图形的变换.docx

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图形的变换

图形的变换专题复习

年份

题号

分值

题型

考点

考查内容

2015

2014

2013

14

3

填空题

图形的平移

坐标系、特殊四边形

2012

2011

6

3

选择

图形的平移、旋转

点的坐标

例题1（2012河南）如图，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）.若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，-2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_________.

2.如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为（）

（A）（3，1）（B）（1，3）

（C）（3，－1）（D）（1，1）

变式题（2012·广安）如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（－6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为____．

图形的折叠问题

年份

题号

分值

题型

考点

考查内容

2015

15

3

填空题

图形的折叠

正方形的性质及折叠；等腰三角形的判定；勾股定理

2014

15

3

填空题

图形的折叠

矩形的性质及折叠；角平分线的性质；勾股定理

2013

15

3

填空题

图形的折叠

矩形的性质及折叠；直角三角形的判定；勾股定理

2012

15

3

填空题

图形的折叠

三角形的折叠；直角三角形的判定；相似三角形的判定

2011

—

—

—

—

—

考情总结

分析近5年河南中考真题可以看出，图形的折叠问题在河南中招考试中除2011年外，其他4年均有考查，常设置1道题，分值一般为3分，均以填空题的形式出现.本专题内容在考查中常涉及到特殊平行四边形的折叠与性质、特殊三角形的判定、勾股定理的运用，角平分线的性质等.因此考生在复习中应熟练掌握一些基本图形的性质和判定定理以及图形折叠的性质.

　【方法指导】有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分进行相关计算.

图形的折叠通常和动点问题结合在一起进行考查，常见的问题类型有以下3种：

（1）求线段的取值范围；

（2）求最值问题；（3）分类讨论线段长度.其中第（3）种类型在河南中招考试中为常考类型，解决此类型题，一般运用等量代换，并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程，进而求解线段的长度.

例1、如图，在中，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为。

变试题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为等腰三角形时，BD的长为。

变试题2.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_________.

变试题3.（2015商丘模拟）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为____________.

分析：

连接BD′，过D′作HF⊥AB，交AB于点F，CD于点H，先利用勾股定理求出FD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．

点评：

本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的

变式训练1.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠.当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为________.

变式训练2.将矩形ABCD纸对折，设折痕为EF，再把B点折到折痕线EF上（见图点B′），若，则EB′=____．

变式训练3.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长

如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F．

（1）当点P恰好为BC的中点时，折痕EF的长度为         ；

（2）设BP=x，要使折痕始终与边AB，AD有交点，x的取值范围是         ．

变式训练.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则

BP的取值范围是___________.

小明用不同的方式来折叠一个边长为8的正方形纸片ABCD，折痕MN分别与边AD，BC交于点M，N，沿MN将四边形ABNM折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B′．他得到了以下结论：

①如图1，当点B′落在DC的中点处时，BN=5．

②如图2，当点B′落在CD上时，延长NB′交AD的延长线于点E，△NEM为等腰三角形．

③如图2，当点B′落在CD上时，连接BB′，此时BB′=MN，BB′⊥MN．

④如图3，先将正方形沿MN对折，使AB与DC重合，再将AB沿过点A的直线折叠，使点B′落在MN上，则∠MAB′=60°．其中正确结论的序号是______________．

14．（3分）（2014年河南省）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　　．

22.（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；A（D）B（E）C图1ACBDE图2②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.

（2）猜想论证M图3ABCDEN

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC

中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

（一）正三角形类型

在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

例1.如图：

（1-1）：

设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.

（二）正方形类型

在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

例2 .如图（2-1）：

P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD面积。

（三）等腰直角三角形类型

在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠,P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

例3．如图，在ΔABC中，∠ACB=900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠BPC的度数。

旋转思考层次

全等变换：

对应边相等、对应角相等．

旋转三要素：

旋转方向不确定会分类讨论；同一旋转中旋转角相等；旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上．

旋转常见结构：

旋转会产生圆；旋转会出现等腰三角形，同一旋转过程中产生的等腰三角形相似．

当题目中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转结构解题．（常见有正方形、等边三角形、等腰三角形）

例把两个全等的等腰直角板ABC和OPQ叠放在一起，

如图1，且使三角板OPQ的直角顶点O与三角板ABC的斜边中点重合．

现将三角板OPQ绕点O按顺时针方向旋转（旋转角满足条件

），四边形CDOE是旋转过程中两三角板的重叠部

分（如图2，图3所示），已知两个三角板的直角边长均为4．

探究：

（1）在上述旋转过程中，线段OD与OE之间有怎样的数量关

系,以图2为例证明你的猜想.

【点评】以上两题都是通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力．此题关注了学生认识数学对象的过程与方法．为了考查和培养学生的创新思维能力，中考试题中也越来越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答，亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解．这也对我们今后的教学的方向性起着导向作用．

平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：

结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．

数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：

 1、对称的思想：

在平移、旋转、对称这些概念中，对称这一概念非常重要.它包括轴对称、旋转对称、中心对称.对称是一种种要的思想方法，在解题的应用非常广泛.

2、旋转的思想：

旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。

心得：

先标等量，再构造方程。

折叠问题中构造方程的方法：

（1）把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程

（2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。