第十二章无穷级数解题方法归纳.docx
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第十二章无穷级数解题方法归纳
第十二章解题方法归纳
一、正项级数敛散性的判定方法
1.一般项极限不趋于零则级数发散•
2.比较审敛法
3.比较审敛法的极限形式
4.比值审敛法
5.根值审敛法
1.一般项极限不趋于零则级数发散
例1判定级数ans=1•2s•3s•「ns*11(s0)的敛散性.
n4
『方法技巧』无论是正项级数还是任意项级数,判定其敛散性时一般第步都是验证一般项的极限是否为零.
2.
比较审敛法
3.
n
a
2n
1a
1
ln3n
的敛散性.
1,则
n
4.
比值审敛法
nn:
!
n
5.根值审敛法
(n1)n
解limnun=lim也芋=—lim(1—)nn存*f2n2n
、任意项级数敛散性的判定
oO
当a1时,an:
:
:
二,而J亠收敛,故由比较审敛法得n(1+a)a
收敛,从而V
n4
:
:
字忌绝对收敛.
当a<1时,
是)益,而鳥发散,故由比较审敛法得:
:
S(1an)发散.
F面讨论级数、
「匚⑪J的敛散性.
n4n1a
令f(x)=x(1ax),则f(x)=1axxaxlna,当x充分大时,
「(x)二axlna[2xlna]:
:
:
0,所以f(x)单调递减,且
limfx(-)1alnxlaixm
Xx厂:
x1
a1l-n^+ima1-lh_Jim
x厂:
ax厂:
-lnaa
所以f(x)1,函数f(x)=x(1ax)单调增加,故后单调减少,且
nim:
応=。
,所以交错级数二呼忌收敛,故〔呼汴条件收敛.
『方法技巧』正项级数敛散性取决于参数a的取值,因此先就a的情况进
行了讨论,另交错级数数列「u「的单调性应用函数的导数来说明
三、幕级数的收敛半径、收敛域的求法
1.不缺项的幕级数收敛半径的求法
2.缺项的幕级数收敛半径的求法
3.非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法
1.不缺项的幕级数收敛半径的求法
001xn
例7求幕级数a的收敛半径.
n^3n+2nn
解由于级数是不缺项的,故
2.缺项的幕级数收敛半径的求法
oO
例8求幂级数:
〒x2n的收敛域.
径,故
解得x:
迈,故收敛半径为R.
3.非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法
例9求级数'凹■(—)n的收敛域.
n二n2x+1
x°°(—1)n
2x1
解令t二-^,则原级数变形为a3tn,此时级数不缺项,故
心n
2x1
dtn的收敛域为(-1,1],从而原级数在-仁:
^^-1内收敛,故级数
n
的收敛域为x乞-1或x—丄
n$n2x13
四、幕级数和函数的求法
1.利用微分、积分的方法求和函数
2.转化为微分方程求和函数
3•利用已知的函数的幕级数展开式求和函数
1.利用微分、积分的方法求和函数
例10求幕级数(2n1)xn的和函数.n30
解因为
且x时级数发散,故幕级数的收敛域为(-1,1)
OQqQqQ
设S(x)八一(2n1)x^x?
2nxn(直接积分无效,只能进行拆项)
nzSnz0n^0
CO
S(x)二2nxn
nT
x:
:
:
:
=2xMnxnJ1=2x(°C二nxn')dx)=2x(二xn)
n=1n=1n=1
2.转化为微分方程求和函数
旳x4n
例10求幕级数的和函数.
心(4n)!
解易求此幕级数的收敛域为(-"',•:
:
).
因此,y(o)",y(o)=y(o)=y(o)=o且y⑷(x)-y(x)=o,
由常系数齐次线性方程组的解法有y=Gex•C2e»•c3cosx•C4sinx,
、1111
由初始条件得G=C2,C3,C4=0,从而y(x)(^e")cosx,
4242
1
:
=x4n
1
(exe»)cosxx(一心,:
:
).
n=o(4n)!
42
n2亠1
11求幕级数nn'xn1的和函数.
^o3nn!
:
:
3
z亠亠+送亠亠+送n=2(n-2)!
nm(n-1)!
n=on!
2
Xx
+1=x(—+—+1)e3,x€(-°o,畑).
