平面向量复习课公开课教学设计.docx
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平面向量复习课公开课教学设计
2.4.3平面向量复习课公开课教学设计
教材说明
人教B版必修4第二章第四节
课型
复习课
课时
1课时学情分析
学情分析是教学设计中重要因素之一.认真研究学生的实际需要、能力水平和认知倾向,可以优化教学过程,更有效地达成教学目标,提高教学效率.我在
教学中把了解学生的兴趣、动机作为分析学情切入点.
一、了解学生的兴趣、动机
动机是激励人去行动,以达到一定目的的内在因素;而动机又产生于人的兴趣和需要.课堂教学的对象是活生生的学生,学生是学习的主人,教会学生学习,是教学活动的核心,教学要获得成功,就要认真分析,了解学生的心理需求,想方设法启动学生的内驱力,并采取各种有力措施,把学生的兴趣和需求纳入合理的轨道,以调动学生的学习积极性,将外在的教学目标系统转换为学生的心理需要,成为学生的学习目标,使学生由“要我学”转变为“我要学”,只有当学生对所学的内容产生了兴趣,形成了内在的需要和动机,他才能具有达成目标的主动性,教学目标的实现才有保证.如对概念的复习有多种方法,让学生复述定义是常见的形式,不过这样做会使学生失去兴趣,把定义复述变为填空题,可以提高学生学习兴趣.
二、分析学生的知识能力水平
本课是平面向量的复习课,学生应该掌握平面向量概念,三角形重要性质(重心,外心,内心,垂心性质).能够根据平面向量运算规律.向量共线与分解知识.在教学中发现,学生对向量的基本概念掌握比较好,也能够正确应用公式进行运算,不过对向量共线以及向量分解把握不准.
三、认知倾向或认知风格分析
高二5班大多数学生认知风格表现为场独立型;高二6班学生大多数认知风格属于场依存型,教学活动中,结合考虑两班学生不同的认知倾向,根据学生的认知差异改进教学法方法和教学策略,调整教学内容和教学目标,努力做到因材施教.如对六班学生,注意培养其独立思考的能力;对五班学生,注意培养其有条理地、细心地分析问题、解决问题的能力等.在问题深化环节组织研究学习小组时,我根据学生情况,将具有不同认知倾向的学生组合在一起,让他们在小组学习中,依据各自不同的特点去研究分析问题,相互取长补短.以便于他们更深入、全面地分析问题、解决问题.同时,这样做,不同认知倾向的学生相互影响,也有助于对学生认知倾向的培养调整.
教学内容分析
一、教学主要内容
向量是代数研究对象,也是几何研究对象,因此它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.向量是既有大小又有方向,与数量不同的量,因而在解决有关向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等各种变换,正确进行向量各种运算;二是向量坐标运算体现了数与形互相转化的思想.本课主要内容为:
三角形的“四心”与向量例1,例2,例3,例4;向量与解析几何:
例5,例6;利用向量的坐标运算,解决两直线夹角,判断两直线平行,垂直问题:
例7,例8;利用向量的坐标运算解决有关线段的长度问题:
例9;利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量:
例10,例11;利用向量的数量积解决有关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距离,线到线的距离,线到面的距离,面到面的距离.例12;向量与轨迹方程的综合例13;向量与数列的综合例14
二、教材编写特点教材的编写体现了知识形成的过程,目的是让学生经历将实际问题抽象成数学模型并予以解决和应用的过程,为学生能在探索、发现的活动中建构数学知识创造条件,所以教学中要充分发挥学生的主观能动性.
三、教材内容的数学核心思想数形结合思想,化归转化思想
教学目标
知识与技能:
向量概念与运算法则,向量的分解
过程与方法:
通过实例引导学生把向量作为沟通代数与几何的桥梁,培养学生分析问题,解决问题的能力.
情感态度与价值观:
在向量综合运用的过程中,渗透数形结合与等价转化思想,培养学生思维的深刻性与广阔性.
