完整word版高中数学选修22第一章导数及其应用单元测试题可编辑修改word版.docx
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完整word版高中数学选修22第一章导数及其应用单元测试题可编辑修改word版
数学选修2-2第一章单元测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
2.
[
在区间1,2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x
2
1
+在同一
x2
[
点处取得相同的最小值,那么f(x)在1,2]上的最大值是()
2
A.13
4
B.5
4
C.8D.4
3.点P在曲线y=x3-x2
P处的切线的倾斜角为α,
]
则α的取值范围是()A.[0,π
+上移动,设点
3
[π
B.[0,π]∪3
,π)
224
C.
[
3π,π)D.[π
42
3
,π]
4
4.已知函数f(x)1x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,
=
2
则实数m的取值范围是()
A.m≥3
2
C.m≤3
2
B.m>3
2
D.m<3
2
5.函数f(x)=cos2x-2cos2x的一个单调增区间是()2
A.(
)
B.(
)
π2πππ
,,
3362
)
C.(,π
D.(
ππ)
03-6,6
6.
lim
设f(x)在x=x0处可导,且
Δx→0
f(x0+3Δx)-f(x0)=1,则f′(x0)
Δx
等于()
A.1B.0
C.3D.1
3
7.经过原点且与曲线y
A.x+y=0B.x+25y=0
x+9
=相切的切线方程为()
x+5
C.x+y=0或x+25y=0D.以上皆非
8.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0
时,f(x)是()
A.增函数B.减函数C.常数
D.既不是增函数也不是减函数
9.若a>2,则方程1x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()
3
A.0个根B.1个根
C.2个根D.3个根
10.一点沿直线运动,如果由始点起经过ts后距离为s=1-5
+2t2,那么速度为零的时刻是()
A.1s末B.0s
C.4s末D.0,1,4s末
t4t3
43
2
11.设f(x)=Error!
则∫f(x)dx等于()
0
34
A.B.
45
5
C.D.不存在
6
12.若函数f(x)=sinx
0 sinx1b sinx2,则a,b ,且12 x 的大小关系是() =,= x1x2 A.a>bB.a C.a=bD.a、b的大小不能确定 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) x 13.若f(x)=1 3 3-f′ (1)x2+x+5,则f′ (1)=. 14.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(ππ)时,f(x)=x -, 22 +sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f(3),则a、b、c的大小关系是. 15.已知函数f(x)为一次函数,其图像经过点(2,4),且 1 ∫f(x)dx=3,则函数f(x)的解析式为. 0 16.(2010·江苏卷)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,求k的值. 18.(12分)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2)上单调递减. (1)求a的值; (2)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图像上,求证: 点A关于直线x=1 的对称点B也在函数f(x)的图像上. 19.(12分)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求常数a,b; (2)试判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由. 20.(12分)已知f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 21.(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b ∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 22.(12分)已知函数f(x)=ln(ax+1)+1-x x≥0,其中a>0. , 1+x (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围. 1.答案A 参考答案 解析设极值点依次为x1,x2,x3且a<x1<x2<x3<b,则f(x)在(a,x1),(x2,x3)上递增,在(x1,x2),(x3,b)上递减,因此,x1、x3是极大值点,只有x2是极小值点. 2.答案D 3.答案B 4.答案A 解析因为函数f(x)1x4-2x3+3m, = 2 所以f′(x)=2x3-6x2. 令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小 . 值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-27不等式f(x)+9≥0恒成立, 2 即f(x)≥-9恒成立,所以3m279,解得m3. 5.答案A -≥-≥ 22 解析f(x)=cos2x-cosx-1, ∴f′(x)=-2sinx·cosx+sinx=sinx·(1-2cosx).令f′(x)>0,结合选项,选A. 6.答案D 7.答案D 8.答案A 9.答案B 解析设f(x) 1x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈ = 3 (0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f (2)=1(8)= 11 -4a<0, -4a+13 3 f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根,故选B.10.答案D 11.答案C 解析数形结合,如图. 212 ∫f(x)dx=∫x2dx+∫(2-x)dx 001 =Error! 10Error! 12 11 =+(4-2-2+) 32 5 =,故选C. 6 12.