第四章答案概率论与数理统计试题答案.docx
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第四章答案概率论与数理统计试题答案
习题4-1数学期望
、填空题
1
X的分布为P(X=k)=k(k=1,2
2k
解答过程:
oo
'kxk
k丄
od
=X._J
k4
—2
l1-X丿(1—x)
2=2
1
k42k
令x,则E(X)=7k
2
2.已知随机变量
X〜B(100,
11
-),即卩P(X=k)=Ckoo(-)100(k=0,
100)则随机变
量Y=2X+5的数学期望答案:
EY=2EX+5=105
E(Y)=
3.设(X,Y)的概率密度为:
-A0vxv1,0vyvx
f(x,y)=
0
则A=
其他
E(XY)=_
答案:
A=2
(XY=1
4
E(XY)二
1x1
0dx02xydy
0
「xv0
F
(x)
=X3
0WxW1
-1
x>1
则:
E(X)=
()
-be
(a)
0
x4dx
(b)
1
4:
:
(c)
[
xdx+xdx
(d)
0
答案
:
b
X的分布函数为:
0
、单项选择题
1•设连续型随机变量
1
3x3dx
:
:
3x3dx
因为f(x)
3x2,0乞x乞1
0,其他
E(X)
13
「°3xdx
2.设X为随机变量,则E(3X-5)=
(a)
3E(X)+5
(b)9E(X)—5(c)3E(X)—5
(d)3E(X)
答案:
c
3•设随机变量
X〜B(n,0.3),贝UDX满足()
(a)
DX>E乂
(b)DX (c) dx=eX (d)DX=0 答案: b 4•设随机变量 X的密度函数为 c1 「2 0 2 f(x)= y 〔0 其他 则E (2X2+1): =() (a) 0 (b)-(c)2 (d)- 6 2 答案: c 二、计算题 1罐中有5颗围棋子,2颗白子,3颗黑子,如果有放回地每次任取一子,共取则3次中取到的白子次数是一个离散型随机变量,试写出这个随机变量的概率函数, 它的期望 解: 设X表示取到的白子次数,X的概率函数为: 3次,并计算 X〜B(3,-) 5 362318 EX=np=3X=—=1.2DX=npq=3Xx_=一=0.72 555525 2.设随机变量X的概率分布为如下表所示 X —2 01 2 P 1 1 1 1 3 2 12 12 求①E(X)②E(2乂+1) 解: (1)E(X)=-— 12_9 (2)E(2X2+1)=- 3.设连续型随机变量X的概率密度为: f(x)=w 3x2 其它 解: P{X1} 所以0=2, EX=xf(x)dx= 23x3 dx=1.5; 8 4.二维随机变量(X, x+y Y)的联合密度函数为: 0wx<10 f(x,y)= 其他 0 求E(X) 解: E(X) -be-be xf(x,y)dxdy二。 0x(xy)dxdy=农 习题4-2 、填空题 1. 设连续型随机变量X的概率密度为: 答案: EX=1,DX=- 2 Y=<0X=0 则方差D(Y)= 答案: 8 9 二、单项选择题 1.设随机变量X的期望EX存在,且EX=a,Ef=b,c为一常数,则D(cX)=( 2 (a)c(a—b)(b)c(b 答案: c 2•设两个相互独立的随机变量 是() (a)51 答案: a —a2)(c)c 22 (b—a)(d)c ) 22 (a—b) (b)21 X和Y的方差分别为 (c)一3 6和3,则随机变量2X—3Y的方差 (d)36 f(x)= 0其他 EX=5 求X的数学期望与均方差解: 因为是均匀分布,故 DX=25 3.设连续型随机变量 -2(1—x) X的概率密度为: 0VXV1 f(x)=- 0 其他 、/-X 求丫件乂及Y2=e 的期望与方差。 3 13 解EY=[x32(1—x)dx=0.1, 213 E(¥)=(x2(1-x)dx=0.036 故DY=0.026, 1 EW=占2(1-x)dx=0.736, 1 E(Y;)=0e'x2(1—x)dx=0.568 故DY=0.026 4.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。 解: 随机变量X是0-1分布 D(X)=p(1-p)=p-p2 习题4-3协方差与相关系数 一、填空题 22 1.设X、Y是两个随机变量,已知EX=2,EX=20,EY=3,EY=34,xy=0.5贝UE(3X+2Y) =,D(3X+2Y)= 答案: E(3X+2Y)=12D(3X+2Y)=364 D(X)=16,D(Y)=25,cov(X,Y)」xy.D(X)D(Y)=0.520=10 D(3X2Y)=9D(X)4D(Y)12cov(X,Y)=364 2.若随机变量X与Y相互独立,则一定有「xy=答案: 「xy=0 、单项选择题 1.如果随机变量X与Y满足D(X+Y=D(X-Y),则下列式子正确的是() (a)X与Y相互独立(b)X与Y不相关 (c)DY=0(d)DX-DY=0 答案: b 2.若随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)>0,则'xy满足() (a)xyV0(b)xy>0(c)"xy》0(d)xy=0 答案: b 3.