初中数学函数知识点总结.docx
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初中数学函数知识点总结
初中函数知识点总结
知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,
取向上为正方向;两轴的交点 O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标
系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,
分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
”
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“, 分开,横、
纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当 a ≠ b 时,(a,b)和(b,a)
是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点 P(x,y)在第一象限 ⇔ x > 0, y > 0
点 P(x,y)在第二象限 ⇔ x < 0, y > 0
点 P(x,y)在第三象限 ⇔ x < 0, y < 0
点 P(x,y)在第四象限 ⇔ x > 0, y < 0
2、坐标轴上的点的特征
点 P(x,y)在 x 轴上 ⇔ y = 0 ,x 为任意实数
点 P(x,y)在 y 轴上 ⇔ x = 0 ,y 为任意实数
点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上 ⇔ x,y 同时为零,即点 P 坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ⇔ x 与 y 相等
点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ⇔ x 与 y 互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标
的特征
点 P 与点 p’关于 x 轴对称 ⇔ 横坐标相等,纵坐标互为相反数
点 P 与点 p’关于 y 轴对称 ⇔ 纵坐标相等,横坐标互为相反数
点 P 与点 p’关于原点对称 ⇔ 横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y
(2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x
(3)点 P(x,y)到原点的距离等于
x 2 + y 2
知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一确
定的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,
这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫
做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果 y = kx + b (k,b 是常数,k ≠ 0),那么 y 叫做 x 的一次函数。
特别地,当一次函数 y = kx + b 中的 b 为 0 时, y = kx (k 为常数,k ≠ 0)。
这时,y
叫做 x 的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数 y = kx + b 的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数 y = kx 的图像是经
过原点(0,0)的直线。
k 的符b 的符
号号函数图像
图像特征
k>0
y
b>0 图像经过一、二、三象限,
y 随 x 的增大而增大。
y
b<0 图像经过一、三、四象限,
y 随 x 的增大而增大。
k<0
k<0
y
b>0 图像经过一、二、四象限,
y 随 x 的增大而减小
0 x
y
b<0 图像经过二、三、四象限,
y 随 x 的增大而减小。
0 x
注:
当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数 ykx 有下列性质:
(1)当 k>0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大,图像从左之右上升;
(2)当 k<0 时,图像经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小,图像从左之右下降。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数 y = kx + b 有下列性质:
(1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大
(2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小
(3)当 b>0 时,直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上
(4)当 b<0 时,直线与 y 轴交点在 y 轴负半轴上
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 y = kx (k ≠ 0)中的常数 k。
确
定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 y = kx + b (k ≠ 0)中的常数 k 和 b。
解这类问
题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地,函数 y = k
x
(k 是常数,k ≠ 0)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以
写成 y = kx -1 或 xy=k 的形式。
自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数,函数的取值范围也
是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或
第二、四象限,它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量 x ≠ 0,函数 y ≠ 0,所以,它
的图像与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标
轴。
3、 反比例函数的性质
反比
例函
数
y = k (k ≠ 0)
x
k 的符
号k>0
k<0
y
y
图像Ox
O x
性质
①x 的取值范围是 x ≠ 0, ①x 的取值范围是 x ≠ 0,
y 的取值范围是 y ≠ 0; y 的取值范围是 y ≠ 0;
②当 k>0 时,函数图像的两个分支分别 ②当 k<0 时,函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。
在每个象限内,y 在第二、四象限。
在每个象限内,y
随 x 的增大而减小。
随 x 的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数 y = k
x
中,只有一个待定系数,
因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
若过反比例函数 y =
k
x
(k ≠ 0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,则所得的
k
矩形 PMON 的面积 S=PM ∙ PN= y ∙ x = xy 。
y =,∴ xy = k , S = k 。
x
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果 y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0) ,特别注意 a 不为零,那么 y
叫做 x 的二次函数。
y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 x = - b
2a
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素):
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线
画出对称轴
(2)求抛物线 y = ax 2 + bx + c 与坐标轴的交点:
当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到
点 C 的对称点 D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次
函数的图像。
当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。
由
C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对
对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:
y = ax2的性质:
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴
性质
a > 0
向上
(0 ,0)
y 轴
x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; x < 0 时, y 随
x 的增大而减小; x = 0 时, y 有最小值 0 .
a < 0向下
(0 ,0)
y 轴
x > 0 时, y 随 x 的增大而减小; x < 0 时, y 随
x 的增大而增大; x = 0 时, y 有最大值 0 .