答案A 13. , 解析f′(x)=xcosx-sinx x2 令g(x)=xcosx-sinx,则g′(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx. ∵0 =0,故f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)上是减函数,得a>b,故选A. 14.答案2 3 . 解析f′(x)=x2-2f′ (1)x+1,令x=1,得f′ (1)=2 3 15.答案c 解析f (2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),因为f′(x)=1+cosx≥0, 故f(x)在( ππ)上是增函数,∵π -2>1>π-3>0,∴f(π-2)>f (1)>f(π -,>π 222 -3),即c 15.答案f(x)=2+8 x 33 解析设函数f(x)=ax+b(a≠0),因为函数f(x)的图像过点(2,4),所以有b=4-2a. 11 ∴∫f(x)dx=∫(ax+4-2a)dx 00 1 =1210 [ax+(4-2a)x]Error! =a+4-2a=1. 22 =.∴b=.∴f(x)=x+. ∴a2828 3333 16.答案21 解析∵y′=2x,∴过点(ak,a2k)处的切线方程为y-a2k=2ak(x- a),又该切线与x轴的交点为(a 0),所以a 1a,即数列{a}是 kk+1, k+1=kk 2 等比数列,首项a=16,其公比q1a=4,a=1,∴a+a+a=21. 1=,∴35 2 135 17.解析抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1, 1 2 3 所以,抛物线与x轴所围图形面积S=∫(x-x2)dx=Error! 10=1-1 0 1 =.6 又Error! 由此可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标x3= 0,x=1-kS 2 1 1-k 4,所以= ∫ 0 (x-x2-kx)dx=Error! 1-0k1(1-k)3. = 6 1 又S=,所以(1-k)3=,∴k=1-. 622 18.解析 (1)由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]单调递增,在区间[1,2)单调递减, ∴x=1时,取得极大值,∴f′ (1)=0. 又f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0⇒a=4. (2)点A(x0,f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0, f(x0)), f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1 =(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1 =x40-4x30+ax20-1=f(x0), ∴A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.19.解析f′(x)=3x2+2ax+b. (1)由极值点的必要条件可知: f′(-2)=f′(4)=0,即Error! 解得a=-3,b=-24. 或f′(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4) =3x2-6x-24, 也可得a=-3,b=-24. (2)由f′(x)=3(x+2)(x-4). 当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<4时,f′(x)<0. ∴x=-2是极大值点,而当x>4时,f′(x)>0, ∴x=4是极小值点. 20.解析a≠0(否则f(x)=b与题设矛盾), 由f′(x)=3ax2-12ax=0及x∈[-1,2],得x=0. (1)当a>0时,列表: x (-1,0) 0 (0,2) f′(x) + 0 - f(x) 增 极大值b 减 由上表知,f(x)在[-1,0]上是增函数, f(x)在[0,2]上是减函数. 则当x=0时,f(x)有最大值,从而b=3. 又f(-1)=-7a+3,f (2)=-16a+3, ∵a>0,∴f(-1)>f (2). 从而f (2)=-16a+3=-29,得a=2. (2)当a<0时,用类似的方法可判断当x=0时f(x)有最小值.当x=2时,f(x)有最大值. 从而f(0)=b=-29,f (2)=-16a-29=3,得a=-2. 综上,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 21.解析 (1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b.因此g(x)=f(x)+f′(x) =ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)= -g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=- [ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],从而3a+1=0,b=0,解得a 1b=0, x 因此f(x)的解析式为f(x)=-1 3 3+x2. =-, 3 (2)由 (1)知g(x)1x3+2x,所以g′(x)=-x2+2. =- 3 令g′(x)=0,解得x1=- 2,x2= 2,则当x<- 2或x> 2时, g′(x)<0,从而g(x)在区间(-∞,- 2],[ 2,+∞)上是减函数; 当-2 2时,g′(x)>0,从而g(x)在[- 2,2]上是增函数. 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1, 2,2时取得,而g (1) 5g (2)=42g (2)4g(x)在区间[1,2] =因此 =,,. 333 上的最大值为g( 424 ) 2=,最小值为g (2)=. 33 22.分析解答本题,应先正确求出函数f(x)的导数f′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解. =- 解析 (1)f′(x)a2= ax2+a-2, ax+1 (1+x)2 (ax+1)(1+x)2 ∵f(x)在x=1处取得极值, ∴f′ (1)=0,即a·12+a-2=0,解得a=1. (2)f′(x)= ax2+a-2, (ax+1)(1+x)2 ∵x≥0,a>0,∴ax+1>0. ①当a≥2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)的单调增区间为[0,+∞).
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