数列通项公式和前n项和求解方法全.docx
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数列通项公式和前n项和求解方法全
数列通项公式和前n项和求解方法(全)
数列通项公式的求法详解
一、观察法(关键是找出各项与项数n的关系.)
例1:
根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:
(1)9,99,999,9999,…
(2)(3)(4)
答案:
(1)
(2)(3)(4).
二、公式法
公式法1:
特殊数列
例2:
已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),求数列{an}和{bn}的通项公式。
答案:
an=a1+(n-1)d=2(n-1);bn=b·qn-1=4·(-2)n-1
例3.等差数列是递减数列,且=48,=12,则数列的通项公式是()
(A)(B)(C)(D)答案:
(D)
例4.已知等比数列的首项,公比,设数列的通项为,求数列的通项公式.
简析:
由题意,,又是等比数列,公比为∴,故数列是等比数列,易得.点评:
当数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求首项及公差公比.
公式法2:
知利用公式.
例5:
已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式.
(1).
(2)
答案:
(1)=3,
(2)点评:
先分n=1和两种情况,然后验证能否统一.
三、 累加法【型如的地退关系递推关系】
简析:
已知,,其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和各式相加得
例5:
已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项.答案:
例6.若在数列中,,,求通项.答案:
=
例7.已知数列满足,,求此数列的通项公式.答案:
四、累积法【形如=(n)·型】
(1)当f(n)为常数,即:
(其中q是不为0的常数),此时数列为等比数列,=.
(2)当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例8:
在数列{}中,=1,(n+1)·=n·,求的表达式.
例9:
已知数列中,,前项和与的关系是,试求通项公式..
答案:
思考题1:
已知,求数列{an}的通项公式.
分析:
原式化为若令,则问题进一步转化为形式,累积得解.
五、构造特殊数列法
构造1:
【形如,其中)型】
(1)若c=1时,数列{}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{}为等比数列;(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下:
设,得,与题设比较系数得,所以:
即构成以为首项,以c为公比的等比数列.
例10:
已知数的递推关系为,且求通项.答案:
构造2:
相邻项的差为特殊数列
例11:
在数列中,,,,求.提示:
变为.
构造3:
倒数为特殊数列【形如】
例12:
已知数列{}中且(),,求数列的通项公式.答案
六、待定系数法:
例13:
设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn
解析:
设建立方程组,解得.点评:
用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列为等差数列:
则,(b、c为常数),
若数列为等比数列,则,.
七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】
例14:
(1)数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.
解析:
由题得①时,②
由①、②得.
(2)数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式
(3)已知数列中,求通项.
八、【讨论法-了解】
(1)若(d为常数),则数列{}为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分为奇数项和偶数项来讨论.
(2)形如型①若(p为常数),则数列{}为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过逐差法得,两式相除后,分奇偶项来分求通项.
例15:
数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.
专题二:
数列求和方法详解(六种方法)
1、公式法
1、等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
[例1]已知,求的前n项和.答案
[例2]设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.答案n=8时,
二、错位相减法
方法简介:
此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和:
………………………①()
解析:
由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积:
设…②
①-②得(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
.
∴.
试一试1:
求数列前n项的和.答案:
三、倒序相加法
方法简介:
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个,然后再除以2得解.
[例4]求的值.答案S=44.5
四、分组法求和
方法简介:
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:
①找通向项公式②由通项公式确定如何分组;
[例5]求数列的前n项和:
,…答案.
试一试1求之和.简析:
由于与、分别求和.
五、裂项法求和
方法简介:
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项及分母有理化)如:
(1);
(2)=;(3);4)(5).
[例6]求数列的前n项和.
[例7]在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
试一试1:
已知数列{an}:
,求前n项和.试一试2:
..
.六、合并法求和方法简介:
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例8]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.答案0
[例9]数列{an}:
,求S2002.(周期数列)
[例10]在各项均为正数的等比数列中,若的值;答案10
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