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. y = ax2 + c 的性质:
二次函数 y = ax2 + c 的图像可由 y = ax2 的图像上下平移得到(平移规律:
上加 下减)。
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴
性质
a > 0
向上
(0 , )
y 轴
x > 0 时, y 随 x 的增大而增大; x < 0 时, y 随
x 的增大而减小; x = 0 时, y 有最小值 c .
a < 0
向下 y 轴
x > 0 时, y 随 x 的增大而减小; x < 0 时, y 随
x 的增大而增大; x = 0 时, y 有最大值 c .
3. y = a (x - h)2 的性质:
二次函数 y = a (x - h)2 的图像可由 y = ax2的图像左右平移得到(平移规律:
左加右减)。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴
性质
a > 0
a < 0
向上
向下
(h ,0)
(h ,0)
X=h
X=h
x > h 时, y 随 x 的增大而增大;x < h 时, y
随 x 的增大而减小;x = h 时,y 有最小值 0 .
x > h 时, y 随 x 的增大而减小;x < h 时, y
随 x 的增大而增大;x = h 时,y 有最大值 0 .
4. y = a (x - h)2 + k 的性质:
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴
性质
a > 0
向上 (h , )
X=h
x > h 时, y 随 x 的增大而增大;x < h 时, y
随 x 的增大而减小;x = h 时,y 有最小值 k .
a < 0向下X=h
x > h 时, y 随 x 的增大而减小;x < h 时, y
随 x 的增大而增大;x = h 时,y 有最大值 k .
知识点八、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:
y = ax2 + bx + c ( a , b , c 为常数, a ≠ 0 );
2. 顶点式:
y = a( x - h)2 + k ( a , h , k 为常数, a ≠ 0 );
3. 两点式:
y = a( x - x )( x - x ) ( a ≠ 0 , x , x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标).
1212
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写
成两点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b2 - 4ac ≥ 0 时,抛物线的解析式才可以用两
点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
知识点九、二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的
解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情
况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
知识点十、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) 即当
b4ac - b 2
x =-时, y
2a4a
2a
如果自变量的取值范围是 x ≤ x ≤ x ,那么,首先要看 - b
12
是否在自变量取值范围
x ≤ x ≤ x 内,若在此范围内,则当 x= -
12
b 4ac - b 2
时, y
2a 4a
需要考虑函数在 x ≤ x ≤ x 范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当
12
x = x 时, y
2
最大
= ax 2 + bx + c ,当 x = x 时, y
2 2 1
最小
= ax 2 + bx + c ;如果在此范围内,
1 1
y 随 x 的增大而减小,则当 x = x 时, y
1
最大
= ax 2 + bx + c , 当 x = x 时 ,
1 1 2
y
最小
= ax 2 + bx + c 。
2 2
知识点十一、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
y = ax 2 + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0)
a>0
a<0
y
y
图像
0x
0 x
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;
(2)对称轴是 x= -
b
2a
,
(2)对称轴是 x= -
b
2a
,
b4ac - b 2
顶点坐标是( -,);
2a4a
b 4ac - b 2
顶点坐标是( - , );
2a 4a
(3)在对称轴的左侧,即当 x< -
b
2a
时,
(3)在对称轴的左侧,即当 x< -
b
2a
时,y 随
性质y 随 x 的增大而减小;在对称轴的右侧,
x 的增大而增大;在对称轴的右侧,
即当 x> -
b
2a
时,y 随 x 的增大而增大,
即当 x> -
b
2a
时,y 随 x 的增大而
简记左减右增;
(4)抛物线有最低点,当 x= -
减小,简记左增右减;
b b
时,y 有最小 (4)抛物线有最高点,当 x= - 时,
2a 2a
值, y
最小值
=
4ac - b 2
4a
y 有最大值, y
最大值
=
4ac - b 2
4a
2、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况):
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况.