93
五、常数项级数的和
——5—f5
212n什fh>
(2)
Iin$h二Ii=m
212n
(1)
(2)
od
z
n(n1)(n2)4
2.利用幕级数的和函数求常数项级数的和
°°(_1)n」n
例13求级数a(__--的和.n二(2n+1)!
解由于级数中含因子-——,因而考虑sinx的展开式,故幕级数设为缺
(2n+1)!
n1
项形式•令S(x)八•上丿-x2-」,(」:
「:
),则
n壬(2n+1)!
1
+x)=——(x-sinx),
(2n1)!
2x
故级数二汕代⑴冷伽®1).
『方法技巧』所求常数项级数的一般项中若含有n!
(2n十1)!
(2n-1)!
时,
所构造的幕级数的和通常为ex,sinx,cosx等,注意灵活运用幕级数球和函数的方法.
3.利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和
例14将函数f(x)=2+x|(x<1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并求
级数由于f(x)=2+|x|是偶函数,故bn=O,(n=1,2,川),迟-的和.
n#n
25
n4(2n-1)
1.直接展开的方法
2•间接展开的方法
例15将函数f(x)二secx展开成x的幕级数.
即f(2n」)(x)是奇函数,
解由于f(x)二secx是偶函数,它的导数必是奇函数,
,而secxcosx=1,
幕级数展开式中只含x的偶次幕,故可设secx」’a2nx2n
n=0
24
中COS"1吆和川(-一X」),故
24
24XX
secxcosx=(a0a2xa4xHI)
(1)=1,
2!
4!
比较系数得
ao1=1,a21-色=0,a41-勺虫7川
2!
2!
4!
所以a°=1,a?
=1,a4=-4,||(,
225
1244
因此,secx=1xxT1(.
5
『方法技巧』本题虽然采用间接的方法,但与以前的例题有所不同的是利
用了函数自身的性质以及三角恒等式的关系•同理,你可以试着将f(x)二展
1+ex开为x的幕级数.
七、函数展开为傅里叶级数
例16f(x)在[」卫]上满足f(x")=f(x,试证其傅里叶系数
a2nJL讥」
证
1二
a2nAf(x)cos(2n-1)xdx
101二f(x)cos(2n-1)xdxf(x)cos(2n-1)xdx
0
令x-二t,则
兀00
f(x)cos(2n-1)xdxf(二t)cos(2nTXdtf(二x)cos(2n-1)xdx
0■-■-
故a2n4=0,同理.
七、综合杂例
旳1
例17证明柯西积分判别法,并判定级数—的敛散性.
n=2ln(n!
)
设f(x)在x_1上非负、连续且单调递减,则f(n)与.「■f(x)dx同敛散.nA
证由于k乞x^k,1时,f(k,1)乞f(x)乞f(k),因此
k十
ak1=f(k1)乞f(x)dx咗f(k)=ak,
k
比-a^
k4'kJ
由上式知'f(n)与十''f(x)dx敛散性一致.n4
因为
111
Inn!
)In1-1in2nInnn
又因为—d^lnln三发散,故由柯西积分判别法知—发 、2xlnxn=2nInn O0A 散,再由比较审敛法得级数V丄发散• n=2ln(n! ) 例18(09数一)设an为曲线y=xn与y=xn1(n=1,2川I)所围成区域的面 积,记0八「a.,S2八,求的值. nTn丑 解曲线y=xn与y=xn1的交点为(0,0),(1,1).所以 an 从而 00 3=、an N =lim'an二lim -1— n=1 N—丿n吕N? : 2 3N1 //nn卅、』z1n卅1n42、 0(x-x)dx=(FT—Rx) 1 N2 □a S2二'a2n4 n4 n*2n 丄)丄1丄-1丄」I, 2n123456 11 由于ln(1x)=xx2x3 23 n m^1)nJ— n 11111 ln2=1-(—-——-——TH)=1-S2,所以S2=1-1n2. 23456 旳1 而71*发散. ni2 : _n 所以,级数在小时收敛;在心时发散- 『方法技巧』比较审敛法中,选作参照物的级数可以是P-级数,也可以 是等比级数. 3.比较审敛法的极限形式 L=(—L2xnA(2n+1)! 2x心
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