教学的重点和难点
重点:
向量的综合应用
难点:
用向量知识进行代数几何转化教学策略选择与设计
一、在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系,注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题.
二、二、向量是数形结合的载体,在本课中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题.同时向量的坐标表示为用代数方法研究几何问题提供了可能,丰富了研究问题的范围和手段.
三、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质,这类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
四、以解答题出现的题目,一般结合其它数学知识,综合性较强,难度大,以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本,掌握双基,精读课本是关键.教学资源
资源:
三角板,圆规,粉笔,教材
手段:
多媒体辅助教学,形象直观
教学过程设计
教学环节
教学过程
师生活动
设计意图
—、基本概念:
1.向量:
既有又有
前五道题比较简
的量.几何表示法AB,a;坐标表
单找个别学生回忆
用习题带知
并口述填空,必要时
识点,提高学生
示法a=xi+yj=(x,y).
让学生集体补充.
学习兴趣
向量的的模即向量的大小,记作
TT
|a|或||AB|.
2.零向量:
的向量,
记为
它的方向,规定它与任何向
知
量
识
3.单位向量:
的向
占
量.
梳
4.平行向量(共线向量):
方
教师利用基线
理
向相同或相反的非零向量
引导学生回忆向量
5.相等向量
共线条件
教师强调:
由于
一般情况下研究的
以学生熟悉的知识为载体,
二、向量的基本运算:
向量是自由向量,所
米用归纳的方
㈠向量的线性运算:
加法、减
以向量平行或共线
法,引导学生对比、思考,从而
法及数乘向量的综合运算:
等价.不过基线(直
顺理成章的完成
1.向量求和的三角形法则:
线)平行与共线不等
问题
价.向量共线等价于
2.向量求和的平行四边形法
两向量的基线平行
则:
或重合.
3.向量求和的多边形法则:
教师:
利用向量运算法则引导学生发现:
在MBC中
AB+BC=AC
(加)或
A^-A^=BC(减)
称AABC为向量三角形;推广可有
A[A2++…+
,称AA2…AnA为封闭折线.
结论:
证明三角形的三条中线交于一点,且这点把三条中线都分成2:
1的两条线段•
AnA1=0
打破学生的定义形式上的轻视,拓展思维宽度,活跃课堂气氛•
4.向量减法法则:
5.数乘向量的定义:
实数入和
向量a的乘积是一个向量,记作:
;其长为;其方
向为;
数乘向量的几何意义是:
向量加法满足下列运算律:
(1)加法交换律:
(2)加法结
合律:
数乘向量满足下列运算律:
(1)
(2)
(3)
㈡向量共线的条件:
平行向量基本定理)向量a与
TTT
b(b式0)平行(即共线)则存在
唯一实数扎满足
特别地,三点A、B、C共线
UAB"、AC.
㈢平面向量的坐标运算:
若{a,b}是一组单位正交基底,则
称(扎門是向量c在基底{a,b}下的
坐标,记作c=(九,4).
在平面直角坐标系下:
设
a=(a「a2),b=4,鸟),则有:
a+b=
a—b=
ha=
向量是近代
—f—*—f—f
数学中重要和基
a〃b(b式0)u
㈥向量的数量积:
以一正三角形来
本的数学概念之
结论4两个向量的数量积为
复习两向量夹角的
一,它是沟通代
iTif厂
知识,这既是对前面
数、几何与三角
ab=abcos。
,其中日=fa,b
r\/
知识的巩固,又是对
函数的一种工
为两个向量的夹角,其范围为
本节内容作的很好
具,有着极其丰
-
准备•
富的实际背景.
夹角公式cos日二歸二
教师提问:
强调
向量的坐标表
剛b|
两个向量的数量积
示,实际是向量
(坐标形式):
不是一个向量,而是
的代数表示.
|a|=航=
一个实数•
在这里有个
(坐标形式):
对于实数来说都有
常见思维误区:
ab=0=a丄b=
哪些运算律?