对任意随机变量X、Y,有D(X+Y)=() (a)D(X)+D(Y)(b)DX+D—2Cov(X,Y) (c)D(X)+DY+2Cov(X,Y)(d)DX+DY+Co(X、Y) 答案: c 三、计算题 1.设随机变量(X,Y)只能取(—1,0),(-1,1)和(0,1)三组数,且取这三组 111 数的概率分别为、-和一,计算X、Y的相关系数,并问X、Y是否不相关? 是否独立? 236 解: Y^^ -1 0 P划 0 1/2 0 1/2 1 1/3 1/6 1/2 Pi. 5/6 1/6 CACA E(X),E(Y),E(X2),E(Y2): 6262 51 D(X)-,D(YH- 364 1 E(XY)一3 icov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 12 p=Cov(X,Y)=1 DXDY,5 即X,Y相关,所以X、Y不独立 2.设(X、 Y)的联合概率密度为: 1/、 3(xy) f(x,y)=< 其他求X、Y的期望与方差,协方差与相关系数。 21x 解: EX=(xy)dxdy=0.56 3 E(X2)=0y)dxdy: 0.39 3 DX=0.080 21y EY=00^(xy)dxdy二1*22 E(Y2)=00^(xr)dxdyN488 DY=0.284 E(XY)二: ;0(xy)dxdy=1.488 3 Cov(X、Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=—0.012 3.设随机变量Y服从区间[0,2n]上的均匀分布。 令Xi=sinY,X2=cosY,求x1x2 解: X12X;=sin2Ycos2Y=1 .Xi,X2没有线性关系,即Xi,X2不相关 二PxtX2=0 习题4-4大数定律与中心极限定理 1.星期一上午来到某画展陈列室的顾客人数X是一个随机变量,其分布未知。 已知 18(人),-=2.5(人),试用车贝谢夫不等式估计顾客数X在8到28人之间的概率是 多少? 2.设Xj(i=1,2,…,100)是相互独立的随机变量,且都服从参数兔=0.01的泊 松分布, 100 记Y=為Xi,试用中心极限定理求p(Y_1). i1 Xi〜二(0.01),E(Xj)=D(Xj)二二0.01 近似 即Y〜N(1,1) P{Y_1}: 1紳亍: =1-「(0)=0.5 3.已知某品种小麦麦穗粒数的数学期望是20,标准差是15,求在该品种100个麦穗中,麦粒总数在1800到2200粒之间的概率. 解: E(XJ=20,D(XJ=152 100近似 2 Y二^Xj〜N(2000,,150) P{1800Y: : 2200} 2200-2000 150 “2000卜牡)+0.816 150 4. i吕 每次投篮命中率为0.4,求600次投篮中命中次数大于250次的概率. Xj~b(1,0.4),E(XJ=0.4,D(Xj-・-0.24 100近似 Xi〜N(240,,144) i母 P{Y_250}: 1-门 「250-240'5.2033 丿6 5•—食品厂有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价 格是一个随机变量,它取1,1.2,1.5(元)各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5。 某天售出300只蛋糕。 1)求这天的收入至少400元的概率;2)求这天售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。 解: (1)记第i只蛋糕的价格Xj(i=1,2,…,300) Xi 1 1.2 1.5 P 0.3 0.2 0.5 E(XJ=1.29,D(Xi)=1.713 300 X八XiE(X)=3001.29=378,D(X)=3001.713=513.9 i4 f“不400—387】 二0.2843 P{XK40C}“—①一 (2)Y '1,售出的是1.2元的蛋糕 0,售出的不是1.2元的蛋糕 300 Y二為Y~b(300,0.2) i吕 300近似 Y-'Y~N(60,,48) i吕 _rxz.J60—60-- P{Y>60}“一①—=0.5 \、<'48) 6•某大型商场每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费额(元)服从均匀分布 U[100,100°],且顾客的消费额是相互独立的。 试求1)该商场的日消费额(元)与平均日消 费额之差的绝对值不超过2万(元)的概率;2)如果以95%的概率保证该商场的日消费额在400 万元以上,那么光顾该商场的顾客数至少为多少? 解: (1)Xi~U[100,1000],E(Xi^550,D(Xi^900 12 550「40000012刑1.645 、900(n丿 故n-7.3410 第四章复习题 一、填空题 1•已知离散型随机变量X的概率函数为: X —2 —1 0 1 P(X=Xk) 1 1 1 1 6 3 3 6 则E(x)EX2) 1 答案: EX—- 2 2•对球直径作测量,设其直径X服从[a,b]上的均匀分布,则球的体积Y的数学期望 E(Y)=。 