在整根点的点只有三个
请求出实数a的取值范围.
备用图
2..如图,对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB,给出如下定义:
如果线段AB上存在两个点M,N,使得∠MPN=30°,那么称点P为线段AB的伴随点.
(1)已知点A(-1,0),B(1,0)及D(1,-1),E5
3
,(
,
3
),
2
F0
2
①在点D,E,F中,线段AB的伴随点是_________;
②作直线AF,若直线AF上的点P(m,n)是线段AB的伴随点,求m的取值范围;
(2)平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形,若该三角形边上的任意一点都是某条线段
a的伴随点,请直接写出这条线段a的长度的范围.
3.若抛物线L:
yax2bxca,b,c是常数,且abc0与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物
线L的顶点在直线l上,则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系,并且将直线l叫做抛物线L的“路线”,抛物线L叫做直线l的“带线”.
(1)
若“路线”l的表达式为y
2x4,它的“带线”L的顶点在反比例函数y
6(x<0)的图
x
象上,求“带线”L的表达式;
(2)
如果抛物线ymx2
2mxm
1与直线ynx1具有“一带一路”关系,求
m,n的值;
(3)设
(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点,当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时,求出点P的坐标.
备用图
4.在平面直角坐标系xOy中,定义点P(x,y)的变换点为P′(x+y,x-y).
(1)如图1,如果⊙O的半径为22,
①请你判断M(2,0),N(-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系;
②若点P在直线y=x+2上,点P的变换点P′在⊙O的内,求点P横坐标的取值范围.
(2)如图2,如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上,求点P与⊙O上任意一点距离的最小值.
5.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为x1,y1,点Q的坐标为x2,y2,且x1x2,y1y2,
若P,Q为某个菱形的两个相对顶点,且该菱形的一边与x轴平行,则称该菱形为点P,Q的“相关菱形”,下图为点P,Q的“相关菱形”的示意图.
(1)已知点A的坐标为0,1,点B的坐标为3,4,且点A,B的“相关菱形”为正方形,则此
“相关菱形”的周长为
__________;
(2)若点C的坐标为
0,3,点
D在直线
y
43上,且C,D
的“相关菱形”有一个内角为
60o,
求点
D的坐标;
(3)⊙O的半径为3,点M的坐标为
m,33(其中m
0),若在⊙O上存在一点N,使
m
得点M,N的“相关菱形”有一个内角为
60o,直接写出m的取值范围.
6.阅读材料:
①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度,叫做点P到直线l的距离,记作d(P,l)②两条平行线l1,l2,直线上l1任意一点到直线l2的距离,叫做这两条平行线l1,l2之间的距离,
记住d(l1,l2);
③若直线l1,l2相交,则定义d(l1,l2)=0
④对于同一条直线l,我们定义d(l,l)=0。
对于两点P,P2和两条直线l1,l2,定义两点P,P2的“l1,l2—相关距离”如下:
d(P,
111
P2l,l2)=d(P,l1)+d(l1,l2)+d(P2,l2)设P(4,0),P2(0,3),l:
yx,l:
y3x,
11112
l:
ykx,l4:
yk'x,解决以下问题:
(1)d(P,P2l,l1)=____________,d(P,P2l,
31111
l2)=_______________
(2)①若k>0,则当d(P1,P2l3,l3)最大时,k=_________;
②若k<0,试确定k的值使得d(
P1,P2
l3,l3)最大。
(3)若
k
'
k0
,且,
l3
,
l4
的夹角是
°,直接写出(
,
P2
l3
,
l4
)的最大值
________。
30
dP1
7.平面上有两条直线AB、CD相交于点O,且∠BOD=150°(如图),现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”:
①点O的“距离坐标”为(0,0);
②在直线CD上,且到直线AB的距离为p(p>0)的点的“距离坐标”为(p,0);在直线AB上,且到直线CD的距离为q(q>0)的点的“距离坐标”为(0,q);
③到直线AB、CD的距离分别为p,q(p>0,q>0)的点的“距离坐标”为(p,q).
设M为此平面上的点,其“距离坐标”为(m,n),根据上述对点的“距离坐标”的规定,解决下列问题:
(1)画出图形(保留画图痕迹):
①满足m=1,且n=0的点M的集合;
②满足m=n的点M的集合;
(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上,求m与n所满足的关系式.(说明:
图中OI长为一个单位长)
8.阅读:
我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角
平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:
x=1,y=3,y=x+2,
y=﹣x+4.例如,点M(1,3)的特征线有:
x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.
问题与探究:
如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x
轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足
(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
9.定义:
点Z为直线XY外一点,如果存在线段
XY上一点W,使得
XWZ与WYZ相似,
则称Z为XY的相似点,称
W为Z在XY上的对应点。
例如,如图1,点E为正方形ABCD对角线交点,则D为直线AC外一点,且存在线段
AC
上一E,使得
AED与
ECD相似,故D为线段AC的一个相似点,E为D在AC上的对
应点。
如图2,平面直角坐标系
xOy中,已知A(0,a)
、B(0,10)
()
a,P为线段OB的一个相似点,
1
=2
①若A是P在OB上的对应点,以下选项中,点
P所有可取的坐标为
②若A不是P在OB上的对应点,以下选项中,点
P所有可取的坐标_________。
甲:
(2
5
0)
乙:
(4,2)丙:
(-4,2),
丁:
(-2,4
),戊:
(-5,4),己:
(-4,5)
OB的相似点,求
b
(2)一次函数
y=x-b(b>0),若该函数图像上恰有两点为线段
.
(3)是否存在
a
,满足
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