整理阿氏圆问题归纳.docx
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整理阿氏圆问题归纳
阿氏圆问题归纳
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阿氏圆题型的解题方法和技巧
以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.
具体内容如下:
阿氏圆定理(全称:
阿波罗尼斯圆定理),具体的描述:
一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比
(≠1),则P点的轨迹,是以定比
内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.
定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型。
PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型
阿氏圆基本解法:
构造母子三角形相似
【问题】在平面直角坐标系xOy中,在x轴、y轴分别有点C(m,0),D(0,n)。
点P是平面内一动点,且OP=r,求PC+kPD的最小值.
阿氏圆一般解题步骤:
第一步:
确定动点的运动轨迹(圆),以点O为圆心、r为半径画圆;(若圆已经画出则可省略这一步)
第二步:
连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接),即连接OP、OD;
第三步:
计算出所连接的这两条线段OP、OD长度;
第四步:
计算这两条线段长度的比k;
第五步:
在OD上取点M,使得OM:
OP=OP:
OD=k;
第六步:
连接CM,与圆O交点即为点P.此时CM即所求的最小值。
【补充:
若能直接构造△相似计算的,直接计算,不能直接构造△相似计算的,先把k提到括号外边,将其中一条线段的系数化成
,再构造△相似进行计算】
习题
【旋转隐圆】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AC的中点,M为BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M为BD的中点),若AC=4,BC=3,那么在旋转过程中,线段CM长度的取值范围是___________。
1.Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为△ABC内一动点,满足CD=2,则AD+
BD的最小值为_______。
2。
如图,菱形ABCD的边长为2,锐角大小为60°,⊙A与BC相切于点E,在⊙A上任取一点P,则PB+
PD的最小值为________。
3。
如图,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,P为圆B上一动点,则PD+
PC的最小值为_________.
4.如图,点A,B在⊙O上,OA=OB=12,OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,OD=10.动点P在⊙O上,则PC+
PD的最小值为_______。
5。
如图,等边△ABC的边长为6,内切圆记为⊙O,P是圆上动点,求2PB+PC的最小值。
6。
如图,边长为4的正方形,内切圆记为⊙O,P是圆上的动点,求
PA+PB的最小值.
7。
如图,边长为4的正方形,点P是正方形内部任意一点,且BP=2,则PD+
PC的最小值为______;
PD+4PC的最小值为______.
8。
在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°,则2PD+PC的最小值是_______.
9。
在△ABC中,AB=9,BC=8,∠ABC=60°,⊙A的半径为6,P是⊙A上的动点,连接PB、PC,则3PC+2PB的最小值为_______.
10.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=8,以C为圆心,4为半径作⊙C.
(1)试判断⊙C与AB的位置关系,并说明理由;
(2)点F是⊙C上一动点,点D在AC上且CD=2,试说明△FCD~△ACF;
(3)点E是AB上任意一点,在
(2)的情况下,试求出EF+
FA的最小值.
11.
(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+
PC的最小值和PD—
PC的最大值;
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+
PC的最小值为______,PD—
PC的最大值为______.
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+
PC的最小值为______,PD—
PC的最大值为________.
12.问题提出:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+
BP的最小值.
(1)尝试解决:
为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:
如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有
,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴
,
∴PD=
BP,∴AP+
BP=AP+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案:
AP+
BP的最小值为________.
(2)自主探索:
在“问题提出”的条件不变的情况下,
AP+BP的最小值为_______.
(3)拓展延伸:
已知扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是弧CD上一点,求2PA+PB的最小值。
【二次函数结合阿氏圆题型】
13.如图1,抛物线y=ax²+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若
,求m的值;
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+
E′B的最小值.
问题背景:
如图1,在△ABC中,BC=4,AB=2AC.
问题初探:
请写出任意一对满足条件的AB与AC的值:
AB=_____,AC=_______.
问题再探:
如图2,在AC右侧作∠CAD=∠B,交BC的延长线于点D,求CD的长.
问题解决:
求△ABC的面积的最大值.
1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动.
类比定义:
类比等腰三角形给出如下定义:
有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.
探索理解:
(1)如图1,已知A、B、C在格点(小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法画出格点D,连接DA、DC,使四边形ABCD为邻等四边形;
尝试体验:
(2)如图2,邻等四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=120°,∠ADC=60°,AB=2,BC=1,求四边形ABCD的面积.
解决应用:
(3)如图3,邻等四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=75°,∠ADC=60°,BD=4.
小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形,要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗?
如果能,请求出此时四边形ABCD面积的最小值;如果不能,请说明理由.
2。
我们定义:
有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
(1)如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
(2)如图2,等邻边四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC、BD为对角线,AC=
AB,试探究BC,BD的数量关系.
(3)如图3,等邻边四边形ABCD中,AB=AD,AC=2,∠BAD=2∠BCD=60°,求等邻边四边形ABCD面积的最小值。
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