不能正确理解向
:
(坐标形式)
考虑一下这些规律
量夹角的定义,
数量积的运算律:
对向量的数量积成
两个向量夹角的
立吗?
为什么?
定义是指同一点
(1)父换律:
:
(2)数乘律:
:
最后归纳出:
数量积
出发的两个向量
的运算规律•
所构成的较小的
(3)分配律:
非负角.
典
一、二角形的“四心”与向量
例集锦
1.关于重心G,有重心公式:
彳
OG=—(OA+0B+0C)
3
xa+xb+xcyA+yB+yc、
G(c,c),
33
并有性质
GA+GB+GC=0;
2.关于垂心H,有性质
HAHB=HBHC=HCHA;
3.关于外心0,有性质|OA|^OB|=|OC|;
结论:
OHG三点共线且
OH=30G;此线称为欧拉
(Euler)线.(如何证明?
)
4.关于内心1,经常涉及内角平分线的研究,如
—「AB丄AC、
Al_人(一+—.).
|AB||AC|
例1:
已知O,N,P在AABC所
在平面内,且
OA=|OB=OC,NA+NB+NC=0,且PA・PB=PB・PC=PC・PA,则点O,N,P依次是MBC的
(A)重心外心垂心
(B)重心夕卜心内心
(C)外心重心垂心
(D)外心重心内心
例2:
在四边形ABCD中
教师提出问题,学生回答,复习公式
教师完善
教师给出例题,学生回答,教师指导
学生说出“四心”及相应特点,分析例题,小组间可以简单讨论
通过复习公式,加深对公式的记忆,为下列例题做铺垫
通过例题,让学生更好地理解三角形的“四心”与向量知识的综合应用,进步加深对相关公式的理解,灵活运用公式
AB=DC=(1,1),
1—_■13—_■
■■■BA+“BC=■兰〜BD,
BABCBD
则四边形ABCD勺面积是
例3:
设斜△ABC的外接圆
圆心为O两条边上的高的交点
uLo「;;a;,则P的轨迹一定通过
ABC的()
A、外心B、内心
C、重心D、垂心
二、向量与解析几何
例5:
在解析几何中,熟练掌握下列结论,有助于更好地运用向量:
(1)A、BC三点共线等价于存在实数〉1,使得OCOA「OB
(:
•:
=1);
(2)厶ABC的重心G的坐标公式为
1J
OG=—】OAOBOC•
3
(3)直线的方向向量是什么?
给
定两点:
R(Xi,%),P2My),那么RP2=(x2-凶,y2-%),这也就是方向向量,横坐标单位化,得:
(1,tana),也就是说:
直线
Ax+By+C=0的方向向量是
(B,-A),直线的法向量是(A,B).
例:
6:
已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0),点A、P、Q运动时,满足
TTTT
AE=2EF,AQ=QF,
PQ”AF=0,AP//Ep
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)设M、N是轨迹C上的两点,若OM+2ON=3OE,求直线MN的方程
三、禾U用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题
例7:
已知向量OP1,oR2,OR3满
口一,「TTTT
足条件OP1+OP2+OP^0,
TTT
OR=OP2=OP3=1,求证:
也PBB是正三角形
解:
令O为坐标原点,可设
教师给出例题,
学生分析解答
学生讨论、动手操作、思考问题并回答
算是常考的知识点,运用向量方法解决解析几何的有关知识,有时候显的非常方便.通过平面向量的坐标运算,我们可以培养学生的归纳、猜想、演绎能力,通过代数方法解决几何问题,提高学生用数形结合思想解决问题的能力.
