二元一次方程组知识点归纳解题技巧汇总练习题及答案.docx
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二元一次方程组知识点归纳解题技巧汇总练习题及答案
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
且含未知数的项的如果方程组中含有两个未知数,有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
叫二元一的整式方程,1并且未知数的都指数是一个含有两个未知数,二元一次方程定义:
次方程。
二元一次方程组定义:
两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。
叫做二元一次方程的使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,二元一次方程的解:
解。
二元一次方程组的解:
二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解。
一般解法,消元:
将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。
消元的方法有两种:
代入消元法①x+y=5例:
解方程组②6x+13y=89③x=5-y解:
由①得y=59/76(5-y)+13y=89把③带入②,得带入③,y=59/7把x=-24/7∴x=-24/7即x=5-59/7为方程组的解y=59/7代入“我们把这种通过elim消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(”,简称代入法。
substitution)byination加减消元法①x+y=9例:
解方程组x-y=5②带入①x=7把x=7即2x=14②+解:
①y=-2解得7+y=9得为方程组的解y=-2x=7∴
,简称addition-subtraction)byelimination(像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法二元一次方程组的解有三种情况:
加减法。
有一组解1.为方程组的解y=59/7x=-24/7②6x+13y=89①x+y=5如方程组2.因为这两个方程实际上是一②2x+2y=12①x+y=6如方程组有无数组解亦称作(个方程,所以此类方程组有无数组解。
”)方程有两个相等的实数根“①x+y=4如方程组无解3.x+y=5因为方程②化简后为②,2x+2y=10这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。
应注意用哪种方法简单,注意:
用加减法或者用代入消元法解决问题时避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法.代入混合使用的方法-加减)一(
(1)13x+14y=411,例
(2)14x+13y=40得:
(2)-
(1)解(3)x=y-1x-y=-113(y-1)+14y=41得
(1)代入(3)把y=227y=5413y-13+14y=41x=1得(3)代入y=2把y=2:
x=1,所以.这样就适用接下来的代入消元y,或单个x单个,两方程相加减:
特点换元法)二((x+5)-(y-4)=4(x+5)+(y-4)=8,2例n=2m=6,解得m-n=4m+n=8原方程可写为x+5=m,y-4=n令x+5=6,所以y=6x=1,所以y-4=2之类,换元后可简化方程也是主要x+5,y-4特点:
两方程中都含有相同的代数式,如题中的原因。
(三)另类换元5x+6y=29x:
y=1:
4,3例x=1,y=4所以t=129t=295t+6*4t=29可写为:
2方程y=4tx=t,令二元一次方程组的解一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程,叫做解方程组。
一般来说,二元一次方程组只有唯一的一个解。
:
注意二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的!
也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
方程的有关应用题(特别是行程、工程问题);★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法内容提要☆☆.2.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)1基本概念一、分类:
a=b←→a+c=b+c.1等式性质—解方程的依据二、(c≠0)a=b←→ac=bc.2解法三、1解。
1→系数化成→合并同类项→移项→去括号→.一元一次方程的解法:
去分母②加减法⑵方法:
①代入法”消元“元一次方程组的解法:
⑴基本思想:
.2四、⑵配方.解法:
⑴直接开平方法(注意特征)2.定义及一般形式:
1一元二次方程法(注意步骤.根的判别3)=0⑷因式分解法(特征:
左边⑶公式法:
推倒求根公式)—.常用等5。
为根的一元二次方程是:
,则以逆定理:
若.根与系数顶的关系:
4式:
式:
可化为一元二次方程的方程五、)⑷验根及方法.分式方程⑴定义⑵基本思想:
⑶基本解法:
①去分母法②换元法(如,1.无理方程⑴定义⑵基本思想:
⑶基本解法:
①乘方法(注意技巧!
!
)②换元法⑷验根及方法2.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代3列方程(组)解应用题六、一概述列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是:
⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。
①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。
一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。
一般地,未知数个⑹答案。
⑸解方程及检验。
数与方程个数是相同的。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。
在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。
因此,列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
;=+:
)同时出发(⑴相遇问题s=vt基本关系:
行程问题(匀速运动).1t⑵追及问题(同时出发):
若甲出发处追上甲,则B小时后,乙才出发,而后在;⑶水中航行:
+溶质=溶液浓度×溶液=配料问题:
溶质.2.增长率问题:
3溶剂)。
“1”工作时间(常把工作量看着单位×工作效率=.工程问题:
基本关系:
工作量4三注意语言与.几何问题:
常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。
5解析式的互化
二元一次方程组练习题一、选择题:
).下列方程中,是二元一次方程的是(12y1C6xy+9=0.B2y=4z-3x.A4x=.D+4y=6.x4).下列方程组中,是二元一次方程组的是(28yx211b3a24yx9x.A..BD.C276c4b5y3x24yxx2y(11b=21-5a.二元一次方程3).有无数解B.有且只有一解A.有且只有两解D.无解C4)的公共解是(3x+2y=5与x-y=1.方程3x3x3x3x.A.D.C.B2y2y4y2y-x.若│5),则的值是(=0)3y+2(+│223D3.-C2.-B1.-A.2ky3x4.方程组6)等于(k的值相等,则y与x的解与5y3x2).下列各式,属于二元一次方程的个数有(71;y=7-xy+2x①=2x⑤;x=y④;+y=5③;y-4x+1=x②y-22x=2y)1-y(y⑧x+y+z=1⑦2y-6x⑥+xy-221.A4.D3.C2.B则下面所•人,2倍少2的x比女生人数y人,其中男生人数246.某年级学生共有8列的方程组中符合题意的有()246yx216yx246y246xyx.A.D.C.B2xy22x2y22yx22xy二、填空题
的代数式表示y;用含y=_______为:
y的代数式表示x,用含4=0-2x+3y.已知方程9.x=________为:
x1.x=______时,1-y=;当y=_______x+3y=2时,x=4中,当.在二元一次方程-102.n=______,m=_____是二元一次方程,则=5x.若11--2y-1n33m2,x.已知12.k=_______的解,那么ky=1-x是方程3y1-x.已知│13.k=_____,则ky=4-2x,且=0)2y+1(+│2.______________的正整数解有x+y=5.二元一次方程145x.以15._________为解的一个二元一次方程是7y3ymx2x.已知16是方程组.n=______,m=_______的解,则6nyx1y三、解答题3-3x+5y=时,二元一次方程3-y=.当17有•的方程)y,x(关于2ax=a+2-3y和的值.a相同的解,求-a.如果(18满足什么条b,a的二元一次方程,则y,x是关于y=13)b+1(x+)2件?
