人教A版数学选修4高二数学选修41学案.docx
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人教A版数学选修4高二数学选修41学案
高二数学选修4-1学案
五和圆有关的比例线段
班级姓名学号
教学目标:
1.理解相交弦定理及其推论;掌握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证明;
2.掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点:
正确理解相交弦定理及其推论.切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点:
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系
教学活动:
一.复习导入:
1.证明:
已知:
弦AB和CD交于⊙O内一点P. 求证:
PA·PB=PC·PD.
相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
2.从一般到特殊,发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互相垂直思考:
(1)若AB是直径,并且AB⊥CD于P.根据相交弦定理,能得到什么结论?
推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
(2) 若再连结AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:
PC2=PA·PB;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
二.范例讲解一
例1:
已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.
根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 :
已知:
线段a,b. 求作:
线段c,使c2=ab.
分析:
这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.
作法:
口述作法.
三.课堂练习一
练习1:
如图,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
(变式练习:
若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的长度皆为整数.那么CD的长度是多少?
)
练习2:
如图,CD是⊙O的直径,AB⊥CD,垂足为P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的长.
练习3 :
如图:
在⊙O中,P是弦AB上一点,OP⊥PC,PC交⊙O于C. 求证:
PC2=PA·PB
分析:
由AP·PB,联想到相交弦定理,想到延长CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易证得PC=PD问题得证.
探究:
1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P,那么该点到割线与圆交点的四条线段PA,PB,PC,PD的长之间有什么关系?
2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时,猜想:
由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA,PB,PT之间又有什么关系?
3、用语言表达上述结论.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
推论:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)
四.范例讲解二
例1 :
已知:
⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B,PA=6厘米,AB=8厘米,PO=10.9厘米,求⊙O的半径.
(分析:
由于PO既不是⊙O的切线也不是割线,故须将PO延长交⊙O于D,构成了圆的一条割线,而OD又恰好是⊙O的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.)
例2:
如图7-90,两个以O为圆心的同心圆,AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D、E.AB=12,AO=15,AD=8.求:
两圆的半径.
五.课堂练习二
1、P为⊙O外一点,OP与⊙O交于点A,割线PBC与⊙O交于点B、C,且PB=BC.OA=7,PA=2,求PC的长.
2、已知:
如图7-92,⊙O和⊙O′都经过A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q、M,交AB的延长线于N.求证:
PN2=NM·NQ.
六.课堂反思:
观察图形,要证的数量关系中,线段属于不同的两圆,NP是⊙O的切线,NMQ是⊙O′的割线,能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线NBA.具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件.
例:
如图7-93,四边形ABCD内接于⊙O,AB长7cm,CD=10cm,AD∶BC=1∶2,延长BA、CD相交于E,从E引圆的切线EF.求EF的长.
分析:
此题中EF是⊙O的切线,由切割线定理:
EF2=ED·EC=EA·EB,故要求EF的长,须知ED或EA的长,而四边形ABCD内接于⊙O,可
EB长为2x,应用割线定理,可求得x,于是EF可求.
证明:
四边形ABCD内接于⊙O
△EAD∽△ECB
EB=2x
x(x+10)=(2x-7)·2x
x=8
EF2=8×(8+10)
EF=12
答:
EF长为12cm.
高二数学选修4-1学案
六和圆有关的比例线段· 习题课
班级姓名学号
教学目标:
1.理解相交弦定理及其推论;掌握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证明;
2.掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点:
正确理解相交弦定理及其推论.切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点:
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系
教学活动:
一.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
二。
切线长定理
对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
三.利用切线长定理解题
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:
AE的值。
解
图1
例2:
如图7,在直角三角形ABC中,∠A=90°,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E。
求证:
BC=2OE。
点悟:
由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。
而OA=OB,只须证AE=CE。
图7
证明:
连结OD。
∵AC⊥AB,AB为直径
∴AC为⊙O的切线,又DE切⊙O于D
∴EA=ED,OD⊥DE
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB
在Rt△ABC中,∠C=90°-∠B
∵∠ODE=90°
∴
∴∠C=∠EDC ∴ED=EC ∴AE=EC
∴OE是△ABC的中位线 ∴BC=2OE
例3:
如图8,在正方形ABCD中,AB=1,
是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作
所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点。
当∠DEF=45°时,求证点G为线段EF的中点;
解:
由∠DEF=45°,得
,
∴∠DFE=∠DEF ∴DE=DF
又∵AD=DC ∴AE=FC
因为AB是圆B的半径,AD⊥AB,所以AD切圆B于点A;同理,CD切圆B于点C。
又因为EF切圆B于点G,所以AE=EG,FC=FG。
因此EG=FG,即点G为线段EF的中点。
图8
四、反馈测试
一、选择题
1.已知:
PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=( )
A.
B.
C.5 D.8
2.下列图形一定有内切圆的是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
3.已知:
如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,
∠CAB=40°,则∠MCA的度数( )
A.50° B.40° C.60° D.55°
图1
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:
4,则另一弦长为( )
A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm
5.在△ABC中,D是BC边上的点,AD
,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点,那么DE长等于( )
A.
B.
C.
D.
6.PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交⊙O于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于( )
A.20 B.10 C.5 D.
二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线,AB∥CD,EF是⊙O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则∠EOF=_____________度。
8.已知:
⊙O和不在⊙O上的一点P,过P的直线交⊙O于A、B两点,若PA·PB=24,OP=5,则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线,A为切点,PBC割线交⊙O于B、C,若BC=20,
,则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交⊙O于点D,连结BD交AC于P,则
_____________。
三、解答题
11.如图2,△ABC中,AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是△ABC与内切圆的切点,DE切⊙O于点M,且DE∥AC,求DE的长。
图2
12.如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,求证:
CB平分∠DCP。
图3
13.如图4,已知AD为⊙O的直径,AB是⊙O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB
,求⊙O的半径。
图4
五.总结、扩展
1.要经常复习学过的知识,把新旧知识结合起来,不断提高综合运用知识的能力.
2.学习例题时,不要就题论题,而是注重研究思路、体会和掌握方法,学会分析问题和解决问题的一般方法.
3.学会分析一些基本图形的结构及所具有的基本关系式.
4.总结规律:
本课以方程的思想方法为指导,利用代数方法,即通过方程或方程组的求解解决所求问题,设未知数时,可直接或间接设,列方程或方程组时,寻求已知量与未知量之间的关系.而几何定理是列方程的根据.
六.课后反思
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 人教 数学 选修 41
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