R(cosq,:
P2(cos日2,
P3(co^3,
由OP1+OP2+OP3二
(cos®,sin®)+(cow
=(—cos日3—sin&3)
cos3+cos02=-c
sin0+sin02=-sir
两式平方
1+2cos0-0
cos0—0
由此可知q-82的J
0TT
120,即OR与OF
同理可得
OF与OP3的夹角为
OP2与OP3的夹角:
这说明RRR三点
个单位圆上,
所以ARBR为等腰
例8:
求等腰直直角边上的中线所成数
解:
如图,分』
别以等腰直己
角三角形的&
,两^直^角边^为—
sinq)sin日2)sin€i3)
=0,即
旳2,sin日2)
OS0①
103②
'和为
2)+1=1,
)=-2,
最小正角为
'、2夹角为1200,
为1200,
为1200,
〔均匀分部在一
三角形•
苴角三角形中两贞的钝角的度
■
分组完成并进行演示评价
观察图象回忆相关公式
通过练习使学生进一步体会几何与向量的关系,认识到数形结合的重要性•同时让学生在总结中提升自己解题的能力•
两直角边为
x轴、y
轴建立直角坐标系,设
A2a,0,B0,2a,则Da,0,C0,a,
从而可求:
AC=-2a,a,BD=a,-2a,
co^-2a,a久一羽=
P5a忑a
—4a2_4
5a25
(4)
e=arccos-—.
I5丿
四、利用向量的坐标运算,解
决有关线段的长度问题
例9:
已知ABC,AD为中线,
求证AD2=’(AB2+AC2)—f
2\2)
证明:
以B为坐标原点,以BC所
在的直线为x轴建立如图2直角坐
设A(a,b)C(c,0),D〔2,0)则
标系
AD
2c
「C…2
=_—ai+(0—b)
J'
22
-acab
2
=a2+b2-ac+乞
4
从而
IAD|2二
五、利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量
例10:
已知点O是
学生自习分析并
画出图形
ABC内的一点,
AOB=150°,BOC=90°,
充分体现教师主导作用和学生主体作用相统一,体现教学的直观性和启发性.
*■T■TT—设OA=a,OB=b,OC=c,且a=2,耳=1,c=3,试用
—f—*T
a,禾口b表示c
解:
以O为原点,OCOB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系.
由0A=2ZAOx=120°,所以
结合向量来解决
A2cos120°,2sin1200,即A-1,,3,
易求B0,-1,C3,0,设
OA=•QB,2OC,即
-1,3=\0,-1'23,0
:
-1=3妬<3=-九
13
…3-A
例11:
如图,OA
T
OB=1,
:
OA,OB120,用OA,OB表示
OC.
解:
以O为坐标原点,以OA所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,
则A1,0,
由COA=30
引导学生思考后回答配合教师板演
训练学生对图形的运用,渗透转化思想,培养学生严谨的思维品质,有利于学生对向量的理解.
所以C(5cos30°,5sin30°)
即c(5*3,5)
22
同理可求B一1,』3
I22丿
OCOl+嘉OB,即
(座,5)=肋(1,0)+九2』,®)
2222
5^/31:
10^3
\22,3.
|5的、L5运
i一=~-心i人2=
[2213
■10、;3■5丁3■
:
、OC=—^OA+亠OB.
33
六、利用向量的数量积解决有关距离的冋题,距离冋题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距离,线到线的距离,线到面的距离,面到面的距离•
例12:
求平面内两点
A(%,yj,B(X2,y2)间的距离公式
解:
设点A(X1,yJ,Bgy),
AB=化-兀皿-yj
"AB|=J(X2—X1)2+(y2—yj2,
T
而|AB冃AB|
二点A与点B之间的距离为:
1ABLJ(X2-X1)2+(y2-yj2
由学生证明并得
出结论
从知识和体验入手总结本节课内容,得到提高和巩固,使学生深切体会本节内容从而实现再次深化.
Mb—
例13:
设XJERiJ为直角
探究思路:
①引
许多几何问
坐标平面内轴正方向上的单位
导学生分析神"
题,用向量来解
的几何意义.
决显得简捷方
向量.若向量说"+0+2”,
便在教学过程
②求出M点的轨迹
Q拧十(』-折,且酣阡8
A.2
中,引导学生不
方程1216
断体会,最终能
(1)求点M(和)的轨迹方程;
③op=ai+aS^四
熟练应用向量来
(2)过点(0,3)作直线/与曲线
边形如8是平行四
证明两直线平
C交于人B两点,设OP=OAWB,
边形;
行、垂直、两直
若倔是矩形,则
线夹角,利用向
是否存在这样的直线!