图象与 x 轴的交点个数:
① 当 ∆ = b2 - 4ac > 0 时,图象与 x 轴交于两点 A(x ,0),B (x ,0) ( x ≠ x ) ,其中的
1212
x ,x 是 一 元 二 次 方 程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的 两 根 . 这 两 点 间 的 距 离
12
AB = x - x =
21
b2 - 4ac
a
a a
0)0
推导过程:
若抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴两交点为 A(x ,,B(x ,),由于 x 、
121
x 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根,故
2
bc
x + x =-, x ⋅ x =
1212
AB = x - x =(x
121
- x
2
)2
= (x
1
+ x
2
)2 - 4 x x
1 2
⎛ b ⎫2 4c b 2 - 4ac ∆
= ç- ⎪ - = =
⎝ a ⎭ a a a
② 当 ∆ = 0 时,图象与 x 轴只有一个交点;
③ 当 ∆ < 0 时,图象与 x 轴没有交点.
1' 当 a > 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y > 0 ;
2' 当 a < 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y < 0 .
记忆规律:
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的 ∆ = b 2 - 4ac ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。
当 ∆ >0 时,图像与 x 轴有两个交点;当 ∆ =0 时,图像与 x 轴有一个交点;
当 ∆ <0 时,图像与 x 轴没有交点。
知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
y
如图:
点 A 坐标为(x1,y1)点 B 坐标为(x2,y2)
则 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为
(x
1
- x
2
)2 + (y
1
- y
2
)2
A
0
B
2、二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h)2 + k ,确定其顶点坐标 (h , ) ;
k
② 保持抛物线 y = ax2 的形状不变,将其顶点平移到 (h , ) 处,具体平移方法如下:
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k
③平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成
八个字“左加右减,上加下减”.函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占 3 分,但
掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
21
x - x
21
l :
y = k x + b
4、设两条直线分别为, l :
y = k x + b
111
2 2
2
若 l
1
// l
2 ,则有
l1 // l2 ⇔ k1 = k2 且 b1 ≠ b 2 。
若 l ⊥ l ⇔ k ⋅ k
121
2
= - 1
知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
抛物线 y = ax 2 + bx + c 中, a b c,的作用
(1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y = ax 2 中的 a 完全一样.
a >0 时,抛物线开口向上; a <0 时,抛物线开口向下; a 的绝对值越大,开口越小
(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是直线
x =-
b
2a
b
,故:
①b = 0 时,对称轴为 y 轴;② > 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴
a
b
在 y 轴左侧;③< 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧.(口诀左同 右异)
a
(3) c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.
当 x = 0 时, y = c ,∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ):
① c = 0 ,抛物线经过原点;
② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴;
③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则
b
a
< 0 .
知识点十四、中考点击
考点分析:
内容
1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点
2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别,理解图像与变量的关系
3、一次函数的概念和图像
4、一次函数的增减性、象限分布情况,会作图
5、反比例函数的概念、图像特征,以及在实际生活中的应用
6、二次函数的概念和性质,在实际情景中理解二次函数的意义,会利用二次
函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题
要求
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
命题预测:
函数是数形结合的重要体现,是每年中考的必考内容,函数的概念主要用选
择、填空的形式考查自变量的取值范围,及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等,
一般占 3-6 分左右.一次函数与一次方程有紧密地联系,是中考必考内容,一般以填空、选
择、解答题及综合题的形式考查,占 6 分左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题
形式出现,要关注反比例函数与实际问题的联系,突出应用价值,3—6 分;二次函数是初
中数学的一个十分重要的内容,是中考的热点,多以压轴题出现在试卷中.要求:
能通过对
实际问题情景分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数
图像,能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴,
并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似值.
分析近年中考,预计 2014 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的
变化图像,一次函数的图像和性质,在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解.同
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