导数与微分一导数的概念.docx
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导数与微分一导数的概念
寻畝的运义
例1求曲线y叮⑴在曲线上的点仇必)处切线的斜率。
图4-1
在曲线y=fM上点斑心兀I的附近另取一点亂2),连接A和^得
割线^百,当A沿曲线趋于Pd时,割线的极限位置称为曲线在点A的切线。
仪
令"州也,厂M即,则A百的斜率为石,如果
曲占AxAx
存在,则此极限值就是曲线的切线的斜率。
设切线的倾角为C,则
仪
从另一角度,茨表示厂/W在区间血血+3(或
.叟
[州+应1和)的平均变化率,极限TAx称为函数JW在的变化
率。
例2求变速直线运动的物体的瞬时速度。
物体产生的位移S是时间f的函数,设运动方程为$=曲),求在6时刻的速度。
As=临+&)-璃)aF
叫)七生=斫%
UhMO过iWC&
定义设函数y打⑴在点心的邻域内有定义,当自变量X从九变到皿+应时,则函数得相应的增量如叮仏也)叮的,如果极
存在,则称函数厂/w在点则可导,并称此极限为函数/⑴在
点九的导数。
记作f(心),或》仏),/
变
如)
叫,
dx
dx
即他匕誌屯/竺沁
如果记坷+Ax=x,贝y上式可写为
皿旣智严或1=做
则畑中心5)
如果上述极限不存在,则称函数在点h不可导。
例3设厂您在九处可导
耐/(知+防-/fa-力)「
(1)I为
輒严七r(讥L则f仇尸?
曲了(鬲+山)-了(鬲询
解
(1)3
=曲/(州7)-/(心)*/(%)-/(列-冏
*->0
=曲/僦+方)-了(心)+曲/(心-必)-/(咼)
4>0力4">0—比
=2八心)
=伽乳心皿)-畑
iX->0
-/U)=2
曲了备)-/(心-fcAx)
AZAz
=牲『(丁如)F讥好认)5—10血KF0—
.\k=-2
例5证明:
y二乐在1=0处不可导。
1百
-1O
二厂乐在"0处不可导。
注意:
函数厂班在
(0,0)
处的切线存在,斜率
时,有时
也称了⑴在X0处
导数无穷大。
图4-2左、右导数左导数
右导数
畑)=睥七沁或ZU)=血+型沁
2立Z-Jq
显然有,佝在*0处可导的充要条件是:
/⑴在m的左、右
导数都存在且相等。
解/(0)=0
/(Oi)=Em临'了®=lim呱1十
J-0J
以0)=曲型卫=曲心=
5X-057
-'■/W在"0可导且/丫0)可
如果函数/W在区间1内每一点都可导(闭区间时,左端点须右可导,右端点须左可导),则称函数/W在区间/内可导,此时其导数值是随X而变的函数,称为/W的导函数,简称导数,记作
而fW是了⑴的导函数f⑴在厂九处的函数值。
用定义求函数/W的导数(函数),可分三步进行:
(1)求增量如叮3&)-九)
Av_yCx+Ax)-/(x)
(2)求比值&
Ai
(3)求极限起。
忑
例7求y=F(片为正整数)解如珂x+Aiy-F(应用二项式定理)
宀乎%j””'3
lim—-=1iji\ts-i
归血,所以(X)=nx
例8求/W=sniA的导数。
解忖二y(x+Ax)-/(X)=5in(X+&)-血X4_sin(X+iz)-sinX
&Av
曲绥=曲=fc,辿a+&)■他X曲-*0&皿-*0Ar加-*0
At
2sin—C0s(x+Axf2)
=lim2
血tOAx
.Av
sin——
=limcos(z+氏2)'liin=cosa
血toAx/2
所以(sinX)'=cosX
利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数,
列于书中141页公式表中,请大家背下来。
如:
(c)'=0,(/y=Gsf'\(sinX)'=co£x(cosi)'=-sinx
(tanx)'=凭FX,(cotx)'=-csc^.
(secx/=secxtanx,(escx)'=-cscjTCOtx
0丁=『讥,(<!
、『,
xha,X,
(arcsinz/=丿(arccosx)"=-,
Vi-F71-『
例9设y*丘,求讥几1
77j
耳V=y=-x,
解'/2
因为
X可导,
••A")
如叮a)&+o(Ai)(增量公式)
即如+血)-/("叮⑺&+o(Ax)
所以加TO时,如TO。
/⑴在X处连续。
注:
定理的逆不一定成立。
既函数y=/M在点I连续,却不
定可导。
兀JC>0,
-心J;<0,
lim/W=lim7W=0=y(0\
・J;(D)=1工(0)八在—0处不可导。
例11讨论函数
X"在"0处的连续性与可导性。
解•飞知啣叮ro)5)在E处连续。
2-1
「TV)-了(0).E;,.1,
lim八,八'=lim工=limisin-=0
3x-03X3X
・'JW在"0处可导,且f(O)=O。
心rz
例12设盖20.问当砒为何值时,佝在肋0
连续且可导。
解/W在"0处连续,则了®岂丿⑴岂”),
加)讥型卫二込土L
ftOa-0『tOX
加匚/弊為葺工占
/⑴在"0处可导,则侧7(0),鳥討
第一节a
y叮W在则点的导数/h)是曲线y*(x)在点M(心旳处切线的斜率。
所以在(血Jo)处的切线方程为
2
例13求厂X在(-1,1)处的切线方程和法线方程。
解y=2x,y(-i)=-2
切线方程为厂1一2k-(T)],即2x+y+l=0
法线方程为厂1八吕l(T)L既x-2y+g
例14设曲线厂2x+lnx上的点M(心”)处的切线平行于直线y=4*,
求点M的坐标。
]/=2+—A
解/因为曲线在M点的切线平行于厂❻,
解出励=^片=2州+ln州=l+hi-=l—ln2
所以M点的坐标为中E2)
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