7y3x4.二元一次方程组19.k的值相等,求y,x的解k(kx3y1)的值是多少?
y-x,则=0)2y+1(+)1│-x是有理数,且(│y,x.已知20221使它与已知方程所组成的方•,请你写出一个二元一次方程,x+3y=5.已知方程2124x.程组的解为1y.根据题意列出方程组:
22
问明明两种•元钱,20枚,共花去13元的邮票共2元与0.8)明明到邮局买1(邮票各买了多少枚?
若每个•只,则有一鸡无笼可放;4若每个笼中放将若干只鸡放入若干笼中,)2(只,则有一笼无鸡可放,问有多少只鸡,多少个笼?
5笼里放25yx.方程组23的值是否是y,x的一对y=8-2x?
满足y=8-2x的解是否满足8yx225yx的解?
方程组8yx2在整数范围内x)2-m-(2x+9=2的方程x,使关于m.(开放题)是否存在整数24的解吗?
x的值?
你能求出相应的m有解,你能找到几个答案:
一、选择题.1②含有未知掌握判断二元一次方程的三个必需条件:
①含有两个未知数;解析:
D;③等式两边都是整式.1数的项的次数是
解析:
二元一次方程组的三个必需条件:
①含有两个未知数,②每个含未知数的A.2;③每个方程都是整式方程.1项次数为解析:
不加限制条件时,一个二元一次方程有无数个解.B.3解析:
用排除法,逐个代入验证.C.45B.6解析:
利用非负数的性质.C.含有两个未知数且未知数的次数不超•解析:
根据二元一次方程的定义来判定,C.7B.8次的整式方程叫二元一次方程,注意⑧整理后是二元一次方程.1过二、填空题4y34x2410-.10.933244.11.n=2,m=,∴1=1-n,3=1-3m解析:
令2,332,x解析:
把1.-12.1-k=,∴3k=1-2中,得-ky=1-x代入方程3y,2y+1=0,1=0-x解析:
由已知得4.131x11.k=1,∴k=42+中,ky=4-2x代入方程,把-y=,x=1∴122y24x3x2x1x.解:
141y2y3y4y均为正整数,y,x,又∵x-y=5,∴x+y=5解析:
∵5为小于x∴;y=3时,x=2;当y=4时,x=1的正整数.当.y=1时,x=4;当y=2,x=3当4x3x2x1x的正整数解为x+y=5∴1y2y3y4y的数量关系组建方程,如y与x解析:
以x+y=12.15等,y=3-2x,2x+y=17此题答案不唯一.3ymx2x解析:
将41.16代入方程组中进行求解.6nyx1y三、解答题-y=.解:
∵17,x=4,∴3-=)3×(-3x+5,∴3-3x+5y=时,3
有相同的解,2ax=a+2-3x和•3•-•3x+5y=∵方程114=a+2×2a)-3×(-3∴.-a=,∴9,x是关于y=13)b+1(x+)2-a.解:
∵(18的二元一次方程,y≠-b,2≠a∴•,0≠b+1,0≠2-a∴1.0解析:
此题中,若要满足含有两个未知数,需使未知数的系数不为)0,则该项就是0若系数为•(4x+3x=7可化为4x+3y=7,∴x=y.解:
由题意可知19,中得y=3)1-k(kx+代入•1•y=,x=1.将y=1,x=1∴,1=3-k+k可将一个未知数用含另一个未知数的代数由两个未知数的特殊关系,解析:
k=2∴式代替,化“二元”为“一元”,从而求得两未知数的值.y=,1±x=,∴2y+1=0且1=0(│-x,可得│=0)2y+1+)1│-x.解:
由(│20221.-2113=;y=1+-x时,-y=,x=1当222111-=-y=,1-x=当.1+-y=-x时,222,0解析:
任何有理数的平方都是非负数,且题中两非负数之和为.2y+1=0,1=0│-x从而得到│,0都等于)2y+1(与)1│-x(│则这两非负数224x1.y=3-x的解,再写一个方程,如x+3y=5.解:
经验算21是方程21y13yx2枚,x元的邮票买了8.0设解:
)1(.22根据题意得枚,y元的邮票买了.20y2x0.8x1y4个笼,根据题意得y只鸡,x)解:
设有2(.x1)y5(.解:
满足,不一定.2325yx•,y=8-2x的解,也满足x+y=25的解既是方程解析:
∵8yx2的解有无数组,y=8-2x∴方程组的解一定满足其中的任一个方程,但方程
25yx.,不满足方程组y=12,x=10如8yx2,mx=7.解:
存在,四组.∵原方程可变形为-24时,m=1∴当.x=1时7-m=;1-x=时,7•m=;x=7时,1-m=;7-x=
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