高中数学第二章平面向理及坐标表示234平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修409132148.docx
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高中数学第二章平面向理及坐标表示234平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修409132148
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学习目标:
1.理解用坐标表示两向量共线的条件.(难点)2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线;并掌握三点共线的判断方法.(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定.(易混点)
[自主预习·探新知]
平面向量共线的坐标表示
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.
(2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线.( )
(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.( )
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)且b≠0,则=.( )
[解析]
(1)正确.因为(4,8)=4(1,2),所以向量(1,2)与向量(4,8)共线.
(2)正确.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.
(3)错误.当x2y2≠0时=.
[答案]
(1)√
(2)√ (3)×
2.下列各对向量中,共线的是( )
A.a=(2,3),b=(3,-2)
B.a=(2,3),b=(4,-6)
C.a=(,-1),b=(1,)
D.a=(1,),b=(,2)
D [A,B,C中各对向量都不共线,D中b=a,两个向量共线.]
3.已知a=(-3,2),b=(6,y),且a∥b,则y=________.
-4 [∵a∥b,∴=,解得y=-4.]
[合作探究·攻重难]
判定直线平行、三点共线
(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )
A.-13 B.9
C.-9 D.13
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?
直线AB平行于直线CD吗?
[思路探究]
(1)→→
(2)→
(1)C [
(1)设C(6,y),∵∥,
又=(-8,8),=(3,y+6),
∴-8×(y+6)-3×8=0,
∴y=-9.]
(2)[解] ∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),
=(2-1,7-5)=(1,2).
又2×2-4×1=0,
∴∥.
又=(2,6),=(2,4),
∴2×4-2×6≠0,
∴A,B,C不共线,
∴AB与CD不重合,
∴AB∥CD.
[规律方法] 向量共线的判定方法
提醒:
向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:
纵横交错积相减.
[跟踪训练]
1.已知A(1,-3),B,C(9,1),求证:
A,B,C三点共线.
【导学号:
84352230】
[证明] ==,=(9-1,1+3)=(8,4),
∵7×4-×8=0,
∴∥,且,有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
已知平面向量共线求参数
已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
【导学号:
84352231】
[思路探究] 法一:
可利用b与非零向量a共线等价于b=λa(λ>0,b与a同向;λ<0,b与a反向)求解;
法二:
可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=λa判定同向还是反向.
[解] 法一:
(共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
所以
解得k=λ=-.
当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-(a-3b),
因为λ=-<0,
所以ka+b与a-3b反向.
法二:
(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
解得k=-.
这时ka+b==-(a-3b),
所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
[规律方法] 利用向量平行的条件处理求值问题的思路:
(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
[跟踪训练]
2.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是________.
- [因为a∥b,所以x2-x-λ=0,
即λ=x2-x=2-≥-,
所以λ的最小值为-.]
向量共线的综合应用
(1)已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,则2sinαcosα等于( )
A.3B.-3
C.-D.
(2)如图2318所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.
【导学号:
84352232】
图2318
[思路探究]
(1)先由a∥b推出sinα与cosα的关系,求tanα,再用“1”的代换求2sinαcosα.
(2)要求点P的坐标,只需求出向量的坐标,由与共线得到=λ,利用与共线的坐标表示求出λ即可;也可设P(x,y),由∥及∥,列出关于x,y的方程组求解.
(1)C [
(1)因为a∥b,所以cosα×1-(-2)sinα=0即cosα=-2sinα,tanα=-,
所以2sinαcosα==
==-.
(2)法一:
(定理法)由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=-=(4λ-4,4λ),=-=(-2,6).
由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以==(3,3),所以P点的坐标为(3,3).
法二:
(坐标法)设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以P点的坐标为(3,3).]
[规律方法] 向量共线的坐标表示的应用
1已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
2已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
[跟踪训练]
3.如图2319,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.
图2319
[解] 设=λ=λ(11-1,6-2)=(10λ,4λ).
易得=(-11,1),
∴=+=(10λ-11,4λ+1).
又=(-8,4),而与共线,
∴4×(10λ-11)+8×(4λ+1)=0,
解得λ=.
设点P的坐标为(xP,yP),
∴=(5,2)=(xP-1,yP-2),
∴
即
故点P的坐标为(6,4).
共线向量与线段分点点坐标的计算
[探究问题]
1.设P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),如何求线段P1P2的中点P的坐标?
提示:
如图所示,∵P为P1P2的中点,
∴=,
∴-=-,
∴=(+)
=,
∴线段P1P2的中点坐标是.
2.设P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),点P是线段P1P2的一个三等分点,则P点坐标是什么?
提示:
点P是线段P1P2的一个三等分点,分两种情况:
①当=时,=+=+=+(-)=+
=;
②当=时,
=+=+
=+(-)
=+
=.
3.当=λ时,点P的坐标是什么?
提示:
∵=+=+λ=+λ(-)=+λ-λ,
∴=
=(x1,y1)+(x2,y2)
=+
=,
∴P.
已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,求点P的坐标.
【导学号:
84352233】
[思路探究] 点P在直线AB上,包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上,因此应分类讨论.
[解] 设P点坐标为(x,y),
||=2||.
当P在线段AB上时,=2,
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB延长线上时,=-2,
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴解得
∴P点坐标为(-5,8).
综上所述,点P的坐标为或(-5,8).
母题探究:
1.若将本例条件“||=2||”改为“=3”其他条件不变,求点P的坐标.
[解] 因为=3,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),
所以解得
所以点P的坐标为.
2.若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B,且||=3||”,求点A,B的坐标.
[解] 由题设知,A,B,P三点共线,且||=3||,设A(x,0),B(0,y),
①点P在A,B之间,则有=3,
∴(-x,y)=3(-2-x,3),
解得x=-3,y=9,
点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9).
②点P不在A,B之间,
则有=-3,同理,
可求得点A,B的坐标分别为,(0,-9).
综上,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9)或,(0,-9).
[规律方法] 在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以转化为向量问题后解方程组求解,同时应注意分类讨论.
[当堂达标·固双基]
1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是
( )
A.a=(0,0),b=(2,3)
B.a=(1,-3),b=(2,-6)
C.a=(4,6),b=(6,9)
D.a=(2,3),b=(-4,6)
D [只有D选项中两个向量不共线,可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底,故选D.]
2.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是( )
A.(,-1)B.(-1,-)
C.(-,-1)D.(-1,)
D [因为a+2b=(,-3)=-(-1,),所以向量a+2b与(-1,)是共线向量.故选D.]
3.已知两点A(2,-1),B(3,1),则与平行且方向相反的向量a可以是
( )【导学号:
84352234】
A.(1,-2)B.(9,3)
C.(-2,4)D.(-4,-8)
D [由题意,得=(1,2),所以a=λ=(λ,2λ)(其中λ<0).符合条件的只有D项,故选D.]
4.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于________.
(-4,-8) [∵a∥b,∴1×m-(-2)×2=0,
∴m=-4,∴a=(1,2),b=(-2,-4),
∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).]
5.设O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?
[解] ∵=-=(4-k,-7),
=-=(10-k,k-12),
又A,B,C三点共线,
∴由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,
解得k=-2或k=11.
即当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。
读大海,读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
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3、大自然的语言丰富多彩:
从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。
矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。
井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。
笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。
山中的石!
当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!
当你随波逐流后,根基就没了。
空中的鸟!
当你展翅蓝天中,宇宙就大了。
空中的雁!
当你离开队伍时,危险就大了。
地下的煤!
你燃烧自己后,贡献就大了
6、朋友是什么?
朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。
一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。
一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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