概率论与统计第三版复旦大学版第五章课后习题答案.docx
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概率论与统计第三版复旦大学版第五章课后习题答案
概率论与统计(第三版)复旦大学版第五章课后习题答案
习题五
1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X.估计P{10 【解】设 表每次掷的点数,则 从而 又X1,X2,X3,X4独立同分布. 从而 所以 2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件? 【解】令 供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目,则X~B(200,0.7), 查表知 m=151. 所以供电能151×15=2265(单位). 4.一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记V= ,求P{V>105}的近似值. 【解】易知: E(Vk)=5,D(Vk)= k=1,2,…,20 由中心极限定理知,随机变量 于是 即有P{V>105}≈0.348 5.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少? 【解】设100根中有X根短于3m,则X~B(100,0.2) 从而 6.某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言. (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少? (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少? 【解】 令 (1)X~B(100,0.8), (2)X~B(100,0.7), 7.用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中,任取1000件,其中有20件废品的概率. 【解】令1000件中废品数X,则 p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05), E(X)=50,D(X)=47.5. 故 8.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1,…,T30服从参数λ=0.1[单位: ]的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,以此类推.令T为30个器件使用的总计时间,求T超过350小时的概率. 【解】 故 9.上题中的电子器件若每件为a元,那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用(假定一年有306个工作日,每个工作日为8小时). 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10,D(Ti)=100, E(T)=10n,D(T)=100n. 从而 即 故 所以需272a元. 10.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布. (1)求参加会议的家长数X超过450的概率? (2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】 (1)以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为 Xi 0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知E(Xi=1.1),D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400. 而 由中心极限定理得 于是 (2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得 11.设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率? 【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,则X~B(10000,0.515)要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求 P{X≤5000}.由中心极限定理有 12.设有1000个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计,在一次行动中: (1)至少有多少个人能够进入? (2)至多有多少人能够进入? 【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体(i=1,2,…,1000). 令Sn=X1+X2+…+X1000. (1)设至少有m人能够进入掩蔽体,要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95,事件 由中心极限定理知: 从而 故 所以m=900-15.65=884.35≈884人 (2)设至多有M人能进入掩蔽体,要求P{0≤Sn≤M}≥0.95. 查表知 =1.65,M=900+15.65=915.65≈916人. 13.在一定保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求: (1)保险公司没有利润的概率为多大; (2)保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大? 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数,则X~B(10000,0.006). (1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为 (2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为 14.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.(2001研考) 【解】令Z=X-Y,有 所以 15.某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. (1)写出X的概率分布; (2)利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值. (1988研考) 【解】 (1)X可看作100次重复独立试验中,被盗户数出现的次数,而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2,因此,X~B(100,0.2),故X的概率分布是 (2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理,得 16.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. 【解】设Xi(i=1,2,…,n)是装运i箱的重量(单位: 千克),n为所求的箱数,由条件知,可把X1,X2,…,Xn视为独立同分布的随机变量,而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和,由条件知: 依中心极限定理,当n较大时, 故箱数n取决于条件 因此可从 解出n<98.0199, 即最多可装98箱.
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