,使四边形
oi厢胡二冲血+加]=o
量得到定比分点
问
0媲是矩形.若存在,求出/方程;
在教师的引导
公式,两点距离
题
若不存在,请说明理由.
公式,平移公式,
下,学生自主探索如
深
下问题:
正余弦定理等,
化
例14:
已知两点MPLOLMIffi,
由M,NtP三点坐标
同时在教学中注
w4亠4life斗
意向量与三角函
点P使MP■■PN,丽■NP成公
表示上述向量.
数、复数、数列、
差小于零的等差数列.
由
解几的综合应
(1)点F的轨迹是什么曲线;
用.
(2)若点P的坐标是(阳必)初为
是公差小于零的等
差数列等价于
顷与旳的夹角,求就3.
9o
为提高学生
X2+y2=3
<
学习探究能力,
/>0
课堂学生自主分
P点轨迹是以原点为
析、探究,教者
圆心,原点为半径的
适时点拔
圆
巩
1.在下列各命题中为真命题
固
的是()
不同层次的
练
—»■—»>
①若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),
学生都可以获得
习
成功得到喜悦,
贝Ua•b=xy+X2y2
2若A(xi,yi)、B(X2,y2),则丨
AB|=J(xi—X2)2+(yi—y2)2
3若a=(xi,y1)、b=(X2,y2),贝Ua•b=0=xiX2+yiy2=0
4若a=(xi,yi)、b=(x2,y2),
、■1
贝Ua丄b=xiX2+yiy2=0
A、①②B、②③
C、③④D、①④
2.已知a=(—w'3,—i),b=(i,石),那么a,b的夹角0=()
A、30°B、60°
Ci20°D、i50°
3.已知a=(2,i),b=(—
i,3),若存在向量c使得:
a•c=4,b•c=—9,试求向量c的坐标、
4.求向量a=(1,2)在向量
b=(2,—2)方向上的投影
教师:
巡回指导,纠正错误,师生共同确定问题的答案•学生:
独立思考,培养独立学习的习惯•
看到自己的潜能.从而激发学生饱满的学习兴趣,促进学生自主发展,合作探究的学习氛围•
课
后小结
1.在本课中我们复习了哪些与向量有关的公式?
2.向量在代数或几何中有哪些应用?
3•你们对本课哪些内容还有困惑?
作
业
必做题:
Pi26巩固提高选做题:
P127自测与巩固
A
课后教学反思
一、优势
在教学中,高二五、六这两个班学生,通过前面学习,大部分学生的知识基础和接受的能力还是可以的.20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握本节内容,30%的学生在课堂上能够跟上我的思路,通过讲解,也能很快掌握,30%的学生勉强能跟上我的思路,但需要时间消化,剩下20%勺学生,如果不预习课本基本上上课很难听懂,即使提前预习了,也不一定能跟的上.
二、不足
1.教学教法方面
一方面学生在接受上有一定的困难,另一方面在细节问题上就很难把握的好一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识,难度很大,同时,一味地赶进度,带来的直接后果就是学生学而不精,对深层的问题,没有实质性的认识,只会死记公式,做原题,对于变形题目,学生仍然无从下手•
2.对学生能力估计不足
在课堂教学之前,做为教师,我应该对学生有个充分的估量,在这些容易错的地方,学生会出现那些错误,学生会用什么方法解决此题,我应该事先有个充分的估量,不至于课堂教学中,出现我没预料到的情况,造成教学的被动•
3.应鼓励学生自主探索、自主学习
在问题深化过程,本意很想让学生自主探索,自主学习,但在实际操作过程中,由于师生配合不是特别的默契,没有完全把学生的意图彻底弄透,甚至最后时间都有紧
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- 平面 向量 复习 公开 教学 设计