答案: EY=(a+b)(a2+b2) 24 3.已知X服从均匀分布,密度函数为: 1 厂——0VXV2n 2兀 f(X)=Y 其他;贝UE(sinX)= 答案: 0 4.若有D(X)=25,D(Y)=36,,xy=0.4,贝UD(X+Y)=,D(X—Y)=。 答案: 85,37 二、单项选择题 X2X1 1.设随机变量X的期望EX为一非负值,且E (1)=2,D(——1)=-,则EX= 222 ()。 (a)2(b)1(c)0(d).8 3.若随机变量X的期望EX存在,则E[E(EX)]=( ) (a)0 (b)X (c) EX (d)3EX 答案: c 4.设X为 随机变量,若D(10X) =10, 则DX=( ) (a)— (b)1 (c)10 (d)100 10 答案: a 2.设随机变量X的期望EX方差DX及EX都存在,则一定有() (a)EX>0(b)EX>EX(c)(EX2>EX2(d)DX>0 答案: d 答案: a 5.对任意随机变量X、Y,有E(XY=() (a)EX-EY(b)EX-EY+Cov(X,Y) 答案: b 二、计算题 1.设随机变量X的概率密度为 解因为 E(X)二。 x(ax2bxc)dx=号£号=0.5 E(X2)x2(ax2bxc)dxb£=D(X)[E(X)]2=0.15(0.5)2二0.4 10543 解之得 a=12,b=-12,c=3 2•某保险公司设置某一险种,规定每一保单有效期为一年,有效理赔一次,每个保单 收取保费500元,理赔额为10000元,据估计每个保单索赔概率为0.05,设公司共卖出这 种保单800个,求该公司在该险种上获得的期望利润。 一年索赔的保险单数^X1X^X800~b(800,0.05) 公司在该险种上获得的利润L=800500-10000X公司在该险种上获得的平均利润 E(L)=800500-10000E(X)=400000-000008000.05=0(元) 3.一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值为10g,标准差为1g,100个一盒的同型号 螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少(假设每个螺丝钉的重量都不受其他螺丝钉重量的影 响)? 解: X=X1•X2X100 E(X」=100,D(Xj)-1 5.设随机变量X的分布函数为 x arc(sinx) x v—1 —1 >1 试确定常数a,b,并求EX及D% F(x)= 1 31 lim[abarcsinx]=ab3=1咼1b f(x)dxdx=b二= …1*2 常1-x 1 a=, 2 2222 证明: 右边工E(X)-2CE(X)C-[E(X)]2CE(X)-C 22 二E(X)-[E(X)] =D(X)=左边 7.设随机变量X服从参数入=1的泊松分布,Y~b(4,0.8),已知D(X+Y))=2.6,计算它们的相关系数? xyo 解: D(XY)二D(X)D(Y)2cov(X,Y) cov(X,Y)二 D(XY)D(X)D(Y) "一4°8°.2二0.48 &两随机变量X与Y的联合分布律如下表所示,计算X与Y的相关系数'xy,并判断 X与Y是否独立? Y —1 0 1 —1 1 1 1 8 8 8 0 1 0 1 8 8 1 1 1 1 8 8 8 证明: x,y的边缘分布律分别为 X -1 0 1 P 3/8 2/8 3/8 Y -1 0 1 P 3/8 2/8 3/8 ■■■P00=P0.P®,所以X和丫不相互独立 又E(X)=E(Y)=0 1111 E(XY)=(-1)(-1)-(-1)1-1(-1)—110 8888 : ? XY cov(X,Y) D(X)D(Y) 0于是 cov(X,Y)二E(XY)-E(X)E(Y)=0 X和Y不相关. 9.设(X、Y)的联合概率密度为: TtK 厂kcos(x+y)0wxw—,——wyw0 22 f(x,y)= 0其他 求X、Y的期望与均方差,协方差与相关系数。 解: ex=02_.xkcos(xy)dydx=0.785 ~2 j_-o DX=E(X2)-[E(x)]2二J-x2kcos(xy)dydx-0.7852=0.188 ~2 0姜 E(Y)=2ykcos(xy)dydx二—0.785 .-20 0£L DY=E(Y2)-[E(Y)]2]y2kcos(xy)dydx--0.7852=0.188 =2 、•DX~0.434,、、DY~0.434, cov(X,Y)二E(XY)_E(X)E(Y) 0二2 =-Q2xykcos(xy)dydx-0.188-0.046 pcov(X,Y)xy〜—0.244 .D(X)D(Y)
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- 第四 答案 概率论 数理统计 试题答案